专题03 导数及其应用
1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A．e1ab， B．a=e，b=1
C．1e1ab， D．1ea，1b
【答案】D
【解析】∵eln1,xyax
∴切线的斜率1|e12xkya，1ea，
将(1,1)代入2yxb，得21,1bb.
故选D．
【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.
2．【2019年高考天津理数】已知aR，设函数222,1,()ln,1.xaxaxfxxaxx若关于x的不等式()0fx在R上恒成立，则a的取值范围为
A．0,1 B．0,2
C．0,e D．1,e
【答案】C
【解析】当1x时，(1)12210faa恒成立；
当1x时，22()22021xfxxaxaax恒成立，
令2()1xgxx，
则222(11)(1)2(1)1()111xxxxgxxxx
11122(1)2011xxxx， 当111xx，即0x时取等号，
∴max2()0agx，则0a.
当1x时，()ln0fxxax，即lnxax恒成立，
令()lnxhxx，则2ln1()(ln)xhxx，
当ex时，()0hx，函数()hx单调递增，
当0ex时，()0hx，函数()hx单调递减，
则ex时，()hx取得最小值(e)eh，
∴min()eahx，
综上可知，a的取值范围是[0,e].
故选C.
【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2fxxaxb．
（1）讨论()fx的单调性；
（2）是否存在,ab，使得()fx在区间[0,1]的最小值为1且最大值为1？若存在，求出,ab的所有值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）01ab或41ab．
【解析】（1）2()622(3)fxxaxxxa．
令()0fx，得x=0或3ax．
若a>0，则当(,0),3axU时，()0fx；当0,3ax时，()0fx．故()fx在(,0),,3a单调递增，在0,3a单调递减；
若a=0，()fx在(,)单调递增；
若a<0，则当,(0,)3axU时，()0fx；当,03ax时，()0fx．故()fx在,,(0,)3a单调递增，在,03a单调递减．
（2）满足题设条件的a，b存在．
（i）当a≤0时，由（1）知，()fx在[0，1]单调递增，所以()fx在区间[0，l]的最小值为(0)=fb，最大值为(1)2fab．此时a，b满足题设条件当且仅当1b，21ab，即a=0，1b． 专题20函数与导数综合 （ii）当a≥3时，由（1）知，()fx在[0，1]单调递减，所以()fx在区间[0，1]的最大值为(0)=fb，最小值为(1)2fab．此时a，b满足题设条件当且仅当21ab，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0
若3127ab，b=1，则332a，与0
若3127ab，21ab，则33a或33a或a=0，与0
综上，当且仅当a=0，1b或a=4，b=1时，()fx在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．
1
专题06 函数的奇偶性的应用
【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1x，则当x<0时，f(x)=
A．e1x B．e1x
C．e1x D．e1x
【答案】D
【解析】由题意知()fx是奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1x，则当0x时，0x，则()exfx1()fx，得()e1xfx．故选D．
【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．
【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()fx是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx．若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffff
A．50 B．0
C．2 D．50
【答案】C
【解析】因为()fx是定义域为(,)的奇函数，且(1)(1)fxfx，
所以(1)(1),(3)(1)(1),4fxfxfxfxfxT，
因此(1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)ffffffffff，
因为(3)(1),(4)(2)ffff，所以(1)(2)0())(34ffff，
因为(2)(0)0ff，从而(1)(2)(3)(50)(1)2fffff．
故选C．
【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量
2 转化到已知解析式的函数定义域内求解．
【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当(,0)x时，32()2fxxx,则(2)f______________．
专题08 数列
1．【2019年高考全国I卷理数】记
nS
为等差数列{}
na
的前n项和．已知
4505Sa，
，
则
A．25
nan
B．310
nan
C．2
28
nSnn
D．21
2
2nSnn
2．【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列
na
的前4项和为15，且
53134aaa
，则
3a
A．16 B．8
C．4 D．2
3．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{a
n}满足a
1=a，a
n+1=a
n2
+b，nN，则
A．当
101
,10
2ba
B．当
101
,10
4ba
C．当
102,10ba
D．当
104,10ba
4．【2019年高考全国I卷理数】记S
n为等比数列{a
n}的前n项和．若2
1461
3aaa，
，则
S
5=____________．
5．【2019年高考全国III卷理数】记S
n为等差数列{a
n}的前n项和，
12103aaa≠，
，则
10
5S
S___________.
6
．【2019
年高考北京卷理数】设等差数列{a
n}
的前n
项和为S
n，若a
2=-3
，S
5=-10
，则
a
5=__________，S
n的最小值为__________．
7．【2019年高考江苏卷】已知数列*
{}()
nanN
是等差数列，
nS是其前n项和.若
25890,27aaaS，则
8S
的值是_____.
8．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{a
n}和{b
n}满足a
1=1，b
1=0，
1434
nnnaab
，
1434
nnnbba
.
（I）证明：{a
n+b
n}是等比数列，{a
n–b
n}是等差数列；
（II）求{a
n}和{b
n}的通项公式.
9．【2019年高考北京卷理数】已知数列{a
n}，从中选取第i
1项、第i
2项、…、第i
m项（i
1
2<…＜i
m），
若
12miiiaaa
，则称新数列
12miiiaaa，，，
为{a
n}的长度为m的递增子列．规定：
数列{a
n}的任意一项都是{a
n}的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
