山东省济宁市2016届高考数学一模试卷 理(含解析)

1 2016年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．设集合A={x|＜x＜3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B=（ ）

A．{x|＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}

2．已知i为虚数单位，则z=在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．函数f（x）=+的定义域为（ ）

A．{x|x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x＞1}

4．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如表所示：

x 16 17 18 19

y 50 34 41 31

由表可得回归直线方程=x+中的=﹣4，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为 （ ）

A．26个 B．27个 C．28个 D．29个

5．有下列三个结论：

①命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”；

②“a=1”是“直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直”的充要条件；

③若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）=0.2；

其中正确结论的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（ ） 2

A．0 B．1 C．2 D．3

7．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（ ）

A．函数f（x）的最小正周期为π

B．函数f（x）的图象关于x=对称

C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到

D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数

8．一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积是（ ）

A．π+4 B．2π+4 C．π+4 D．π+2

9．将4名大学生分配到A，B，C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有（ ）

A．36种 B．30种 C．24种 D．20种

10．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（ ） 3 A． x±y=0 B．x±y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为 ．

12．在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则•= ．

13．若（x+）n的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线y=x与曲线y=x2所围成的封闭区域面积为

．

14．已知α，β∈（0，），满足tan（α+β）=9tanβ，则tanα的最大值为

．

15．若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+ex﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ 0 π

2π

x x1 x2 x3

y 0 0 ﹣ 0

（Ⅰ）根据如表求出函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）设△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=，a=3，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值．

17．甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A，在点A处投中一球得2分，不中得0分，在距篮筐3米线段外设一点B，在点B处投中一球得3分，不中得0分，已知4 甲乙两人在A点投中的概率都是，在B点投中的概率都是，且在A，B两点处投中与否相互独立，设定甲乙两人现在A处各投篮一次，然后在B处各投篮一次，总得分高者获胜．

（Ⅰ）求甲投篮总得分ξ的分布列和数学期望；

（Ⅱ）求甲获胜的概率．

18．如图甲：⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：

（Ⅰ）若点G是的中点，证明：FG∥平面ACD；

（Ⅱ）求平面ACD与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．

19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，S5=30，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=2n﹣1．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=（﹣1）n（anbn+lnSn），求数列{cn}的前n项和．

20．已知曲线E上的任意点到点F（1，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离小1．

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）点D的坐标为（2，0），若P为曲线E上的动点，求•的最小值；

（Ⅲ）设点A为y轴上异于原点的任意一点，过点A作曲线E的切线l，直线x=3分别与直线l及x轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点A在y轴上运动（点A与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？请证明你的结论．

21．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=e2x+x2﹣ax，函数g（x）=f（）﹣x2+（1﹣b）x+b（其中a，b为常数），若函数f（x）在x=0处的切线与y轴垂直．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间； 5 （Ⅲ）若s，t，r满足|s﹣r|＜|t﹣r|恒成立，则称s比t更靠近，在函数g（x）有极值的前提下，当x≥1时，比ex﹣1+b更靠近，试求b的取值范围．

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2016年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．设集合A={x|＜x＜3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B=（ ）

A．{x|＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}

【考点】交集及其运算．

【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．

【分析】求出集合B，从而求出其和A的交集即可．

【解答】解：∵集合A={x|＜x＜3}，

B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，

则A∩B={x|＜x＜2}，

故选：A．

【点评】本题考查了集合的运算，考查解不等式问题，是一道基础题．

2．已知i为虚数单位，则z=在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】虚数单位i及其性质；复数的代数表示法及其几何意义．

【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数．

【分析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可．

【解答】解：z===，

故z在复平面内对应的点位于第二象限，

故选：B．

【点评】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．

7 3．函数f（x）=+的定义域为（ ）

A．{x|x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x＞1}

【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．

【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．

【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．

【解答】解：要使函数有意义，则，

即，得0＜x＜1，

即函数的定义域为{x|0＜x＜1}，

故选：B

【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．

4．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如表所示：

x 16 17 18 19

y 50 34 41 31

由表可得回归直线方程=x+中的=﹣4，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为 （ ） A．26个

B．27个

C．28个 D．29个

【考点】线性回归方程．

【专题】函数思想；综合法；概率与统计．

【分析】求出数据中心代入回归方程得出，从而得出回归方程，再令x=20求出．

【解答】解：， =39．

将（）代入回归方程得39=﹣4×17.5+，解得=109．

∴回归方程为=﹣4x+109． 8 当x=20时， =﹣4×20+109=29．

故选：D．

【点评】本题考查了线性回归方程过数据中心的性质，属于基础题．

5．有下列三个结论：

①命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”；

②“a=1”是“直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直”的充要条件；

③若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）=0.2；

其中正确结论的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑．

【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断．

②根据直线垂直的等价条件进行判断．

③格局正态分布的性质进行判断．

【解答】解：①命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”正确，故①正确；

②当a=1时，两直线分别为x﹣y+1=0和x+y﹣2=0，满足两直线垂直，

当a=﹣1时，两直线分别为x+y+1=0和x﹣y﹣2=0，满足两直线垂直，但a=1不成立，

即“a=1”是“直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直”的充分不必要条件；故②错误，

③若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数关于x=1对称，

∵P（ξ＜2）=0.8，∴P（ξ≥2）=1﹣0.8=0，2，

则P（ξ≥2）=P（ξ＜0）=0.2，

即P（0＜ξ＜1）= [1﹣P（ξ≥2）﹣P（ξ＜0）]=（1﹣0.2﹣0.2）=0.3；故③错误，

故正确的仅有①，

故选：B

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件以及正态分布的性质，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．