高三总复习-数列不等式题型(含答案)

高中数学专题复习《函数不等式三角向量数列算法等大综合问题》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．(汇编全国1理)若直线1x ya b+=通过点(cossin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤B ．221a b+≥C ．22111a b +≤D ．22111a b+≥ D ．由题意知直线1x ya b+=与圆221x y +=有交点，则2222111111a ba b ++≤1,≥. 另2． 设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t3691215182124y12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ） A ．]24,0[,6sin312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++= 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题3．向量(cos 10,sin 10),(cos 70,sin 7a b ==，2a b -= ．4．已知集合2{|40}A x x =-<，{|21,}B x x n n Z ==+∈，则集合AB = .5．已知二次函数f （x ）＝x 2－2x ＋6，设向量a ＝（sin x ，2），b ＝（2sin x ，21），c ＝（cos2x ，1），d ＝（1，2）．当x ∈[0，π]时，不等式f （a·b ）>f （c ·d ）的解集为___________．6．已知：集合{}{}22231,23,A x y x x B y y x x x R ==-+==--∈，则()R C AB=_____ 评卷人得分三、解答题7．已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2b ac =，向量()()c o s ,1m A C =-和 ()1,cos n B =满足32m n ⋅=． （1）求sin sin A C 的值；（2）求证：ABC ∆为等边三角形．8．已知二次函数f (x )=x 2+mx+n 对任意x ∈R ，都有f (－x ) = f (2＋x )成立，设向量→a = ( sinx , 2 ) ，→b = (2sinx , 12)，→c = ( cos 2x , 1 )，→d =(1,2)，（Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）当x ∈[0,π]时，求不等式f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )的解集.9．已知向量p ＝(sin x ，3cos x )，q ＝(cos x ，cos x )，定义函数()f x ＝p q ⋅(1)求()f x 的最小正周期T ；(2)若△ABC 的三边长,,a b c 成等比数列，且22c ac a bc +-=，求边a 所对角A 以及()f A的大小. （本题满分14分）10．设向量()()2sin,cos sin ,4cos ,cos sin ,2x a x b x x x f x a b⎛⎫=-=+=⋅ ⎪⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()[]23sin ,0,2g x f x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有2个不同的交点，求实数k 的取值范围。

高中数学总复习知识点专题讲解与练习专题2不等式一、单项选择题1．(2021·江西六校联考)已知集合A ＝{x ∈N |2x －7<0}，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，则A ∩B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{0，1，2，3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤72D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x ≤72 答案 B解析 由已知得A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |－1≤x ≤4}， 则A ∩B ＝{0，1，2，3}．故选B. 2．(2019·课标全国Ⅱ)若a >b ，则( )A ．ln(a －b )>0B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b | 答案 C解析 取a ＝2，b ＝1，满足a >b ，但ln(a －b )＝0，则A 错误；由9＝32>31＝3，则B 错误；取a ＝1，b ＝－2，满足a >b ，但|1|<|－2|，则D 错误；因为幂函数y ＝x 3是增函数，a >b ，所以a 3>b 3，即a 3－b 3>0，C 正确．故选C.3．(2021·东北三省四市一模)设a >0，b >0，若2a ＋b ＝2，则1a ＋2b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析 方法一：1a ＋2b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋4a b ＋2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2b a ×4a b ＝4，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝12，b ＝1时，等号成立．故选B. 方法二：1a ＋2b ＝2a ＋b 2a ＋2a ＋b b ＝1＋b 2a ＋2ab ＋1≥2＋2b 2a ×2a b ＝4，当且仅当b 2a ＝2a b ，即a ＝12，b ＝1时，等号成立．故选B.4．已知a ，b 都是实数，则“ln 1a <ln 1b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ∵ln 1a <ln 1b ，∴0<1a <1b ，∴a >b >0，∴a 2>b 2.而由a 2>b 2得到|a |>|b |，∴“ln 1a <ln 1b ”是“a 2>b 2”的充分不必要条件．故选C.5．下列各函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x ＋1x答案 D解析 当x >0时，y ＝x ＋1x ≥2，当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）≤－2，故A 不正确； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x ∈(0，1)，令t ＝sin x ∈(0，1)，则y ＝t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时等号成立，t ＝sin x ∈(0，1)，t ＝2取不到，所以y >4，故B 不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，由于x 2＋2＝1x 2＋2无解，所以等号不能取得，故C不正确； y ＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，故D 正确．故选D.6．(2021·山西晋中月考)已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B解析 由a >－1，b >－2，得a ＋1>0，b ＋2>0，a ＋b ＝(a ＋1)＋(b ＋2)－3≥2（a ＋1）（b ＋2）－3＝2×4－3＝5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值是5.故选B.7．(2021·湖北十一校联考)设a >0，b >0，则“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为a >0，b >0，所以4≥1a ＋1b ≥21a ·1b ，当且仅当a ＝b 时取等号，则2≥1ab，所以ab ≥14；若ab ≥14，取a ＝14，b ＝1，则1a ＋1b ＝4＋1＝5>4，即1a ＋1b ≤4不成立．所以“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的充分不必要条件．故选A.8．(2021·四川省宜宾二模)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3 答案 C解析 不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，等价于a ≥－x －1x 对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，∵y ＝－x －1x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数，∴－x －1x ≤－12－2＝－52，∴a ≥－52，∴a 的最小值为－52.故选C. 9．若log 3(2a ＋b )＝1＋log3ab ，则a ＋2b 的最小值为( )A ．6 B.83 C ．3 D.163 答案 C解析 本题考查基本不等式．由题意得log 3(2a ＋b )＝1＋log 3(ab )，所以2a ＋b ＝3ab ，a >0，b >0，即2b ＋1a ＝3，所以a ＋2b ＝13(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＋1a ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×2a b ×2b a ＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．故选C.10．已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．(1，3) 答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f (a )>0对任意a ∈[－1，1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，① 且f (1)＝x 2－3x ＋2>0，② 联立①②，解得x <1或x >3.故选C. 二、多项选择题11．(2021·河北衡水中学二调)已知0<log 12a <log 12b <1，则下列说法正确的是( )A ．1>a 2>b 2>14B ．2>1a >1b >1C.a b －1>b a －1D.1e >e －b >e －a >1e 答案 ACD解析 已知0<log 12a <log 12b <1，因为y ＝log 12x 在区间(0，＋∞)上单调递减，所以12<b <a <1，所以14<b 2<a 2<1，故A 正确；因为函数y ＝1x 在区间(0，＋∞)上单调递减，且12<b <a <1，所以2>1b >1a >1，故B 错误；因为a b －1－ba －1＝a （a －1）－b （b －1）（b －1）（a －1）＝（a 2－b 2）－（a －b ）（b －1）（a －1）＝（a －b ）（a ＋b －1）（b －1）（a －1）.又12<b <a <1，所以（a －b ）（a ＋b －1）（b －1）（a －1）>0，故C 正确；因为－12>－b >－a >－1，函数y ＝e x 为单调递增函数，所以1e <e －a <e －b <1e，故D 正确．12．(2021·长郡模拟)设a >b >1，0<c <1，则下列不等式中成立的是( ) A ．a c <b c B ．a b >b c C ．log b c <log a c D ．log c b <log c a 答案 BC解析 0<c <1⇒a c >b c ，故A 错误；因为a >b >1，0<c <1，所以a b >b b >b c ，故B 正确；由对数函数的单调性可得log c b >log c a ，故D 错误；因为log b c ＝1log cb ，log ac ＝1log ca ，0>log c b >log c a ，所以log b c <log a c ，故C 正确．故选BC. 13．下列结论正确的是( )A ．若ab >0，则b a ＋ab ≥2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．若x 2＋y 2＝1(x >0，y >0)，则1x 2＋4y 2≥9 D ．函数f (x )＝e －x ＋e x (x >0)有最小值2 答案 AC解析 因为ab >0，所以a b >0，b a >0，所以由基本不等式可得b a ＋ab ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立，A 正确；易知y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2，因为x 2＋2≥2，f (x )＝x ＋1x 在[2，＋∞)上单调递增，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2＋12＝322，所以函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为322，B 错误；因为x 2＋y 2＝1(x >0，y >0)，所以1x 2＋4y 2＝(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋y 2x 2＋4x 2y 2≥9，当且仅当y 2＝2x 2时等号成立，C 正确；f (x )＝e －x ＋e x ＝1e x ＋e x ≥2，当且仅当x ＝0时取等号，而x >0，故D 错误．故选AC.14．(2021·唐山市三模)已知函数f (x )＝x ＋1x (x >0)，若f (a )＝f (b )，且a <b ，则下列不等式成立的有( )A ．ab ＝1B ．a 2＋b 2>2 C.1a ＋2b ≥22 D ．log a b <log b a 答案 ABC解析 ∵f (x )＝x ＋1x (x >0)，f (a )＝f (b )，∴a ＋1a ＝b ＋1b ，即a －b ＝1b －1a ＝a －b ab .∵a <b ，∴a －b ≠0，∴1ab ＝1，即ab ＝1，故A 正确． ∵a <b ，ab ＝1，∴a 2＋b 2>2ab ，即a 2＋b 2>2，故B 正确． 1a ＋2b ≥22ab ＝22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，ab ＝1，即⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2时“＝”成立，故C 正确． ∵ab ＝1，∴a ＝1b ，b ＝1a，∴log a b ＝log b a ＝－1，故D 错误．故选ABC. 15．已知2a ＝3b ＝6，则下列选项一定正确的是( ) A ．ab >4 B ．(a －1)2＋(b －1)2<2 C ．log 2a ＋log 2b >2 D ．a ＋b >4 答案 ACD解析 ∵2a＝3b＝6，∴a ＝log 26，b ＝log 36.∴1a ＝log 62，1b ＝log 63，∴1a ＋1b ＝1.∵1＝1a ＋1b ≥21ab ，∴ab ≥4.∵a ≠b ，∴ab >4，故A 正确．∵log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )>log 24＝2，故C 正确．∵a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a b ＋ba ＋2≥4.∵a ≠b ，∴a ＋b >4，故D 正确． ∵a －1＝log 23，b －1＝log 32，∴(a －1)·(b －1)＝1，∴(a －1)2＋(b －1)2≥2(a －1)·(b －1)＝2.∵a －1≠b －1，∴(a －1)2＋(b －1)2>2.故B 不正确．故选ACD.三、填空题16．(2021·济南学情诊断)若实数x ，y 满足lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )，则xy 的最小值为________． 答案 4解析 依题意可知x >0，y >0，由lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )得lg(xy )＝lg(x ＋y )，得xy ＝x ＋y .由基本不等式得xy ＝x ＋y ≥2xy ，即xy －2xy ＝xy (xy －2)≥0，所以xy ≥2，xy ≥4，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以xy 的最小值为4.17．(2021·辽宁五校期末联考)已知正实数a ，b 满足ab －b ＋1＝0，则1a ＋4b 的最小值是________． 答案 9解析 本题考查基本不等式的应用．∵ab －b ＋1＝0，∴a ＝b －1b >0，∴b －1>0. 又1a ＋4b ＝b b －1＋4b ＝5＋1b －1＋4(b －1)≥5＋21b －1·4（b －1）＝5＋4＝9，当且仅当1b －1＝4(b －1)，即b ＝32，a ＝13时等号成立，则1a ＋4b 的最小值是9.18．(2021·吉林五校联考)若正实数a ，b 满足ab ＝1，则1a ＋1b ＋1a ＋b 的最小值为________．答案 52解析 方法一：因为a >0，所以a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ＝1时等号成立，又ab ＝1，所以a ＝1b ，则1a ＋1b ＋1a ＋b＝1a ＋a ＋1a ＋1a .令t ＝a ＋1a ≥2，f (t )＝t ＋1t ，则f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以f (t )min ＝f (2)＝2＋12＝52，所以1a ＋1b ＋1a ＋b的最小值为52.方法二：因为ab ＝1，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”.1a ＋1b ＋1a ＋b ＝b ＋a ＋1a ＋b ，令t ＝a ＋b ≥2，f (t )＝t ＋1t ，则f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以1a ＋1b ＋1a ＋b 的最小值为2＋12＝52.19．(2021·临渭期末)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．12 答案 B解析 ∵x 2＋2xy －3＝0，∴y ＝3－x 22x ，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝3x 2＋32x ≥23x 2·32x＝3，当且仅当3x 2＝32x ，即x ＝1时取等号．故选B.20．(2021·毕业班第二次文科卷)已知a －5＝ln a 5<0，b －4＝ln b 4<0，c －3＝ln c3<0，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <c <aB ．a <c <bC ．a <b <cD ． c <b <a 答案 C解析 令f (x )＝x －ln x ，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ， 当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增．当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减，故f (5)>f (4)>f (3)， ∴5－ln 5>4－ln 4>3－ln 3. ∵a －5＝ln a5＝ln a －ln 5<0， ∴a －ln a ＝5－ln 5，∴f (a )＝f (5)，且a ∈(0，1)．同理f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，且b ∈(0，1)，c ∈(0，1)， ∴f (a )>f (b )>f (c )，∴a <b <c .故选C.1．(2021·山东滨州市一模)已知p ：|x －a |<1，q ：3x ＋1>1，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[－1，2)D ．(－1，2) 答案 A解析 因为|x －a |<1，所以a －1<x <a ＋1，即p ：a －1<x <a ＋1， 因为3x ＋1>1，所以－1<x <2，即q ：－1<x <2. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧a －1≥－1，a ＋1≤2，且等号不能同时取到，解得0≤a ≤1.故选A.2．不等式x2x －1>1的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 答案 A解析 原不等式等价于x2x －1－1>0，即x －（2x －1）2x －1>0，整理得x －12x －1<0，不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1.故选A.3．【多选题】(2021·梅州市高三总复习)若1a >1b >0，下列不等式中正确的是( )A ．a 2(1＋b )<ab (1＋a )B ．a 3＋b 3>2ab 2 C.b －a <b －a D ．log a ＋23>log b ＋13答案 AC解析 ∵1a >1b >0，∴b >a >0.a 2(1＋b )－ab (1＋a )＝a 2＋a 2b －ab －a 2b ＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，故a 2(1＋b )<ab (1＋a )，故A 正确．a 3＋b 3－2ab 2＝a 3－ab 2＋b 3－ab 2＝a (a －b )·(a ＋b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2＋ab －b 2)． 令a ＝2，b ＝3，则a 2＋ab －b 2>0.∴此时a 3＋b 3<2ab 2，故B 不正确．b －a <b －a 等价于b ＋a －2ab <b －a ，即a <ab .即a <b .∴b －a <b －a 成立，故C 正确．令b ＝2，a ＝1，则log a ＋23＝log b ＋13＝1，故D 错误．故选AC.4．(2021·A 佳湖南大联考)已知a >0，b >0，则“a >b ”是“a －b >1a －1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a >b >0，则1b >1a ，所以a ＋1b >b ＋1a ，所以a －b >1a －1b ，充分性成立．若a －b >1a －1b ，则a ＋1b －b －1a >0，即(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab >0，又a >0，b >0，所以1＋1ab >0，所以a －b >0，即a >b ，必要性成立．故“a >b ”是“a －b >1a －1b ”的充要条件．故选C.5．【多选题】(2021·山东滨州二模)下列命题为真命题的是( )A ．若a >b ，则2a －b >12B ．若a >b >0，则lg a lg b >1C ．若a >0，b >0，则ab ≥2ab a ＋bD ．若a >b ，则ac 2>bc 2 答案 AC 解析 对于A ，因为a >b ，所以a －b >0，所以2a －b >1>12，故正确；对于B ，a ＝10，b ＝110，lg a lg b >1不成立；对于C ，因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，所以ab ＝2ab 2ab ≥2ab a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故正确；对于D ，当c ＝0时不成立．故选AC.6．【多选题】(2021·高三5月数学)已知两个不为零的实数x ，y 满足x <y ，则下列结论正确的是( )A ．3|x －y |>1B ．xy <y 2C ．x |x |<y |y | D.1x －1y <e x －e y答案 AC解析 因为x <y ，所以|x －y |>0，所以3|x －y |>1，则A 正确；因为x <y ，当y >0时，xy <y 2，当y <0时，xy >y 2，则B 错误；令f (x )＝x |x |，易知f (x )在R 上单调递增，又x <y ，所以f (x )<f (y )，即x |x |<y |y |，则C 正确；对于D ，方法一：令g (x )＝1x －e x ，易知g (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，不妨设0<x <y ，则g (x )>g (y )，即1x －e x >1y －e y ，亦即1x －1y >e x －e y ，则D 错误；方法二：取x ＝－1，y ＝1，则1x －1y ＝－2>e －1－e ，则D 错误．故选AC.7．【多选题】(2021·茂名第三次联考)已知1a <1b <0，则下列不等式错误的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b >1B.1b －a >1b C ．a 3>b 3 D.b a ＋b <1a答案 ABD解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0.∴a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b ∈(0，1)，故A 错误；不妨设b ＝－2，a ＝－1， ∴1b ＝－12，1b －a ＝－1，∴1b －a<1b ，故B 错误；∵b <a <0，y ＝x 3在R 上单调递增，∴a 3>b 3，故C 正确；不妨设b ＝－2，a ＝－1，∴b a ＋b ＝－2－3＝23，1a＝－1， ∴b a ＋b >1a，故D 错误．故选ABD. 8．【多选题】(2021·山东4月联考)若a >b >0，且ab ＝1，则( )A ．a >b ＋1 B.1a 2＋1<1b 2＋1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．log 2(a ＋b )>1 答案 BD解析 ∵a >b >0且ab ＝1，∴a >1>b >0，∴a －b －1＝1b －b －1＝1－b 2－b b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋54b，不能确定正负，故A 错误． ∵a >b >0，∴a 2>b 2.∴a 2＋1>b 2＋1>0.∴1a 2＋1<1b 2＋1，故B 正确． ∵a >b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，故C 错误． 由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2.∵a ≠b ，∴a ＋b >2，∴log 2(a ＋b )>1，故D 正确．故选BD.9．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 (－4，2)解析 记t ＝x ＋2y ，由不等式恒成立可得m 2＋2m <t min .因为2x ＋1y ＝1，所以t ＝x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y . 而x >0，y >0，所以4y x ＋x y ≥2 4y x ·xy ＝4.⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时等号成立 所以t ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋4＝8，即t min ＝8.故m 2＋2m <8，即(m －2)(m ＋4)<0，解得－4<m <2.所以实数m 的取值范围为(－4，2)．10．已知正实数x ，y 满足2xy ＋2x ＋y ＝3，则2x ＋3y 的最小值为________． 答案 43－4解析 由2xy ＋2x ＋y ＝3得2x ＝3－y y ＋1. 又x ，y 为正实数，所以2x ＝3－y y ＋1>0，得0<y <3. 则2x ＋3y ＝3－y y ＋1＋3y ＝4y ＋1＋3(y ＋1)－4≥2 4y ＋1×3（y ＋1）－4＝43－4， 当且仅当4y ＋1＝3(y ＋1)，即y ＝233－1时取等号．。

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第7章 不等式、推理与证明 第4节 基本不等式及其应用模拟创新题 理一、选择题1.(2016·四川资阳诊断)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab ，则a ＋2b 的最小值为( ) A.5＋2 2 B.8 2 C.5D.9解析 ∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab ， ∴a ＝bb －2＞0，解得b ＞2.则a ＋2b ＝bb －2＋2b ＝1＋2b －2＋2(b －2)＋4≥5＋22b －2·2（b －2）＝9，当且仅当b ＝3，a ＝3时取等号，其最小值为9. 答案 D2.(2016·辽宁师大附中模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为( )A.2B.4C.8D.16解析 ∵x ＝－2时，y ＝log a 1－1＝－1，∴函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A (－2，－1)， ∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1， ∵m >0，n >0，1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4mn＋2≥4＋2·n m ·4mn＝8， 当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号.故选C.答案 C3.(2014·北京模拟)要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( ) A.50 B.25 3 C.50 3D.100解析 设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100. 于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立.答案 A二、填空题4.(2016·山东泰安模拟)若直线l ：x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________.解析 直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .求直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值即求a ＋b 的最小值.由直线l 经过点(1，2)得1a ＋2b＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b，因为b a＋2ab≥2b a ×2a b ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号. 所以a ＋b ≥3＋2 2. 答案 3＋2 2创新导向题与向量有关的条件不等式求最值问题5.已知向量a ＝(m ，1－n )，b ＝(1，2)，其中m ＞0，n ＞0，若a ∥b ，则1m ＋1n的最小值是( )A.2 2B.3＋2 2C.4 2D. 3＋ 2解析 ∵向量a ＝(m ，1－n )，b ＝(1，2)，a ∥b .∴2m －(1－n )＝0，即2m ＋n ＝1，又m ＞0，n ＞0，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋2m n ＋n m≥3＋22m n·nm＝3＋2 2.当且仅当2m n ＝n m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时取等号.故1m ＋1n的最小值为3＋2 2.故选B.答案 B与函数有关的条件不等式求最值问题6.已知f (x )＝|log 3x |，若f (a )＝f (b )且a ≠b ，则1a ＋2b的取值范围是________.解析 根据题设，对于f (x )＝|log 3x |，有x ＞0， 若f (a )＝f (b )，则|log 3a |＝|log 3b |，又由a ≠b ，则有log 3a ＝－log 3b ，即log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ＝0，则ab ＝1，又由a ，b ＞0且a ≠b ， ∴1a ＋2b ＝b ＋2b≥22，当且仅当b ＝2取等号，即1a ＋2b的取值范围是[22，＋∞). 答案 [22，＋∞)专项提升测试 模拟精选题一、选择题7.(2015·北京海淀二模)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－∞，22－1) C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)解析 由f (x )>0得32x－(k ＋1)·3x＋2>0， 解得k ＋1<3x＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1. 答案 B8.(2014·皖北四市联考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c＋c ＋1a的最小值为( ) A.4 B.4 2 C.8D.8 2解析 ∵f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)， ∴a >0且Δ＝4－4ac ＝0.∴c ＝1a，∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋11a＋1a ＋1a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥4(当且仅当a ＝1时取等号)，∴a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为4，故选A. 答案 A 二、填空题9.(2014·山东临沂二模)已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则（a ＋b ）2cd的最小值是________.解析 ∵x 、a 、b 、y 成等差数列，∴a ＋b ＝x ＋y . ∵x 、c 、d 、y 成等比数列，∴cd ＝xy ， 则（a ＋b ）2cd＝（x ＋y ）2xy＝y x ＋xy ＋2≥4(x >0，y >0)，当且仅当y x ＝x y时，取等号.故答案为4. 答案 4 三、解答题10.(2014·江苏无锡调研题)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计). (1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低.解 (1)设污水处理池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x)＋100×200x ＋60×200＝800×(x ＋225x)＋12 000≥1 600x ·225x＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立.即污水处理池的长设计为15米时，可使总造价最低. (2)记g (x )＝x ＋225x(0<x ≤14.5)，显然是减函数，∴x ＝14.5时，g (x )有最小值，相应造价f (x )有最小值，此时宽也不超过14.5米.创新导向题与线性规划有关的条件不等式求最值问题11.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为7，则3a ＋4b的最小值为________.解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (1，0)，B (3，4)，C (0，1)，设z ＝F (x ，y )＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)，将直线l ：z ＝ax ＋by 进行平移，并观察直线l 在x 轴上的截距变化，可得当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值.∴z max ＝F (3，4)＝7，即3a ＋4b ＝7. 因此，3a ＋4b ＝17(3a ＋4b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋4b ＝17⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ，∵a ＞0，b ＞0，可得b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2，∴3a ＋4b ≥17(25＋12×2)＝7， 当且仅当a ＝b ＝1时，3a ＋4b的最小值为7.答案 7。

选修4－5 ⎪⎪⎪不等式选讲第1课确定值不等式[课前回扣教材] [过双基]1．确定值三角不等式定理1：假如a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：假如a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．确定值不等式的解法(1)含确定值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集不等式 a >0 a ＝0a <0|x |<a {}x |－a <x <a ∅∅ |x |>a{}x |x >a 或x <－a{}x ∈R|x ≠0R(2)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用确定值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． [小题速通]1．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1， 所以解集为{}x |x ≥1. 答案：{x |x ≥1}2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.答案：[－2,4]3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{}x |1≤x ≤3，则实数k ＝________. 解析：由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{}x |1≤x ≤3， ∴k ＝2. 答案：24．设不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围为____________． 解析：∵||x ＋1|－|x －2||≤3， ∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3，∴k ＜(|x ＋1|－|x －2|)的最小值， 即k ＜－3. 答案：(－∞，－3)5．f (x )＝|2－x |＋|x －1|的最小值为________． 解析：∵|2－x |＋|x －1|≥|2－x ＋x －1|＝1, ∴f (x )min ＝1. 答案：1 [清易错]1．对形如|f (x )|>a 或|f (x )|<a 型的不等式求其解集时，易忽视a 的符号直接等价转化造成失误． 2．确定值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |中易忽视等号成立的条件．如|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≤0时等号成立，其他类似推导．1．设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b |C ．|a －b |＜||a |－|b ||D ．|a －b |<|a |＋|b |解析：选B ∵ab <0，∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |.2．若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 解析：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤5. 答案：5[课堂争辩高考]确定值不等式的解法[典例] (2022·全国卷乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5. [方法技巧](1)求解确定值不等式的两个留意点：①要求的不等式的解集是各类情形的并集，利用零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段争辩． ②对于解较简单确定值不等式，要恰当运用条件，简化分类争辩，优化解题过程．(2)求解该类问题的关键是去确定值符号，可以运用零点分段法去确定值，此外还常利用确定值的几何意义求解．[即时演练]1．解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6.解：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12<x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x <－12.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.2．解不等式|x －1|－|x －5|<2.解：当x <1时，不等式可化为－(x －1)－(5－x )<2， 即－4<2，明显成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)； 当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1－(5－x )<2，即2x －6<2，解得x <4，所以此时不等式的解集为[1,4)； 当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2， 即4<2，明显不成立．所以此时不等式无解． 综上，不等式的解集为(－∞，4)．确定值不等式的证明[典例] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤6，|x －y |≤4，求证：|x ＋5y |≤1.[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由确定值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1. [方法技巧]确定值不等式证明的3种主要方法(1)利用确定值的定义去掉确定值符号，转化为一般不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． [即时演练](2022·唐山模拟)设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． 解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1.由－2＜－2x －1＜0， 解得－12＜x ＜12，则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12. 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14.由于|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， 所以|1－4ab |2＞4|a －b |2， 故|1－4ab |＞2|a －b |.确定值不等式的综合应用[典例] f x x a a (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2， 解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)． [方法技巧]确定值不等式的恒成立问题(1)争辩含有确定值的函数问题时，依据确定值的定义，分类争辩去掉确定值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a .f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a .[即时演练](2021·西安模拟)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |，x ∈R.(1)求证：当a ＝－12时，不等式ln f (x )＞1成立；(2)关于x 的不等式f (x )≥a 在R 上恒成立，求实数a 的最大值． 解：(1)证明：当a ＝－12时，由f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ＜－12，3，－12≤x ≤52，2x －2，x ＞52，画出草图，分析可得函数f (x )的最小值为3，从而f (x )≥3＞e ， 所以ln f (x )＞1成立．(2)由确定值的性质得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52－x －a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －52，所以f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－a ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－a ≥a ，解得a ≤54. 因此a 的最大值为54.1．(2021·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 23<x <2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．2．(2022·江苏高考)设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .证明：由于|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a3＝a .3．(2021·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )可化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.[高考达标检测]1．(2021·唐山模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )<3； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．解：(1)由于f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x <12，3x ，x ≥12，且f (1)＝f (－1)＝3，所以f (x )<3的解集为{x |－1<x <1}．(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a 2＋0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a 2， 当且仅当(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2≤0且x －a2＝0时，取等号．所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a 2＝1，解得a ＝－4或0.2．(2021·沈阳模拟)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x －4|>m 对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5>0，得x >－5，所以x ≥4. 当－12≤x ＜4时，f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3>0，得x >1，所以1<x <4.当x <－12时，f (x )＝－x －5>0，得x <－5，所以x <－5.综上，原不等式的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞)．(2)f (x )＋3|x －4|＝|2x ＋1|＋2|x －4|≥|2x ＋1－(2x －8)|＝9， 当－12≤x ≤4时等号成立，所以m <9，即m 的取值范围为(－∞，9)． 3．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1；(2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1.(2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2，当且仅当a ＝0时等号成立，∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，1－x ＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x <2，x －1＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 4．(2021·郑州二检)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解．综上所述，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12.(2)1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋mn≥4，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立．令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，103.5．(2022·山西考前质量检测)设函数f (x )＝|x －3|＋|2x －4|－a . (1)当a ＝6时，求不等式f (x )>0的解集；(2)假如关于x 的不等式f (x )<0的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝6时，f (x )＝|x －3|＋|2x －4|－6，由f (x )>0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－3x ＋1>0或⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤3，x －7>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，3x －13>0，解得x <13或x >133.故f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫133，＋∞.(2)∵|x －3|＋|2x －4|<a 的解集不是空集， |x －3|＋|2x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋7，x <2，x －1，2≤x ≤3，3x －7，x >3，∴(|x －3|＋|2x －4|)min ＝1， ∴a >1.故实数a 的取值范围为(1，＋∞)．6．(2022·南宁模拟)已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若f (x )≤m 的解集为[－1,5]，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)． 解：(1)∵|x －a |≤m ， ∴－m ＋a ≤x ≤m ＋a . ∵－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5， ∴a ＝2，m ＝3.(2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |. 当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0， ∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)；当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t2，∵1≤1＋t2≤2，∴0≤t ＜2时，0≤x ≤1＋t2，t ＝2时，0≤x ＜2；当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2， 当0≤t ＜2时，无解， 当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)，∴当0≤t ＜2时原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，t2＋1；当t ＝2时x ∈R.7．(2021·九江模拟)已知函数f (x )＝|x －3|－|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≤－12；(2)若存在实数a ，使得不等式f (x )≥a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵a ＝2，∴f (x )＝|x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤2，5－2x ，2<x <3，－1，x ≥3，∴f (x )≤－12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，1≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧2<x <3，5－2x ≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，－1≤－12，解得114≤x ＜3或x ≥3， ∴不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，＋∞.(2)由不等式性质可知f (x )＝|x －3|－|x －a |≤|(x －3)－(x －a )|＝|a －3|， ∴若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤32，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 8．(2021·石家庄模拟)设f (x )＝|ax －1|. (1)若f (x )≤2的解集为[－6,2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)明显a ≠0，当a ＞0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，3a ，则－1a ＝－6，3a＝2，无解；当a ＜0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ，－1a ，则－1a ＝2，3a＝－6，得a ＝－12.综上所述，a ＝－12.(2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －4，x ≤－14，6x －2，－14＜x ＜32，2x ＋4，x ≥32，由此可知，h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，32上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，则当x＝－14时，h (x )取到最小值－72，由题意知，－72≤7－3m ，解得m ≤72，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，72.第2课不等式证明[课前回扣教材] [过双基] 1．基本不等式定理1：假如a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：假如a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：假如a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)比差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .步骤是：“作差→变形→推断差的符号”．变形是手段，变形的目的是推断差的符号．(2)比商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB≥1. 3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件动身，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n a 2i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n b 2i ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n a i b i 2，当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b n a n (当a i ＝0时，商定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．[小题速通]1．若m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则m 与n 的大小关系为________． 解析：∵n －m ＝a ＋b 2＋1－a －2b ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴n ≥m . 答案：n ≥m2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出全部正确命题的序号)．①ab ≤1；② a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：令a ＝b ＝1，排解②④；由2＝a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤1，命题①正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，命题③正确；1a ＋1b＝a ＋b ab ＝2ab≥2，命题⑤正确．答案：①③⑤3．已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，则3x ＋4y 的最大值为________．解析：由柯西不等式得3x ＋4y ＝3·x ＋4·y ≤[]()32＋()42x ＋y ＝7.答案：7 [清易错]1．在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．1．已知a >0，b >0，则a a b b________(ab )a ＋b2(填大小关系)．解析：∵a a b b aba ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2，∴当a ＝b 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2＝1， 当a >b >0时，a b >1，a －b 2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>1，当b >a >0时，0<a b<1，a －b2<0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>1， ∴a a b b≥(ab )a ＋b2.答案：≥2．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．解析：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．答案：9 [课堂争辩高考]比较法证明不等式[典例] (2021·莆田模拟)设a ，b 是非负实数．求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． [证明] 由于(a 2＋b 2)－ab (a ＋b ) ＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab ) ＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b ) ＝(a 12－b 12)(a 32－b 32)，由于a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12)(a 32－b 32)≥0，所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． [方法技巧]比较法证明不等式的方法和步骤 (1)求差比较法：由a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b 只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法．(3)用比较法证明不等式的一般步骤是：作差(商)—变形—推断—结论，而变形的方法一般有配方、通分和因式分解．[即时演练]已知a ＝ln 22，b ＝ln 33，试比较a ，b 大小．解：∵ln 22＞0，ln 33＞0，∴b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1.∴b ＞a .综合法证明不等式[典例] a b a b (1)(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.[证明] (1)(ax ＋by )2－(ax 2＋by 2)＝a (a －1)x 2＋b (b －1)y 2＋2abxy ， 由于a ＋b ＝1，所以a －1＝－b ，b －1＝－a ，又a ，b 均为正数， 所以a (a －1)x 2＋b (b －1)y 2＋2abxy ＝－ab (x 2＋y 2－2xy )＝－ab (x －y )2≤0，当且仅当x ＝y 时等号成立． 所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.(2)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝4＋a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝4＋a 2＋b 2＋a ＋b2a 2＋a ＋b2b 2＝4＋a 2＋b 2＋1＋2ba ＋b 2a 2＋a 2b 2＋2a b ＋1＝4＋(a 2＋b 2)＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋2a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋a 2b 2≥6＋a ＋b 22＋4＋2＝252，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.[方法技巧]1．综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．综合法证明时常用的不等式 (1)a 2≥0. (2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有：a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ； a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.(4)a ＋b2≥ab ，它的变形形式有：a ＋1a ≥2(a >0)；ab ＋ba≥2(ab >0)；a b ＋ba≤－2(ab <0)． [即时演练]设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)由于a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.分析法证明不等式[典例] 设a ，b ，c ＞0求证：(1)a ＋b ＋c ≥ 3. (2)abc ＋ b ac ＋ cab≥3(a ＋b ＋c )． [证明] (1)要证a ＋b ＋c ≥3， 由于a ，b ，c ＞0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．所以原不等式成立． (2)a bc ＋b ac＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立， 只需证明1abc≥ a ＋b ＋c ，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca . 而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2.所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca 当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立． 所以原不等式成立． [方法技巧]1．用分析法证“若A 则B ”这个命题的模式 为了证明命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而有… 只需证明命题B 2为真，从而有… ……只需证明命题A 为真，而已知A 为真，故B 必真． 2．分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发觉条件和结论之间的关系时，可用分析法来查找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必需可逆．[即时演练]已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ， 即证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ， 即证|a －c |<c 2－ab ， 即证(a －c )2<c 2－ab ， 即证a 2－2ac <－ab .由于a >0，所以只要证a －2c <－b ， 即证a ＋b <2c .由已知条件知，上式明显成立，所以原不等式成立．柯西不等式的应用[典例] (2021·陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．[解] (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t≤ [32＋12][4－t2＋t2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4. [方法技巧]柯西不等式的常见类型及解题策略(1)求表达式的最值．依据已知条件，利用柯西不等式求最值，留意等号成立的条件；(2)求解析式的值．利用柯西不等式的条件，留意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值；(3)证明不等式．留意所证不等式的结构特征，查找柯西不等式的条件，然后证明． [即时演练]已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解：(1)由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又由于p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.1．(2022·全国甲卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2恒成立；当x≥12时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0.因此|a＋b|<|1＋ab|.2．(2021·全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．证明：(1)由于(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)①必要性：若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.由于a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)，得a＋b>c＋d.②充分性：若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.由于a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．3．(2022·全国卷Ⅰ)若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解：(1)由ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立．故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥4 3.由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.[高考达标检测]1．设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a2＋⎝⎛⎭⎪⎫b＋1b2＋⎝⎛⎭⎪⎫c＋1c2≥1003.证明：⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a2＋⎝⎛⎭⎪⎫b＋1b2＋c＋1c2＝13(12＋12＋12)⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a2＋⎝⎛⎭⎪⎫b＋1b2＋⎝⎛⎭⎪⎫c＋1c2≥131×⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a＋1×b＋1b＋1×⎝⎛⎭⎪⎫c＋1c2＝131＋1a＋1b＋1c2＝131＋(a＋b＋c)1a＋1b＋1c2≥13×(1＋9)2＝1003.即原不等式成立．2．(2021·大连双基测试)已知x，y是两个不相等的正实数，求证：(x2y＋x＋y2)(xy2＋y＋x2)>9x2y2.证明：由于x，y是正实数，所以x2y＋x＋y2≥33x2y·x·y2＝3xy，当且仅当x2y＝x＝y2，即x＝y＝1时，等号成立；同理：xy2＋y＋x2≥33xy2·y·x2＝3xy，当且仅当xy2＝y＝x2，即x＝y＝1时，等号成立．所以(x2y＋x＋y2)(xy2＋y＋x2)≥9x2y2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．由于x≠y，所以(x2y＋x＋y2)(xy2＋y＋x2)>9x2y2.3．已知x，y∈R，且|x|<1，|y|<1.求证：11－x2＋11－y2≥21－xy.证明：法一：(分析法)∵|x|<1，|y|<1，∴11－x2>0，11－y2>0，∴11－x 2＋11－y2≥21－x21－y2.故要证明结论成立， 只要证明21－x21－y2≥21－xy成立． 即证1－xy ≥1－x 21－y2成马上可．∵(y －x )2≥0，有－2xy ≥－x 2－y 2， ∴(1－xy )2≥(1－x 2)(1－y 2)， ∴1－xy ≥1－x21－y2>0. ∴不等式成立．法二：(综合法)∵211－x 2＋11－y2≤1－x 2＋1－y22＝2－x 2＋y 22≤2－2|xy |2＝1－|xy |，∴11－x 2＋11－y 2≥21－|xy |≥21－xy， ∴原不等式成立．4．设函数f (x )＝|x －4|＋|x －3|，f (x )的最小值为m . (1)求m 的值；(2)当a ＋2b ＋3c ＝m (a ，b ，c ∈R)时，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解：(1)法一：f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1. 法二：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －7，x ≥4，1，3≤x ＜4，7－2x ，x <3.当x ≥4时，f (x )≥1；当x <3时，f (x )>1；当3≤x ＜4时，f (x )＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.(2)(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋32)≥(a ＋2b ＋3c )2＝1， 故a 2＋b 2＋c 2≥114， 当且仅当a ＝114，b ＝17，c ＝314时取等号．故a 2＋b 2＋c 2的最小值为114.5．(2021·云南统一检测)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|2－x |≤a ≤|x ＋1|＋|2－x |都成立．(1)求a 的值；(2)设m ＞n ＞0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .解：(1)设f (x )＝|x ＋1|－|2－x |， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2，∴f (x )的最大值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|－|2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ， ∴a ≥3.设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1＜x ＜2，2x －1，x ≥2，则h (x )的最小值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|＋|2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ， ∴a ≤3. ∴a ＝3.(2)证明：由(1)知a ＝3.∵2m ＋1m 2－2mn ＋n2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1m －n2，且m ＞n ＞0，∴(m －n )＋(m －n )＋1m －n2≥33m －nm －n1m －n2＝3.∴2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .6．(2021·吉林试验中学模拟)设函数f (x )＝|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4.解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4， ①当x ≥2时，不等式可化为x －2＋x －1≥4，解得x ≥72；②当1＜x ＜2时，不等式可化为2－x ＋x －1≥4，不等式的解集为∅；③当x ≤1时，不等式可化为2－x ＋1－x ≥4，解得x ≤－12.综上可得，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. (2)证明：∵f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，所以1m ＋12n＝1(m >0，n >0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n ＝2＋m 2n ＋2nm≥2＋2m 2n ·2nm＝4， 当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号．7．(2021·合肥模拟)已知a ＞0，b ＞0，记A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b . (1)求2A －B 的最大值；(2)若ab ＝4，是否存在a ，b ，使得A ＋B ＝6？并说明理由． 解：(1)2A －B ＝2a －a ＋2b －b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222－⎝ ⎛⎭⎪⎫b －222＋1≤1， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，即2A －B 的最大值为1.(2)A ＋B ＝a ＋b ＋a ＋b ≥2ab ＋2ab ，由于ab ＝4，所以A ＋B ≥4＋22＞6，所以不存在这样的a ，b ，使得A ＋B ＝6. 8．(2022·西安质检)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |<1，|b |<1，a ≠0，求证：f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－3，－x ＋4，－3≤x <12，3x ＋2，x ≥12，当x <－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x <12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－103∪[2，＋∞)． (2)证明：f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 等价于f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ， 即|ab －1|>|a －b |. 由于|a |<1，|b |<1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)>0， 所以|ab －1|>|a －b |. 故所证不等式成立．。