第二章二次函数
2.4 二次函数的应用（1）
一、知识点
1.利用二次函数求几何图形面积最大值的基本思路.
2.求几何图形面积的常见方法.
二、教学目标
知识与技能：
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
过程与方法：
1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．
2.通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
情感与态度：
1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2.能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．
3.进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
三、重点与难点
重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题.
难点：把实际问题转化成函数模型.
四、创设情境，引入新知(放幻灯片2、3、4）
1.(1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.
(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？
设计意图：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路.
2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米.
(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .
设计意图：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程.
五、探究新知(放幻灯片5、6、7）
探究一：如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上，AN=40m ，AM=30m.
(1)设矩形的一边AB=x m,那么AD 边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为2ym ,当x 取何值时,y 的最大值是多少? 探究二：在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A 和点D
分别在两直角边上,BC 在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？ 探究三：如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使得EF 在BC 上,点D 、G
分别在边AB 、AC 上.问矩形DEFG 的最大面积是多少?
M
N D C B
A P M
N
D C B A F G
E D C
B A
设计意图：通过由学生讨论怎样用直角三角形剪出一个最大面积的矩形入手，由学生动手画出两种方法，和同学一起从问题中抽象出二次函数的模型，并求其最值，同时通过两种情况的分析，训练学生的发散思维能力，关键是教会学生方法，也是这类问题的难点所在，即怎样设未知数，怎样转化为我们熟悉的数学问题.在此基础上对变式三进行探究，进而总结此类题型，得出解决问题的一般方法.
六、例题讲解(放幻灯片8、9）
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.
（1）用含x的代数式表示；
（2）当x等于多少时,窗户通过的光线最多? (结果精确到0.01m)此时,窗户的面积是多少? (结果精确到0.01m2)
归纳总结：二次函数应用的思路
设计意图：让学生进一步经历解决最值问题的过程，明确解决这类问题的一般步骤.
七、课堂练习
八、课堂小结(放幻灯片10）
九、课后作业
