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一元一次方程知识点总结

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一元一次方程

方程的有关概念

夯实基础

一．等式

用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。

温馨提示

①等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等，所以等式可以表示不同的意义。

②不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。如xx2735才是等式。

二．等式的性质

性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即如果ba，那么cbca。

性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即如果ba，那么bcac；如果ba0c，那么cbca。

温馨提示

①等式类似天平，当天平两端放有相同质量的物体时，天平处于平衡状态。若在天平的两端各加（或减）相同质量的物体，则天平仍处于平衡状态。所以运用等式性质1时，当等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式时，才能保证所得的结果仍是等式，应特别注意“都”和“同一个”。如31x，左边加2，右边也加2，则有2321x。

②运用等式的性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母。

③等式性质的延伸：a.对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即如果ba，那么ab。b.传递性：如果cbba,，那么ca（也叫等量代换）。

例1：用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式哪一条性质，以及怎样变形得到的。

（1）如果51134x，那么534x ；

（2）如果cbyax，那么cax ； （3）如果4334t，那么t 。

三．方程

含有未知数的等式叫做方程。

温馨提示

方程有两层含义：

①方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子。

②方程中必有一个待确定的数，即未知的字母，这个字母就是未知数。如12x。

四．方程与等式的区别与联系

概念及其特点 区别 联系

方程 含有未知数的等式叫做方程。一个式子是方程，要满足两个条件：一是等式，

二含有未知数。 方程一定是等式，并且是含有未知数的等式。 方程是特殊的等式。

等式 用等号来表示相等关系的式子叫做等式。等式的主体是相等关系。 等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数。 方程和等式的关系式从属关系，且有不可逆性。

五．方程的解与解方程

内容 实质

方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 具体的数值

解方程 求方程的解的过程叫做解方程 变形的过程

温馨提示

①检验一个数是否是方程的解，只要用这个数代替方程中的未知数，如果方程两边的值相等，那么这个数就是方程的解；如果不相等，这个数就不是方程的解。

②方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。

③等式的基本性质是解方程的依据。

④方程的解释结果，而解方程是得到这个结果的一个过程。

例3：下列方程中解为2x的是（ ） A.xx33 B.03x

C.62x D.825x

例4：利用等式的性质解下列方程：

（1）xx726 （2）3265xx

掌握方法

一．等量关系的确定方法

列方程解应用题是初中数学的一个重点也是一个难点，要突破这一难关，学会寻找等量关系是关键，那么怎样寻找应用题中的等量关系呢？

（1）从关键词中找等量关系；

（2）对于同一个量，从不同角度用不同的方法表示，得到等量关系；

（3）运用基本公式找等量关系；

（4）运用不变量找等量关系。

例1：某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20％，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程为（ ）。

A.108%2054x B.)108%(2054xx

C.162%2054x D.)54%(20108xx

二．利用方程的解求待定字母的方法

利用方程的解求方程中的待定字母时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题。

例2：已知2x是关于x的方程)2(31xkkx的解，则k的值应为（ ）。

A.9 B.91

C.31 D.1 一元一次方程

解一元一次方程

夯实基础

一．一元一次方程

1.定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。

2.标准形式：方程0bax（其中x是未知数，a、b是已知数，并且0a）叫做一元一次方程的标准形式。

温馨提示

①一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母不含未知数。

②一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数都为1。如321x，6yx，2x

06x都不是一元一次方程。

例1：下列方程中，哪些是一元一次方程？哪些不是？

（1）1145x；（2）52yx；（3）0652xx；

（4）32xx；（5）1321yy。

二．移项

1.定义：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

2.示例：解方程5223xx时，可在方程的两边先加2，再减x2，得xx2223

xx2252，即变形为2523xx。

与原方程比较，这个变形过程如下：

温馨提示

①移项的原理就是等式的性质1。

②移项所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是方程的一边交换两个项的位置。

③移项时一定要改变所移动的项的符号，不移动的项不能变号。如解方程1053xx，

若移项，得1035xx就出错了，原因是被移动的项“x5”的符号没有改变，而改变了没有被移动的项“x3”的符号。

④在移动时，最好先写左右两边不移动的项，再写移来的项。 例2：下列各题中的变形为移项的是（ ）。

A.由1)2(21x，得1121x

B.由5735xx，得3557xx

C.由625xx，得652xx

D.由xx85，得58xx

三．去括号与去分母

解一元一次方程的最终目标是要得到“ax”这一结果。为了达到这一目标，方程中有括号就要根据去括号法则去掉括号，即为去括号；方程中有分母的，根据等式性质2去掉分母，即为去分母。

温馨提示

（1）解含有括号的一元一次方程时，去括号时一般遵循去括号的基本法则。但在实际去括号时，应根据方程的结构特点利用一些方法技巧，恰当地去括号，以简化运算。对于一些特殊结构的方程，可采用以下去括号的技巧：

①先去外再去内。即在解题时，打破常规，不是由内到外去括号，而是由外到内去括号。

②整体合并去括号。有些方程，把含有的某些多项式看作整体，先合并，再去括号，往往会简单。如，解方程)8(23)8(21xxx时，可把8x看作整体先合并，再去括号。

（2）去分母时，在方程两边要同时乘以所有分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。当分母时小数时，需要把分母化整。同时注意分母化整只与这一项有关，而与其他项无关，要与去分母区分开。

例3：下列方程去括号正确的是（ ）。

A.由6)24(32xx得62122xx

B.由6)24(32xx得66122xx

C.由6)24(32xx得66122xx

D.由6)24(32xx得6632xx

例4：方程2133123xxx，去分母正确的是（ ）。

A.)1(318)12(218xxx

B.)1(3)12(3xxx C.)1(18)12(18xxx

D.)1(33)12(23xxx

四．解一元一次方程的一般步骤

步骤 具体做法 变形依据

去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2

去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律

移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1

合并同类项 把方程化为)0(abax的形式 合并同类项法则

系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解abx 等式性质2

温馨提示

1.解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，根据方程的特点灵活运用。

2.在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：

去分母 （1）分子是多项式的，去分母后要加括号；

（2）不要漏乘不含分母的项

去括号 （1）括号前的数要乘括号内的每一项；

（2）括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号

移项 （1）移项时不要漏项；

（2）将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置

时不变号

合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当

系数化为1 （1）未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数；

（2）未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数 例5：解一元一次方程121231xx。

掌握方法

一．一元一次方程概念的应用

原方程为一元一次方程，即未知数的次数为1，系数不为0，由此来确定原方程中待定字母的值。

例1：（1）若2122mx是关于x的一元一次方程，则m= ；

（2）若方程20152014)4(xm是关于x的一元一次方程，则m 。

二．利用合并同类项与移项解方程的方法

（1）合并同类项时，不能用连等号与原方程相连。

（2）几个常数项也是同类项，移项时应该把它们放到一起。

（3）移项时把某项改变符号后移到等式的另一边，而不是等式一边的两项交换位置。

（4）移项必变号，不变号不能移项。

例2：解方程：（1）xx23273；（2）143621aa。

三．利用去分母解方程的方法

利用等式的性质2，在方程的两边同时乘各分母的最小公倍数，将分母去掉，把系数为分数的方程转化为系数为整数的方程。

（1）分数线具有括号的作用，分子如果是一个多项式，去掉分母后，要把分母后，要把分子放在括号里。

（2）去分母时，不能漏乘不含分母的项。

例3：解方程353213xx。

四．含小数的一元一次方程的解法

将小数化成整数，是根据分数的基本性质把含小数的项的分子、分母乘同一个适当的数，而不是方程所有的项都乘这个数。小数化成整数，是对分母含小数的项的恒等变形。

例4：解方程：03.002.003.0255.094.0xxx。

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根据一元一次方程解法知识点总结

根据一元一次方程解法知识点总结

根据一元一次方程解法知识点总结

一元一次方程是代数中最基本的方程形式之一。它的一般形式为：ax + b = 0，其中a和b是给定的实数。解一元一次方程的方法有以下几种：

1. 平移法：

- 把一元一次方程中的常数项移到等式的另一边，这样方程就变成了ax = -b的形式。

- 然后通过除以系数a，得到x = -b/a，从而求得方程的解x。

2. 代入法：

- 将一元一次方程中的x替换为已知值，然后求解得到方程的解。

- 这种方法适用于包含未知数和已知数的复杂方程。

3. 消元法：

- 将一元一次方程与另一个一元一次方程相加、相减、相乘或相除，从而消去一个变量，得到含有一个未知数的新方程。

- 然后使用平移法或代入法求解新方程，最终得到原方程的解。

4. 图解法：

- 将一元一次方程表示为一条直线，坐标系中的点(x, y)即为方程的解。

- 使用图形工具如纸和尺子，在坐标系中标出直线，然后找出与x轴相交的点，即为方程的解。

需要注意的是，解一元一次方程时要注意误差的控制，避免因舍入误差或计算误差导致答案不准确。

以上是根据一元一次方程解法的知识点总结，希望对您有所帮助。

八年级数学方程知识点总结

八年级数学方程知识点总结

八年级数学方程知识点总结

方程是数学中非常重要的一个概念，解方程是数学学习的基础。本文将对八年级数学中与方程相关的知识点进行总结，包括一元一次方程、一元二次方程和分式方程。

一、一元一次方程

一元一次方程指的是形如ax + b = 0的方程，其中a和b为已知的实数，x为未知数。解一元一次方程的基本思路是通过逆运算将方程化简为x=常数的形式。例如：

(1) 2x + 3 = 7

解法：将3移项，得2x=4，再将2移项，得x=2。

(2) 5(x - 2) + 3 = 2x + 1

解法：将式子化简，得5x - 7 = 2x，再将2x移项，得3x=7，再将3移项，得x=7/3。

(3) 3x - 4 = 5x + 1

解法：将5x移项，得-2x=5，再将-2移项，得x=-5/2。

二、一元二次方程

一元二次方程指的是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b和c为已知的实数，且a≠0，x为未知数。解一元二次方程的常用方法有公式法和配方法。公式法是通过求出方程的根公式进行计算，而配方法是通过将方程化为(x + p)² = q的形式进行计算。例如：

(1) x² - 5x + 6 = 0

解法：因为a=1，b=-5，c=6，所以可以直接套用求根公式，得x1=2，x2=3。

(2) 2x² + x - 1 = 0

解法：通过配方法，将方程化为(2x - 1)(x + 1) = 0的形式，得x1=1/2，x2=-1。

(3) x² + 4x + 1 = 0

解法：通过配方法，将方程化为(x + 2)² - 3 = 0的形式，得x1=-2+√3，x2=-2-√3。

三、分式方程

分式方程是指方程中含有分式的方程，例如(x/2) + 1 = (3x+1)/4。解分式方程的方法是通过通分、化简、移项等步骤将分式方程化为一元一次方程或一元二次方程的形式。例如：

(1) (x/2) + 1 = (3x+1)/4

一元一次方程知识点总结和例题讲解

一元一次方程知识点总结和例题讲解

第六章 一元一次方程知识点汇总

（一）、方程的有关概念

1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.

2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.

例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程. （例1）

3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. （例2）

注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.

⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

（二）、等式的性质

等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.

等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c

等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，

等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么ac=bc

（三）、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．（例3）

（四）、去括号法则

1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．

2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．

（五）、解方程的一般步骤（例4）

1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)

2. 去括号(按去括号法则和分配律)

3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)

4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)

5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=ba).

一．列一元一次方程解应用题的一般步骤

一元一次方程知识点小结

一元一次方程知识点小结

一元一次方程解题要点小结

1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题：弄清题意，找出已知条件；

（2）找准等量关系；

（3）设未知数，列方程：利用找出的等量关系列方程；

（4）解方程：注意解方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、

未知数系数化为1）；

（5）检验，作答。

2、和差倍分问题：

增长量=原有量增长率 现有量=原有量+增长量

3、等积变形问题：熟悉常见几何图形的周长、面积、体积公式

圆柱V 圆锥V 长方体V 正方体V

圆S

4、打折销售问题：

（1）进价售价利润- %100-进价进价售价进价利润利润率

变式：进价利润率进价售价-

（2）销量销售价商品销售额 销售量成本价）（销售价商品销售利润-

（3）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售；

5、工程问题：

工作时间工作效率工作量

一般情况下：1总工作量量的和完成某项任务的各工作

若完成全部工作的时间为t，则工作效率为 t1

6、调配或比例问题：

一般按照比例设未知数，列方程

7、储蓄问题：

期数利率本金利息 利息本金本息和

注：利率一般对应年利率或月利率，期数须与之相对应

8、行程问题： vtS tSv vSt

（1）相遇问题：原距慢行距快行距

（2）追及问题：原距慢行距快行距 -

（3）航行问题：水流（风）速度静水（风）速度顺水（风）速度

水流（风）速度静水（风）速度顺水（风）速度 -

注：该类问题抓住两地间距离不变，水流速或风速静止不变的特点考虑等量关系