2012年上海高考数学试题(文科)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）数学（文科）一．选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}|A x x =是平行四边形，{}|B x x =是矩形，{}|C x x =是正方形，{}|D x x =是菱形，则A ．AB ⊆ B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆ 答案B【命题意图】本试题主要考查了集合的概念，集合的包含关系的运用。

【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形，矩形是特殊的平行四边形，可知集合C 是最小的，集合A 是最大的，故选答案B 。

2．函数1)y x =≥-的反函数为A ．21(0)y x x =-≥ B ．21(1)y x x =-≥ C ．21(0)y x x =+≥ D ．21(1)y x x =+≥ 答案A【命题意图】本试题主要考查了反函数的求解，利用原函数反解x ，再互换,x y 得到结论，同时也考查了函数值域的求法。

【解析】由2211y x y x y =⇒+=⇒=-，而1x ≥-，故0y ≥互换,x y 得到21(0)y x x =-≥，故选答案A 3．若函数[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则ϕ= A ．2πB ．23πC ．32πD ．53π答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质，。

【解析】由[]()sin (0,2)3x f x ϕϕπ+=∈为偶函数可知，y 轴是函数()f x 图像的对称轴，而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得，故3(0)sin13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈，而[]0,2ϕπ∈，故0k =时，32πϕ=，故选答案C 。

4．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= A ．2425- B ．1225- C ．1225 D ．2425答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用。

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国I 卷)(适用地区：河南、吉林、黑龙江、山西、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古)文科数学本试卷共24题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ （2）复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i 3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则 （A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试上海 文科数学试卷考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写准考证号和姓名，并将核对后的条形码贴在指定位置上。

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

4．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、已知z C ∈，且z 为z 的共轭复数，若1001100z z iz =(i 是虚数单位)，则z = ．2、在ABC ∆中，已知22sin 3cos 0A A -=，则角A 的大小为 . 3、已知两条直线1l ：230ax y --=，2l ：0164=-+y x ．若1l 的一个法向量恰为2l 的一个方向向量，则=a ． 4、已知集合7|03x A x x -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，函数2lg(68)y x x =-+-的定义域为集合B ，则A B ⋂= .5、某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是 .（精确到0.01） 6、若函数)(x g y =图像与函数)1()1(2≤-=x x y 的图像关于直线x y =对称，则(4)g =＿＿＿＿＿＿＿＿. 7、若bi ia-=-11，其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则bi a += . 成 绩 人 数40 1150 60 221370 80 908、2531()x x +的二项展开式中，常数项的值是 . 9、已知数列{}n a *()n N ∈是公差为2的等差数列，则lim 21n n an →∞-= ． 10、如图：已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，过顶点1A 作底面ABC 的垂线，若垂足为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为 .11、5名学生报名参加两项社会实践活动，每个学生都要报名且只报一项，那么每项活动都至少有两名学生报名的概率为___________.（结果用最简分数表示）12、已知点(0,2)A ,抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作准线l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥,则p = .13、已知O 为坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域 213x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩内的一个动点，则OA OM ⋅的最大值与最小值之差为______________.14、若函数()y f x =（x R ∈）满足()()2f x f x -=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()lg(1)110001x x g x x x x ->⎧⎪⎪=-<⎨⎪⎪≤≤⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,6-内的零点的个数为_______.二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、已知空间三条直线a b m 、、及平面α，且a 、b ≠⊂α．条件甲：,m a m b ⊥⊥；条件乙：m ⊥α，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的…………………………………………（ ） A ．充分非必要条件． B ．必要非充分条件． C ．充要条件． D ．既非充分也非必要条件． 16、以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）（A ）2220x y x ++= （B ）220x y x ++=（C ）220x y x +-= （D ）2220x y x +-=AA 1BCC 1B 1第10题17、设(,1)(2,)(4,5)A a B b C 、、为坐标平面上三点， O 为坐标原点.若OA uu r 与OB uu u r 在OC uuu r上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b += 18、16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）()A 1. ()B 1-. ()C 2- . ()D 0.三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19、（本题满分12分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且32,35,6π===B b a . （1）求A sin ；（2）求A C B 2cos )cos(++的值.20、（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10. （1）求棱1A A 的长；（2）求此几何体的表面积，并画出此几何体的主视图和俯视图（写出各顶点字母）.ABCD1A 11D21、（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 已知函数22()32log ,()log f x x g x x =-=.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()()1()h x f x g x =+⋅的值域；（2）如果对任意的[]1,4x ∈，不等式2()()f x f k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围.22、（本题满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知点12,F F 为双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线于点M ，且01230MF F ∠=，圆O 的方程为222x y b +=.（1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 上的点到两条渐近线的距离分别为12,d d ，求12d d ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点00(,)P x y 作切线l 交双曲线C 于,A B 两个不同点，求OA OB ⋅uu r uu u r的值.23、（本题满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分. 如果存在常数a 使得数列{}n a 满足：若x 是数列{}n a 中的一项，则a x -也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”.（1）若数列：1,2,4,(4)m m >是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值；（2）若有穷递增数列．．．．．．{}n b 是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求证：数列{}n b 的前n 项和2n nS a =⋅； （3）已知有穷等差数列．．．．．．{}n c 的项数是00(3)n n ≥，所有项之和是B ，试判断数列{}n c 是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用0n 和B 表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由.文科试卷参考答案及评分标准一． 填空题：1．0z z i ==-或 2． 3π3．3 4. ()3,4 5．17.64 6．1- 78． 10 9．1 10．3411．5812．8 14．9二．选择题： 15．A 16．D 17．A 18．D三．解答题:19．解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得BbA a sin sin =将32,35,6π===B b a 代入上式得，32sin35sin 6π=A…………………2分解得53sin =A ；………………………………………………4分 （2）ABC ∆中，π=++CB A ,且B 为钝角，所以54cos =A …………………6分 54cos )cos(-=-=+A C B ……………………………………………8分257sin 212cos 2=-=A A ……………………………………………10分 所以2513257542cos )cos(-=+-=++A C B …………………………………12分20．解： （1）设1AA h =，则111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=--------------------2’ 1110222210323h h h ∴⨯⋅-⨯⨯⨯⨯==，解得：3h =-----------------------6’（2）13=2232232222S ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+表24=+’ 主视图与俯视图各得2分.21．解： （1）22()(42log )log 2(log h x x x =-⋅=-因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2x ∈，…………………故函数()h x 的值域为[]0,2…………………6分（2）由2()()f x f k g x ⋅>⋅得222(34log )(3log )log x x k x -->⋅令2log t x =，因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2t x =∈所以(34)(3)t t k t -->⋅对一切的[]0,2t ∈恒成立…………………8分 ① 当0t =时，k R ∈；…………………9分② 当(]0,2t ∈时，(34)(3)t t k t --<恒成立，即9415k t t<+-…………………11分因为9412t t +≥，当且仅当94t t =，即32t =时取等号…………………12分所以9415t t+-的最小值为3-…………………13分综上，(),3k ∈-∞-…………………14分22．解：（1）设2,F M的坐标分别为0)y -------------------1分因为点M 在双曲线C 上，所以220211y b b+-=，即20y b =±，所以22MF b =------------2分在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b =------------3分由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -=-------------------4分 （2）由条件可知：两条渐近线分别为120;0l y l y -=+=-------------------5分 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ，则点Q到两条渐近线的距离分别为12d d ==-------------------7分所以22001223x y d d -⋅==-------------------8分因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上，所以220022x y -=-------------------9分 故2200122233x y d d -⋅==-------------------10分 （3）解一：因为00(,)P x y 为圆O ：222x y +=上任意一点，设00,x y αα==所以切线l的方程为：cos sin x y αα+=分代入双曲线C ：22222(cos sin )x y x y αα-==+ 两边除以2x ，得222(1sin)()2sin cos ()cos 20y y x xαααα+++-=-------------------13分设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212,y y x x 是上述方程的两个根 由韦达定理知：212212cos 21sin 1y y x x αα-==-+，即12120x x y y +=-------------------15分 所以12120OA OB x x y y ⋅=+=-------------------16分解二：设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y +=-------------------12分 ①当00y ≠时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=所以：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=----------------------13分 又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦- 所以222200001212222222000000(24)8242()0(2)22y x x y OA OB x x y y y x y x y x +--+⋅=+=-+==--------------15分②当00y =时，易知上述结论也成立。

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3、第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

一、选择题（1）已知集合{|}{|}{|}{|}A x xB x xC x xD x x ==是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）.()()()()A A B B C B C D C D A D⊆⊆⊆⊆【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解。

（2）函数1(1)y x x =+-≥的反函数为（ ）. 2()1(0)A yx x =-≥ 2()1(1)B yx x =-≥ 2()1(0)C yx x =+≥ 2()1(1)D yx x =+≥ 【考点】反函数【难度】容易【点评】本题考查反函数的求解方法，注意反函数的定义域即为原函数的值域。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数与初等函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。

（3）若函数()s i n [0,2]3x fx ϕϕ+=∈(π）是偶函数，则ϕ=（ ）.()2A π 2()3B π 3()2C π 5()3D π 【考点】三角函数与偶函数的结合【难度】中等【点评】本题考查三角函数变换，及偶函数的性质。