计算机与数字工程 第３５卷
粒子群优化算法解分形插值的逆问题
袁利国 聂笃宪 旷菊红
（华南农业大学应用数学系 广州５１０６４２）（广州大学数学与信息科学学院 广州５１０００６）
摘要分形插值拟合中的逆问题即垂直比例因子的选取将影响到插值拟合的精度。采用粒子群优化算法寻求分形 插值的逆问题最优值，并给出插值误差的计算方法，实现分形插值函数与实际函数的较好的拟合，实例分析验证了粒子群 优化算法在垂直比例因子的寻优上是有效的。
关键词分形插值垂直比例因子粒子群优化 中图分类号ＴＰ３０１．６
１ 引言
分形插值拟合是拟合数据的一种新的方法，它
是依据迭代函数系统（ＩＦＳ）的吸引子而建立起来
的，由于分形插值函数的盒维数可以介于１到２之
间的任意数值，因此，它可以在震荡剧烈的离散数
据或曲线的拟合中显示其独特的优越性。粒子群
优化算法是一种新兴的优化技术，它通过粒子追踪
自己找到的最好解和整个群的最好解来完成优化，
该算法在寻优方面能得到很好的效果。
２分形插值方法及逆问题
２．１分形插值（ＦＩＦ）方法
设０＝‰＜ 】＜…＜ ＝ｂ为有界闭区间，＝
［０，ｂ］的一个划分，Ｙ。，Ｙ 一，Ｙ 是一组任意的实
数，其中Ⅳ ２，记Ｋ＝，Ｘ Ｒ、Ｉｉ＝［ ， ］，令 是
，一 的压缩线性映射，记： （ ）＝￣ＺｉｇＣ＋ｅ 且满足
Ｌｆ（ ｏ）＝ ㈠，Ｌｆ（ Ⅳ）＝ （１）
其中ｉ＝１，２，…，Ⅳ。令 是Ｋ一 上关于第
二个变量是压缩的线性映射，记：Ｆ （ ，Ｙ）＝ＣｉｇＣ＋
ｄｉｙ＋ ，即存在ｑ ∈［０，１），使得Ｉ （ ，Ｙ）一 （ ，
Ｙ２）Ｉ ｇ ＩＹ１一Ｙ２ Ｉ，Ｖ ∈，，Ｙ１，Ｙ２∈Ｒ，且满足
），。 （ ２） 【Ｆ （ ．１ｖ，Ｙ．１ｖ）＝Ｙ
定义压缩仿射函数 ：Ｋ—Ｋ
㈩ 则｛Ｋ： ， １，２，…，Ⅳ｝构成一个迭代函数系
统（简记为 ） Ｊ，其中０ ，ｃ ，ｄ 三个数的绝对值
都小于１。 ’
由（１）一（３）式构造的迭代函数系统｛Ｋ： ，
第３７卷第２期 ２０１１年４月 兰州理工大学学报 Ｊｏｕｍａｌ ｏｆＬａｎｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ０ｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｖ０Ｌ ３７ Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２０１１
文章编号：１６７３－５１９６（２０１１）０２－００９４－０４
分形动画中吸引子匹配及连通性控制算法
刘树群，徐冰
（兰州理工大学计算机与通信学院，甘肃兰州 ７３００５０）
摘要：针对分形动画中吸引子出现的断裂、失真及特征不明显等缺点，在点变换算法的基础上提出点变换的匹配原 则、连通性控制方法以及插值算法．点变换的连通性控制方法可以有效地控制吸引子变形＿中的连通性，避免吸引子 出现断裂现泉；路径插值算法可以通过改变吸计子的运动路径，解决吸引子变形中的消失、失真等问题．实验结果 表明：该理论可以解决已有方法中存在的一些缺陷，能够得到更加逼真、自然的分形动画效果． 关键词：迭代函数系统，吸引子变形；匹配｝连通性ｆ插值 中图分类号：ＴＰ３９１ 文献标识码：Ａ
Ａｔｔｒａｃｔｏｒｓ ｗｉｔｈ ｍａｔｃｈｉｎｇ ａｎｄ ｃｏｎｎｅｃｔｉｖｉｔｙ ｃｏｎｔｒｏｌ
ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｆｒａｃｔａｌ ａｎｉｍａｔｉｏｎｓ
ＵＵ Ｓｈｕ－ｑｕｎ。ＸＵ Ｂｉｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ，Ｌａｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ｔｅｃｋ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００５０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍｅｄ ａｔ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔｃｏｍｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｔｔｒａｃｔｏｒｓ ｉｎ ｆｒａｃｔａｌ ａｎｉｍａｔｉｏｎ ｓｕｃｈ ａｓ ｔｈｅ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ，ｒｕｐ—
ｔｕｒｅ，ａｎｄ ｆｅａｔｕｒｅ ｄｅｇｒａｄａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｍａｇｅｓ，ａ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｃｏｎｎｅｃ—
ｔｉｖｉｔｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｅｒｅ
２０ｏ６年 第５期 工程图学学报
ＪｏＵＲＮＡＬ ｏＦ ＥＮＧ眦ＥＲＤ Ｇ ＧＲＡＰＨＩＣＳ ２０ｏ６ ＮＯ．５
平面晶体对称拼砌图像的计算机生成方法
叶瑞松， 邹玉茹
（汕头大学数学系，广东汕头５１５０６３）
摘 要：利用三角函数的周期性，生成具有晶体群ｐ１，ｐ２，ｐｍ，Ｐｇ，ｐｍｍ，ｐｍｇ，Ｐｇｇ，
ｃｍ，ｃｍｍ对称性的迭代函数系统，该类迭代函数系统的混沌吸引子具有系统本身的对称性。 从动力系统的角度，探讨了如何利用具有晶体对称性的动力系统来生成平面对称的彩色拼砌 图像。从数值实验所生成的图像可以看出，该方法能容易地生成漂亮的图像，生成的图像具
有丰富的艺术性，为平面铺彻图像的设计提供了一种计算机自动生成的新途径。
关键词：计算机应用；平面晶体对称拼砌；迭代函数系统；群 中图分类号：ＴＰ ３９１
文献标识码：Ａ 文章编号：１００３．０１５８（２００６）０５—００８６—０８
Ａ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｐｌａｎａｒ Ｔｉｌｉｎｇ Ｐａｔｔｅｒｎｓ ｗｉｔｈ
Ｃｒｙｓｔａｌｌｏｇｒａｐｈｉｃ Ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ
ＹＥ Ｒｕｉ—ｓｏｎｇ，ＺＯＵ Ｙｕ—ｒｕ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｈａｎｔｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｔｏｕ Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ ５１５０６３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｋｉｎｇ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃｉｔｙ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｏｎｅ ｃａｎ ｄｅｒｉｖｅ ｉｔｅｒａｔｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｏｆ ｃｒｙｓｔａｌｌｏｇｒａｐｈｉｃ ｇｒｏｕｐｓ ｐｌ，ｐ２，ｐｍ，Ｐｇ，ｐｍｍ，
ｐｍｇ，Ｐｇｇ，ｃｍ，ｃｍｍ．Ｔｈｅ ｃｈａｏｔｉｃ ａｔｔｒａｃｔｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ａｓ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓ．Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｈｏｗ ｔｏ ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｃｒｙｓｔａｌｌｏｇｒａｐｈｉｃ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｃｏｌｏｒｅｄ ｔｉｌｉｎｇ ｐａｔｔｅｒｎｓ ｆｒｏｍ ａ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ’Ｓ ｐｏｉｎｔ ｏｆ
数学的动力系统研究
数学的动力系统研究是指对一类演化系统的行为进行深入探究和分析的学科。这类系统包括微分方程、差分方程、迭代函数、分数阶方程等。动力系统的研究具有广泛的应用背景，它在物理学、生态学、经济学等领域都有重要的应用。本文将介绍动力系统的基本概念、分类和研究方法。
一、动力系统的基本概念
动力系统是指随时间演化的系统，它可以由一组方程或规则描述系统的行为。具体来说，动力系统包括状态空间、演化规律和吸引子等组成部分。
1.1 状态空间
状态空间是指描述系统状态的集合，一般用n维欧几里得空间表示。系统的状态在状态空间中演化。
1.2 演化规律
演化规律是指描述系统动力学行为的方程或规则。一般来说，演化规律是一个微分方程、差分方程、迭代函数或分数阶方程等。
1.3 吸引子
吸引子是动力系统中的重要概念，指的是系统演化的稳定状态或者稳定周期。吸引子可以是一个点、一条曲线、一个平面或者一个高维流形。 二、动力系统的分类
根据系统的性质和特点，可以将动力系统分为离散动力系统和连续动力系统。
2.1 离散动力系统
离散动力系统是指系统的演化在时间上是离散的，即演化规律是由差分方程或迭代函数描述的系统。离散动力系统广泛应用于计算机科学、密码学等领域。
在研究离散动力系统时，常常关注系统的稳定性、周期性和混沌性等特征。通过数值计算或理论分析，可以刻画离散动力系统的行为。
2.2 连续动力系统
连续动力系统是指系统的演化在时间上是连续的，即演化规律是由微分方程描述的系统。连续动力系统在物理学、工程学等领域中应用广泛。
在研究连续动力系统时，常常涉及到系统的稳定性、边界吸引子、周期解和混沌吸引子等性质。通过数值模拟和数学分析，可以揭示连续动力系统的行为规律。
三、动力系统的研究方法
动力系统的研究需要借助数学工具和计算机模拟。基于系统的特点和问题的复杂度，可以采用不同的方法。
3.1 解析方法 对于简单的动力系统，可以使用解析方法来研究其行为。解析方法包括使用数学分析技巧求解方程和分析系统性质。
