第四章 第一节 任意角和弧度制、任意角的三角函数

第四章三角函数、解三角形

第一节任意角和弧度制、任意角的三角函数

1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．

2.能进行弧度与角度的互化．

3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、

正切)的定义.

[基本知识]

1．角的定义

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

2．角的分类

角的分类

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧按旋转方向

不同分类

⎩⎪

⎨

⎪⎧

正角：按逆时针方向旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

零角：射线没有旋转

按终边位置

不同分类

⎩⎪

⎨

⎪⎧

象限角：角的终边在第几象限，这

个角就是第几象限角

轴线角：角的终边落在坐标轴上

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)第二象限角大于第一象限角．()

(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角．()

(3)终边在y＝x上的角构成的集合可表示为{ α| α＝π4＋kπ，k∈Z }.()

答案：(1)×(2)×(3)√

二、填空题

1．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．

解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.

答案：220°

2．已知角α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π

3，则sin α＝________.

解析：因为角α与β的终边关于直线y ＝x 对称． 所以α＋β＝2k π＋π

2(k ∈Z)，

则α＝2k π＋5

6π，k ∈Z.

所以sin α＝sin 56π＝1

2.

答案：1

2

3．已知α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．

解析：由α是第二象限角可得，90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ，所以180°－(180°＋k ·360°)<180°－α<180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°<180°－α<90°－k ·360°(k ∈Z)．所以180°－α为第一象限角．

答案：一

象限角及终边相同的角

(1)要使角β与角α的终边相同，应使角β为角α与π的偶数倍(不是整数倍)的和． (2)注意锐角(集合为{α|0°<α<90°})与第一象限角(集合为{α|k ·360°<α<90°＋k ·360°，k ∈Z})的区别，锐角是第一象限角，仅是第一象限角中的一部分，但第一象限角不一定是锐角．

[典例感悟]

1．(2019·长春普通高中一模)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )

A.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫α⎪⎪

α＝2k π－π

3，k ∈Z B.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫α⎪

⎪ α＝2k π＋2π

3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪

⎪ α＝k π－2π

3，k ∈Z D.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫α⎪

⎪ α＝k π－π

3，k ∈Z 解析：选D 因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π

3

，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{ α⎪

⎪ α＝k π－π

3，k ∈Z }.故选D.

2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________________．

解析：所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z)，

得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z)， 解得－765360≤k <－45

360

(k ∈Z)，

从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°

3．若角α是第二象限角，则α

2是第________象限角．

解析：∵α是第二象限角，∴π

2

＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，

∴π

4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z.当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．

答案：一或三

[方法技巧]

1．象限角的两种判断方法

(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．

(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

2．求θ

n 或nθ(n ∈N *)所在象限的方法

(1)将θ的范围用不等式(含有k ，且k ∈Z)表示． (2)两边同除以n 或乘以n .

(3)对k 进行讨论，得到θ

n 或nθ(n ∈N *)所在的象限．

[针对训练]

1．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与角β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称

D ．关于y 轴对称

解析：选C 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，所以角α与角β的终边关于x 轴对称．

2．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ

2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角

D ．第四象限角