第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y
y
x y x +++. 解 （1）=---3
811411
02811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-
=416824-++-=4-
（2）=b
a c a c
b c
b a cc
c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=
（3）=2
221
11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=
（4）y
x y x x y x y y
x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.
解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为
2
)
1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …
)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个
（6）逆序数为)1(-n n
3 2 1个 5 2，5
4 2个 ……………… …
)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个
4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …
)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个
3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．
由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为
10100=+++或22000=+++
∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.
4.计算下列各行列式：
（1）⎥⎥⎥⎥
⎦⎥⎢⎢⎢
⎢⎣⎢71
10
025*********
4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-26
52321121314
1
2； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦
⎥⎢⎢⎢
⎢⎣⎢---d c b a
1
00
110011001
解
(1)
71100251020214
214
34327c c c c --0
10014
23102
02110
214---=34)1(1431022
11014+-⨯---=14
31022110
14-- 3
21132c c c c ++14
171720010
99-=0
(2)
260
5232112131
412-24c c -2605032122130
412-24r r -0412032122130
412- 14r r -0
000032122130412-=0
(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1
111111
11---adfbce =abcdef 4
(4)
d c b a 100110011001---21ar r +d
c b a ab 1001
100
110
10---+=12)1)(1(+--d
c a ab 1011
1--+ 2
3dc c +0
10111-+-+cd c ad
a a
b =23)1)(1(+--cd
ad
ab +-+111=1++++ad cd ab abcd
5.证明: (1)1
11222
2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3
3+;
