课时达标检测(六十二) 参数方程 Word版含解析

第二节参数方程基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 22＋y 22＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”参数方程与普通方程的互化1．基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)具体步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．[例1] 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t ，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．[易错提醒](1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x ，y 的取值范围，保证消参前后的方程的一致性．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x ，y 的取值范围本节主要包括2个知识点： 1.参数方程；参数方程与极坐标方程的综合问题.的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.[例2] (2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．[方法技巧]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．[考点一]将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k 21＋k 2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)．2．[考点二](2017·唐山模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1,3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．3．[考点二](2017·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.4．[考点二]设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.(2)应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x ，y 的取值范围，即注意两者的等价性.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”参数方程与极坐标方程的综合问题[典例] (2017·长沙模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cosθ＋k sin θ)＝－2(k 为实数)．(1)判断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率．[方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．2．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3(t 为参数)．(1)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．[课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．(2017·郑州模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值．2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值．3．(2017·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.(1)写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；(2)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若|MA |·|MB |＝83，求点M 轨迹的直角坐标方程．4．(2017·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy 中，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．5．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－3，－32，曲线C 的极坐标方程为ρ＝5，直线l 过点P 且与曲线C 相交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若|AB |＝8，求直线l 的直角坐标方程．6．已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．7．(2017·河南六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ相交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．8．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．。

课时作业62 变量间的相关关系与统计案例1．(2019·辽宁丹东教学质量监测)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝6.705，则所得到的统计学结论是：有 的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”．( C )附： P (K 2≥k )0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.7063.8415.0246.63510.828C ．1%D ．0.1%解析：因为6.635＜6.705＜10.828，因此有1%的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”，故选C.2．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( C )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：由y ＝－0.1x ＋1，知x 与y 负相关，即y 随x 的增大而减小，又y 与z 正相关，所以z 随y 的增大而增大，减小而减小，所以z 随x 的增大而减小，x 与z 负相关，故选C.3．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( B )A.116B ．18C.14 D ．12解析：依题意可知样本点的中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ^，解得a^＝18.4．为考察A 、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法正确的是( C ) A ．药物A 、B 对该疾病均没有预防效果 B ．药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果 C ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果 D ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果解析：根据两个等高条形图知，药物A 实验显示不服药与服药时患病的差异较药物B 实验显示明显大，∴药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果．故选C. 5．(2019·河南焦作一模)已知变量x 和y 的统计数据如下表：x34567y 2.5 34 4.5 6根据上表可得回归直线方程为y ＝b x －0.25，据此可以预测当x ＝8时，y ^＝( C )A ．6.4B ．6.25C ．6.55D ．6.45解析：由题意知x ＝3＋4＋5＋6＋75＝5， y ＝2.5＋3＋4＋4.5＋65＝4， 将点(5,4)代入y ^＝b ^x －0.25，解得b ^＝0.85，则y ^＝0.85x －0.25， 所以当x ＝8时，y ^＝0.85×8－0.25＝6.55，故选C.6．(2019·南昌模拟)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表.由K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝100×(45×22－20×13)258×42×35×65≈9.616，参照附表，得到的正确结论是( C )A ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”解析：由题意K 2的观测值≈9.616＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“生育意愿与城市级别有关”．7．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.77x ＋52.9.73 .解析：由已知可计算求出x ＝30，而线性回归方程必过点(x ，y )，则y ＝0.77×30＋52.9＝76，设模糊数字为a ，则a ＋62＋75＋80＋905＝76，计算得a ＝73.8．(2019·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)推断犯错误的概率不超过 0.025 .附表：解析：由列联表计算K 2的观测值k ＝50(22×12－8×8)230×20×20×30≈5.556＞5.024，∴推断犯错误的概率不超过0.025.9．(2019·安徽蚌埠段考)为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了100名工人，且规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，列出的2×2列联表如下：年龄有关”．解析：由2×2列联表可知，K 2＝100×(25×30－10×35)240×60×35×65≈2.93，因为2.93＞2.706，所以有90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”．10．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：其线性回归方程是y ^＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝ 10 .解析：x ＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m5，y ＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n 5，回归直线一定经过样本点中心(x ，y )，即6＋n5＝－3.2⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋m 5＋40，即3.2m ＋n ＝42.又因为m ＋n ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝10，故n ＝10.11．(2019·重庆调研)某厂商为了解用户对其产品是否满意，在使用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：(1)5人，在这5人中任选2人，求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率；(2)有多大把握认为用户对该产品是否满意与用户性别有关？请说明理由.注：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)用分层抽样的方法在满意产品的用户中抽取5人，则抽取比例为550＝110.所以在满意产品的用户中应抽取女用户20×110＝2(人)，男用户30×110＝3(人)．抽取的5人中，三名男用户记为a ，b ，c ，两名女用户记为r ，s ，则从这5人中任选2人，共有10种情况：ab ，ac ，ar ，as ，bc ，br ，bs ，cr ，cs ，rs .其中恰好是男、女用户各1人的有6种情况：ar ，as ，br ，bs ，cr ，cs .故所求的概率为P ＝610＝0.6. (2)由题意，得K 2的观测值为k ＝80(30×20－20×10)2(30＋20)(10＋20)(30＋10)(20＋20)＝163≈5.333＞5.024. 又P (K 2≥5.024)＝0.025.故有97.5%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”． 12．(2016·全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2∑i ＝1n(y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t －.解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28，∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99. 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.10，a ^＝y －b ^ t －＝1.331－0.10×4≈0.93. 所以y 关于t 的回归方程为 y ^＝0.93＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得：y ^＝0.93＋0.10×9＝1.83. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.83亿吨．13．(2019·湖南张家界一模)已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y ^＝－0.7x ＋10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是( C )x 6 8 10 12 y6m32A.变量B ．可以预测，当x ＝20时，y ^＝－3.7 C ．m ＝4D ．该回归直线必过点(9,4)解析：由－0.7＜0，得变量x ，y 之间呈负相关关系，故A 正确；当x ＝20时，y ^＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B 正确；由表格数据可知x ＝14×(6＋8＋10＋12)＝9，y ＝14(6＋m ＋3＋2)＝11＋m 4，则11＋m 4＝－0.7×9＋10.3，解得m ＝5，故C 错；由m ＝5，得y ＝6＋5＋3＋24＝4，所以该回归直线必过点(9,4)，故D 正确．故选C.14．(2019·湖南永州模拟)已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得的线性回归方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( C )A.b ^＞b ′，a ^＞a ′ B ．b ^＞b ′，a ^＜a ′ C.b ^＜b ′，a ^＞a ′D ．b ^＜b ′，a ^＜a ′解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝∑i ＝16x i y i －6 x ·y∑i ＝16x 2i －6 x 2＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13， 所以b ^＜b ′，a ^＞a ′.15．(2019·青岛模拟)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数23.若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有 12 人.总计x2x3x2则k＞3.841，即k＝3x2⎝⎛⎭⎪⎫x6·x6－5x6·x32x·x2·x2·x＝3x8＞3.841，解得x＞10.243.因为x6，x2为整数，所以若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．16．(2019·包头一模)如图是某企业2010年至2016年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程，预测2017年该企业的污水净化量；(3)请用数据说明回归方程预报的效果．参考数据：y－＝54，∑i＝17(t i－t－)(y i－y－)＝21，14≈3.74，∑i＝17(y i－y^i)2＝94.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2∑i ＝1n(y i －y )2，线性回归方程y ^＝a ^＋b ^t ，b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t －.反映回归效果的公式为：R 2＝1－∑i ＝1n (y i －y ^i )2∑i ＝1n (y i －y )2，其中R 2越接近于1，表示回归的效果越好．解：(1)由折线图中的数据得，t ＝4，∑i ＝17 (t i －t －)2＝28，∑i ＝17(y i －y －)2＝18，所以r ＝2128×18≈0.935.因为y 与t 的相关系数近似为0.935，说明y 与t 的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)因为y －＝54，b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2128＝34，所以a ^＝y －b ^ t ＝54－34×4＝51，所以y 关于t 的线性回归方程为y ^＝b ^t ＋a ^＝34t ＋51. 将2017年对应的t ＝8代入得y ^＝34×8＋51＝57， 所以预测2017年该企业污水净化量约为57吨．(3)因为R 2＝1－∑i ＝17 (y i －y ^i )2∑i ＝17(y i －y )2＝1－94×118＝1－18＝78＝0.875，所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的．。

课时作业(六十二)一、选择题1．已知ξ的散布列ξ＝－1,0,1，对应P ＝12，16，13，且设η＝2ξ＋1，那么η的期望是A ．－16D ．1解析：E (ξ)＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16，∵η＝2ξ＋1，∴E (η)＝2E (ξ)＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋1＝23.答案：B2．(2021年黄山二模)已知随机变量X 的散布列为则E (6X ＋8)＝ ( )A ．B ．C ．D ．解析：由题意知E (X )＝1×＋2×＋3×＝， ∴E (6X ＋8)＝6E (X )＋8＝6×＋8＝. 答案：B3．设随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝，D (ξ)＝，那么 ( )A ．n ＝8，p ＝B ．n ＝4，p ＝C ．n ＝5，p ＝D ．n ＝7，p ＝解析：∵ξ～B (n ，p )，∴E (ξ)＝np ＝，D (ξ)＝np (1－p )＝，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝8，p ＝.答案：A4．正态整体N (1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率别离为m ，n 则 ( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确信解析：正态整体N (1,9)的曲线关于x ＝1对称，区间(2,3)与(－1,0)与对称轴距离相等，故m ＝n .答案：C5．设随机变量ξ服从正态散布N (0,1)，假设P (ξ>1)＝p ，那么P (－1<ξ<0)＝ ( ) ＋p －p C ．1－2pD ．1－p解析：P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝12[1－2P (ξ>1)]＝12－P (ξ>1) ＝12－p . 答案：B6．签盒中有编号为一、二、3、4、五、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码当中最大的一个，那么X 的数学期望为( )A ．5B ．C ．D ．解析：由题意可知，X 能够取3,4,5,6，P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的概念可求得E (X )＝. 答案：B7．某教师从礼拜一到礼拜五收到的信件数别离是10,6,8,5,6，那么该组数据的方差s2解析：∵x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴s 2＝10－72＋6－72＋8－72＋5－72＋6－725＝165. 答案：1658．(2020年浙江)某毕业生参加人材招聘会，别离向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生取得甲公司面试的概率为23，取得乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是不是让其面试是彼此独立的，记X 为该毕业生取得面试的公司个数．假设P (X ＝0)＝112，那么随机变量X 的数学期望E (X )＝________.解析：由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的散布列为： X 0 1 2 3P1121351216E (X )＝0×112＋1×13＋2×12＋3×6＝3. 答案：539．(2021年韶关调研)某保险公司新开设了一项保险业务，假设在一年内事件E 发生，该公司要补偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交保险金为________．解析：设保险公司要求顾客交x 元保险金，假设以ξ表示公司每一年的收益额，那么ξ是一个随机变量，其散布列为：－a)·p＝x－ap.为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E (ξ)＝0.1a ，即x －ap ＝0.1a ，故可得x ＝＋p )a . 即顾客交的保险金为＋p )a 时，可使公司期望获益10%a . 答案：＋p )a 三、解答题10．一个袋中有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少取得1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记取得白球的个数为X ，求随机变量X 的数学期望E (X )． 解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少取得一个白球”为事件A ， 设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，取得x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何散布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3，其中P (X ＝k )＝C k 5C 3－k 5C 310，k ＝0,1,2,3.于是X 的散布列为X 的数学期望E (X )＝12×0＋12×1＋12×2＋12×3＝2.11．(2021年陕西)某银行柜台设有一个效劳窗口，假设顾客办理业务所需的时刻相互独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时刻统计结果如下：(1)估量第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的散布列及数学期望．解：设Y表示顾客办理业务所需的时刻，用频率估量概率，得Y的散布列如下：(1)A表示事件那么事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时刻为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时刻为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时刻为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时刻为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时刻均为2分钟．因此P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝×＋×＋×＝.(2)X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时刻超过2分钟，因此P(X＝0)＝P(Y>2)＝；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时刻均为1分钟，因此P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝.因此X的散布列为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.12．(2021年济宁一模)某高中社团进行社会实验，对[25,55]岁的人群随机抽取1 000人进行了一次是不是开通“微博”的调查．假设开通“微博”的为“时尚族”，不然称为“非时尚族”．通过调查取得各年龄段人数的频率散布直方图如下图，其中在[40,45)岁、[45,50)岁年龄段人数中，“时尚族”人数别离占本组人数的40%,30%.请完成以下问题：(1)求[40,45)岁与[45,50)岁年龄段“时尚族”的人数；(2)从[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中，采纳分层抽样法抽取9人参加网络时尚达人大赛，其当选取3人作为领队，已选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的散布列和数学期望E (X )．解：(1)由频率散布直方图可知，[40,45)岁的频率为×5＝， 因此该组中“时尚族”人数为1 000××40%＝60； [45,50)岁的频率为×5＝，因此该组中“时尚族”人数为1 000××30%＝30.(2)因为[40,45)岁与[45,50)岁年龄段的“时尚族”人数的比值为60∶30＝2∶1， 因此采纳分层抽样法抽取9人，[40,45)岁中有6人，[45,50)岁中有3人． 随机变量X 所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 06C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝314，P (X ＝2)＝C 26C 13C 39＝1528，P (X ＝3)＝C 36C 03C 39＝521.因此随机变量X 的散布列为E (X )＝0×184＋1×314＋2×28＋3×21＝2.[热点预测]13．已知随机变量X ＋η＝8，假设X ～B (10,，那么E (η)，D (η)别离是 ( ) A ．6和 B ．2和 C ．2和D ．6和解析：假设两个随机变量η，X 知足一次关系式η＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、D (X )时，那么有E (η)＝aE (X )＋b ，D (η)＝a 2D (X )．由已知随机变量X ＋η＝8，因此有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10××＝.答案：B14．随机变量ξ的散布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．假设E (ξ)＝3，那么D (ξ)的值是________．解析：依照已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，－a ＋c ＝13，解得b ＝13，a ＝16，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎪⎫－1－132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝59. 答案：5915．甲、乙、丙三人按下面的规那么进行乒乓球竞赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行竞赛，而前一局的失败者轮空，竞赛按这种规那么一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者输赢的概率均为12，且各局输赢彼此独立，求：(1)打满3局竞赛还未停止的概率；(2)竞赛停止时已打局数ξ的散布列与期望E (ξ)．解：令A k ，B k ，C k 别离表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局竞赛还未停止的概率为P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝123＋123＝14.(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝122＋122＝12，P(ξ＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝123＋123＝14，P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝124＋124＝18，P (ξ＝5)＝P (A 1C 2B 3A 4A 5)＋P (B 1C 2A 3B 4B 5)＝125＋125＝116， P (ξ＝6)＝P (A 1C 2B 3A 4C 5)＋P (B 1C 2A 3B 4C 5)＝125＋125＝116.故ξ的散布列为从而E (ξ)＝2×12＋3×4＋4×8＋5×16＋6×16＝16(局)．。

课时分层作业(六)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A ．(2,3)B ．(1,5) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D ．(2,0)[解析] 即x 24＋y 29＝1，通过结论知选D ．[答案] D2．若点P (4，a )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)上，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．8D ．1[解析] 由4＝t2知t ＝8，∴a ＝28＝4 2.[答案] B3．以t 为参数的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝－2＋32t 表示( )A ．过点(1，－2)且倾斜角为π3的直线 B ．过点(－1,2)且倾斜角为π3的直线 C ．过点(1，－2)且倾斜角为2π3的直线 D ．过点(－1,2)且倾斜角为2π3的直线 [解析] 参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝－2＋32t 为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2π3t ，y ＝－2＋sin 2π3t .故直线过点(1，－2)，倾斜角为2π3.[答案] C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)[解析] ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16， 得t 2－8t ＋12＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，∴t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4，中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.[答案] D5．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 是参数)，表示的曲线是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线[解析] y ＝2表示一条平行于x 轴的直线． ①当t ＞0时，x ＝t ＋1t ≥2t ·1t ＝2； ②当t ＜0时，x ＝t ＋1t≤－2t ·1t＝－2， 即x ≥2或x ≤－2， 所以表示两条射线． [答案] D 二、填空题6．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a ，则a ＝________.[解析] 由32＝1＋cos θ，得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴a ＝2sin θ＝± 3. [答案] ± 3 7．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.[解析] 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t的斜率为－32，∴－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，k ＝－6.[答案] －6 8．已知直线l过点P (1,2)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝2＋t(t 是参数)，直线l 与直线2x＋y －2＝0交于点Q ，求|PQ |＝________.[解析] 将l 的参数方程化为x ＋y ＝3， 与2x ＋y －2＝0联立，得x ＝－1且y ＝4， 则Q (－1,4)，∴|PQ |2＝(－1－1)2＋(4－2)2＝8，|PQ |＝2 2. [答案] 2 2 三、解答题9．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．[解] ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2.10．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝a cos θ(a >0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，且直线l 与曲线C 相切，求a 的值．[解] 将曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝ax . 将直线l 的参数方程化成普通方程为y ＝x －1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝ax ，y ＝x －1，消去y 可得2x 2－(2＋a )x ＋1＝0.∵直线l 与曲线C 相切，∴Δ＝(2＋a )2－8＝0. 又a >0，∴a ＝2(2－1)．[能力提升练]1．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )A.3＋1 B ．6(3＋1) C ．6＋ 3D ．63＋1[解析] 由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)． 根据参数t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)． [答案] B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)上两点A ，B 对应的参数分别为t 1和t 2，则|AB |等于( )A ．|t 1－t 2|B ．a 2＋b 2|t 1－t 2| C.|t 1－t 2|a 2＋b 2D ．|t 1－t 2|a 2＋b2[解析] 原参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a a 2＋b 2(a 2＋b 2t )＝x 0＋t ′cos θ，y ＝y 0＋b a 2＋b2(a 2＋b 2t )＝y 0＋t ′sin θ，(其中sin θ＝b a 2＋b2，cos θ＝a a 2＋b2，t ′＝a 2＋b 2t 且t ′是参数)，则|AB |＝|t 1′－t 2′|＝|a 2＋b 2t 1－a 2＋b 2t 2| ＝a 2＋b 2|t 1－t 2|.故应选B ． [答案] B3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2－22t (t 为参数)上到点A (－1,2)距离为2，且在点A 上方的点的坐标是________．[解析] 由已知得，直线的斜率为－1， tan α＝－1，sin α＝22，cos α＝－22， 故直线参数方程的标准式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ′，y ＝2＋22t ′(t ′为参数)．∵所求点在A (－1,2)上方，且到A 点的距离为2， ∴将t ′＝2代入上述方程得x ＝－1－22×2＝－2， y ＝2＋22×2＝3，故所求坐标是(－2,3)． [答案] (－2,3)4．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)求|AB |；(2)求AB 的中点M 的坐标及|FM |. [解] 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)， 依题意，设直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋15t ，y ＝25t(t 为参数)，其中tan α＝2，cos α＝15，sin α＝25，α为直线AB 的倾斜角，代入y 2＝8x 整理得t 2－25t －20＝0.设F A →＝t 1e ，F B →＝t 2e ，其中e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15，25，则t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－20.(1)|A B →|＝|F B →－F A →|＝|t 2e －t 1e |＝|t 2－t 1||e | ＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝(25)2＋80 ＝10， 即|AB |＝10.(2)由于AB 的中点为M ，则A M →＝M B →， ∴F M →－F A →＝F B →－F M →， 即F M →＝12(F A →＋F B →)．又F M →＝12(F A →＋F B →)＝t 1＋t 22e .故点M 对应的参数为t 1＋t 22＝5，∴M 点的坐标为(3,2)， |FM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝ 5.。