空间几何体的表面积与体积专题
一、选择题
1．棱长为2的正四面体的表面积是( C )．
A. 3 B ．4 C ．4 3 D ．16
解析 每个面的面积为：12×2×2×3
2＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3.
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( B )． A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.3
2倍
解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝4
3πR 3，知体积扩大到原来的22倍．
3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )． A.
1423 B.2843 C.280
3
D.140
3
解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积
V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×2×2×2＝
284
3
. 4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A) A ．8－
2π3 B ．8－π
3
C ．8－2π D.
2π
3
解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半
径为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－13×π×2＝8－2π
3
.
5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( A)A ．24－32π B ．24－π3 C ．24－π D ．24－π
2
据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分
别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12
×3＝24－3π2.
6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫95－π2 cm 2
B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫94－π2 cm 2
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94＋π2 cm 2
D.⎝
⎛
⎭⎪⎫95＋π2 cm 2
解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、
下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－
π
4
＝30－π4；中间部分的表面积为2π×1
2
×1＝π，下面部分的表面
积为2×4×4＋16×2－π4＝64－π4.故其表面积是94＋π
2
.
7．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S-ABC 的体积为( C)．
A ．3 3
B ．2 3 C. 3 D ．1
解析 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD 和C-ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝
3
3
x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DCB ＝∠DCA ＝60°，在△BDC 中 ，BD ＝3(4－x )，所以3
3x ＝3(4－x )，所以x ＝3，AD ＝BD ＝3，所以三角形ABD 为
正三角形，所以V ＝1
3S △ABD ×4＝ 3.
二、填空题
8．三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体积等于__3______．解析 依题意有，三棱锥PABC 的体积V ＝13S △ABC ·|PA |＝13×3
4×22×3＝ 3.
9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 3∶2_______．
解析 设圆柱的底面半径是r ，则该圆柱的母线长是2r ，圆柱的侧面积是2πr ·2r ＝4πr 2，设球的半径是R ，则球的表面积是4πR 2，根据已知4πR 2＝4πr 2，所以R ＝r .所以圆柱的体积是πr 2·2r
＝2πr 3，球的体积是43πr 3，所以圆柱的体积和球的体积的比是2πr
3
4
3
πr 3＝3∶2.
10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形
组成，则该多面体的体积是___
2
6
_____．
解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为
3
2
，连
接顶点和底面中心即为高，可求得高为
2
2
，所以体积V＝
1
3
×1×1×
2
2
＝
2
6
.
11．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____2πR2____．
解析由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为
2h，则h2＋r2＝R2.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4πr2＋h2
2
＝2πR2(当且仅
当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2.
12．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A
1
的最短路线的长为___13_____cm. 解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)．三、解答题
13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上
半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图
3分别是该标识墩的正视图和俯视图．
(1)请画出该安全标识墩的侧视图；
(2)求该安全标识墩的体积．
解析(1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为
V＝V
PEFGH ＋V ABCDEFGH＝
1
3
×402×60＋402×20＝64 000(cm3)．
14 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.
解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为
