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小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
第十四讲有特殊要求的挑选之前我们已经学习过了排列组合的公式及其应用．排列问题与组合问题都需要从若干个对象中挑出一些对象来．前两讲涉及的问题相对简单，因为对挑出的对象没有什么特殊的要求．本讲我们就来学习如何解决对挑出的对象有特殊要求的问题．对挑选元素有要求的排列组合问题，需要综合利用加法原理、乘法原理以及排列组合的相关知识．对于存在多种可能的情况，我们要适当的分类进行计算．例题1从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，（1）拿出2瓶两种不同类型的饮料，共有多少种不同的选法？（2）拿出3瓶两种不同类型的饮料，共有多少种不同的选法？「分析」要拿出2种不同类型的饮料，那么就需要分类讨论了，可以是纯进水+可乐、纯进水+果汁、可乐+果汁，共三类；拿出3瓶和2瓶会有什么区别呢？练习1商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9个球．其中红球、黄球和绿球各有3个，而且每种颜色的球都分别标有1、2、3号．顾客从箱子里摸出2个球，如果2个球的颜色不相同，就可以中奖．问：有多少种中奖情况呢？例题2从4台不同型号的等离子电视和6台不同型号的液晶电视中任意取出3台，其中等离子电视与液晶电视至少要各有1台，共有多少种不同的取法？「分析」两种电视至少各有1台，那么分别可能是几台呢？需要分几类？练习2周末大扫除，老师要从第一组的5名男生和5名女生中选出5人留下打扫卫生．如果男、女生至少要各选出2人，那么一共有多少种不同的选择方法？前面所遇到的问题我们都可以从正面直接入手进行计算．当满足要求的情况很多时，可以尝试用排除法计算不满足要求的情况，再从所有可能的情况中排除不满足要求的，也能得到问题的答案．例题3从4台不同型号的等离子电视和6台不同型号的液晶电视中任意取出4台，其中等离子电视至少要有1台，共有多少种不同的取法？「分析」两种电视至少各有1台，那么分别可能是几台呢？需要分几类？如果分类太多，是否可以从反面考虑，采用排除法呢？练习3周末大扫除，老师要从第一组的5名男生和5名女生中选出5人留下打扫卫生．如果男生至少要选出1人，那么一共多少种选择方法？遇到一些和几何有关的计数问题时，如从一些点中选3个点就可以构成一个三角形，这个结论总是成立吗？当这3个点同一条直线上时是构成不了三角形的，此时我们要排除这种特殊情况．例题4如图，在半圆弧及其直径上共有8个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？「分析」什么样的3个点构不成三角形呢？能否采用排除法呢？练习4图中两条直线上各有4个点，请问：以这8个点为顶点可以画出多少个三角形？排队问题是我们排列组合问题中的经典题型，我们往往需要优先考虑那些有特殊要求的对象．例题5墨莫、小高、卡莉娅、萱萱和大头5名同学站成一排照相，请分别求出以下每种情况各有多少种排成一排的站法：（1）5个人站成一排；（2）5个人站成一排，小高必须站在中间；（3）5个人站成一排，小高和大头必须有一人站在中间；（4）5个人站成一排，小高和大头必须站在两边；（5）5个人站成一排，小高和大头都没有站在边上．「分析」除了第（1）题之外，其他题都对某些人的站位提出了特殊的要求，因此最优先考虑的就是这些特殊对象．数字问题是我们排列组合问题中的另一类经典题型，在下面这道数字问题中我们一样要注意那些有特殊要求的数位或数字．例题6用0、1、2、3、4这五个数字组成多位数：（1）能组成多少个没有重复数字的自然数？（2）能组成多少个没有重复数字的奇数？（3）能组成多少个没有重复数字的偶数？「分析」跟自然数相比，奇数、偶数有什么特殊要求呢？应该怎么考虑问题呢？课堂内外键盘字母的排列问题键盘字母是按照字母使用频率的高低来排序的．大家也许会感到奇怪：为什么要把26个字母作这种无规则的排列呢？既难记忆又难熟练．据说其原因是这样的：在19世纪70年代，肖尔斯公司是当时最大的专门生产打字机的厂家．由于当时机械工艺不够完善，使得字键在击打之后的弹回速度较慢，一旦打字员击键速度太快，就容易发生两个字键绞在一起的现象，必须用手很小心地把它们分开，从而严重影响了打字速度．为此，公司时常收到客户的投诉．为了解决这个问题，设计师和工程师伤透了脑筋．后来，有一位聪明的工程师提议：打字机绞键的原因，一方面是字键弹回速度慢，另一方面也是打字员速度太快了．既然我们无法提高弹回速度，为什么不想办法降低打字速度呢？这无疑是一条新思路．降低打字员的速度有许多方法，最简单的方法就是打乱26个字母的排列顺序，把较常用的字母摆在笨拙的手指下，比如，字母“O”、“S”、“A”是使用频率很高的，却放在最笨拙的右手无名指、左手无名指和左手小指来击打．使用频率较低的“V”、“J”、“U”等字母却由最灵活的食指负责．结果，这种“QWERTY”式组合的键盘诞生了，并且逐渐定型．后来，由于材料工艺的发展，字键弹回速度远大于打字员击键速度，但键盘字母顺序却一直没有改动．至今出现过许多种更合理的字母顺序设计方案，但都无法推广，可知社会的习惯势力是多么强大．作业1. 书架上摆着18本不同的书，总共分为3类：一类是科幻小说，一类是科普读物，一类是人物传记．每一类书都有6本．小高想从中借2本，而且要求借的2本书类型不相同，那么共有多少种不同的借法？2. 一个黑色的口袋里放了6个不同的红球和3个不同的黄球．小丁从中取出5个球，如果其中两种颜色的球至少各有2个，那么共有多少种不同的取法？3. 一个黑色的口袋里放了6个不同的红球和4个不同的黄球．小丁从中取出5个球，取出的球中有黄球的取法有多少种？4. 赵、钱、孙、李、周、吴、郑七人站成一排照相，孙、李都不站在边上，一共有多少种站法？5．用0、1、2、3、4、5一共可以组成多少个没有重复数字的六位数？第十四讲 有特殊要求的挑选1. 例题1答案：52；196种详解：（1）52265652⨯+⨯+⨯=（种）；（2）分类讨论，先选出两种不同类型的饮料，有1、2和2、1两种情况，也需要分类讨论．即2222222562655+2+2+6+5+65+20+30+6+75+60=196C C C C C C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种．2. 例题2答案：336；56详解：方法一：可分类讨论，符合题意的有2台等离子+1台液晶：214636C C ⨯=种选法； 1台等离子+2台液晶：124660C C ⨯=种选法． 最后把不同类的结果相加：36696+=种取法．方法二：可以想一下从这些电视中随便抽3台，有310120C =种取法；其中与“等离子电视与液晶电视至少要各有1台”不符合要求的取法是怎样的呢．即全是等离子或全是液晶电视时，这两种情况是不符合的，我们只要从120种取法种排除掉这两种类型．共有333104612042096C C C --=--=种取法．3. 例题3答案：195种详解：方法一：可分类等离子有1台、2台、3台、4台这4种类型分别有多少种取法．方法二：可在一共10台电视中任选4台，把一些不符合要求的类型排除掉．不符合的类型有4台全是液晶电视．所以共有4410621015195C C -=-=种取法．4. 例题4答案：55个详解：从8个点中任选3个点就可以构成一个三角形，但观察图形，其中直径上的这3个点构成不了三角形，所以要排除掉这3个点构成的1个三角形．共有38156155C -=-=个三角形．5. 例题5答案：120；24；48；12；36详解：（1）5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种站法；（2）小高只有一种站法，其他四个人排列即可，44432124A =⨯⨯⨯=种站法；（3）先从小高和大头中选择一个人站在中间的位置，然后剩下四个人排列，即14 242432148C A⨯=⨯⨯⨯⨯=种站法；（4）小高和大头在两边的位置上排列，剩下的3个人在另外三个位置上排列，即23232132112A A⨯=⨯⨯⨯⨯=种站法；（5）先让小高和大头在中间三个位置上选择两个，剩下三个人排列，即23 333232136A A⨯=⨯⨯⨯⨯=种站法．6.例题6答案：261；98；163详解：（1）一位数有155C=个；两位数有114416C C⨯=个；三位数有12 4448C A⨯=个；四位数有134496C A⨯=个；五位数有144496C A⨯=个；一共有516489696261++++=个．（2）一位奇数有122C=个；两位奇数有11236C C⨯=个；三位奇数有111 23318C C C⨯⨯=个；四位奇数有11223336C C A⨯⨯=个；五位奇数有113 23336C C A⨯⨯=个；一共有2618363698++++=个．（3）一位偶数有133C=个；两位偶数按照末位是0和不是0分为两类，即111 42310C C C+⨯=个；三位偶数按照末位是0和不是0分为两类，即2111 423330A C C C+⨯⨯=个；四位偶数按照末位是0和不是0分为两类，即3112 423360A C C A+⨯⨯=个；五位偶数按照末位是0和不是0分为两类，即4113 423360A C C A+⨯⨯=个；一共有310306060163++++=个．7.练习1答案：27种简答：分类讨论，可以是红、黄球各1个，可以是红、绿球各1个，也可以是黄、绿球各1个，即33+33+3327⨯⨯⨯=种．8.练习2答案：200简答：可分类讨论，符合题意的有2男3女：2355100C C⨯=种选法；3男2女：3255100C C⨯=种选法．最后把不同类的结果相加：100100200+=种取法．9.练习3答案：251简答：可在一共10名学生中中任选5名，把一些不符合要求的情况排除掉．不符合的情况即全是女生．所以共有551052521251C C-=-=种取法．10.练习4答案：62个简答：43384462C C C--=个三角形．11.作业1答案：108简答：从3类书中挑出2本类型不同的书，那么选择的类型有233C=种情况；如在科幻和科普两种类型中借书，有116636C C⨯=种．3种情况都是类似的，共有336108⨯=种不同的借法．12.作业2答案：75简答：如果取出的是2个红球和3个黄球，那么有236315C C⨯=种选法；如果取出的是3个红球和2个黄球，那么有326360C C⨯=种选法，所以共有75种选法．13.作业3答案：246简答：如果随意取，那么共有510252C=种取法；如果全取红球，那么共有566C=种取法；所以至少有1个黄球的取法共有2526246-=种．14.作业4答案：2400简答：首先从中间5个位置中选2个位置安排孙、李，剩下5个位置随意安排5个人．一共有25552400A A⨯=种．15.作业5答案：600简答：首位不能为0，在剩下5个位置选一个放0，剩下5个数随便排，共有15 55600A A⨯=个．。
第十讲排列组合应用上一讲学习了基本的排列组合公式，本讲主要解决一些实际问题．在解决实际问题时，先要判断出顺序对于问题的结果有没有影响，再考虑应该用排列还是组合来进行计算．排列和组合的区分在这一讲是我们学习的难点和重点．接下来我们通过一些生活中的例子，进一步来体会一下排列和组合的区别．例题19支球队进行足球比赛：（1）如果实行单循环制，即每两队之间恰好比赛一场．每场比赛后，胜方得3分，负方不得分，平局双方各得1分，那么一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少？（2）如果实行双循环制，即每两队之间分主、客场．那么一共要举行多少场比赛？「分析」每场比赛有两支队伍参加，现在要从几支队伍里挑呢？挑的时候这两支队伍有没有顺序？每场比赛中，两支队伍获得的分数之和最多是多少呢？练习1棋王争霸赛在8名选手间展开：（1）如果实行单循环赛制，共要进行多少场比赛？（2）如果实行双循环赛制，共要进行多少场比赛？例题2围棋兴趣小组一共有8名同学，请问：（1）如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？（2）如果从中选出3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？「分析」同样都是选出3个人，这两个问题之间有什么区别？练习2一次厨艺大赛中，主办方给定的菜谱中有7道菜，请问：（1）如果要求从这7道菜中选做2道菜，共有多少种不同的选法？（2）如果要求从这7道菜中选做1道作为主菜，另外1道作为副菜，共有多少种不同的选法？从公式：n n n m m n C A A =÷，可以看出：n n nm m n A C A =⨯，所以计算从m 个元素中选出n 个元素的排列数时也可以分成两步：先计算从m 个元素中选出n 个元素的组合数，再计算这n 个元素的排列数即可．接下来我们通过例题看看排列与组合之间有什么联系． 例题3王老师带着小高、卡莉娅、萱萱一行四人去参加一次聚会，主持人要求每个人领取一个彩球，这些球的颜色各不相同，共有12个．（1）小高是第一个取球的人，他一共选出了4个球，准备回头分给大家，那么一共有多少种选法？（2）小高回到座位后，把这4个球分给大家，一共有多少种分法？（3）最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能？「分析」（1）、（2）恰好是（3）的两个步骤，所以不难通过（1）、（2）的结果来计算（3）．（1）、（2）应该按照排列来算还是按照组合来算呢？能不能跳过（1）、（2）直接计算（3）呢？ 练习3先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共有多少种不同的可能？例题4周末大扫除，老师要从10名男生和10名女生中选出5名留下打扫卫生． （1）如果随意选择，一共有多少种选择方法？（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？「分析」（1）是从几名同学出选5名？（2）选2名男生有几种选法？选3名女生有几种选法？练习4老师要从9名男生和7名女生中挑出4人参加数学竞赛，共有多少种不同的选择方法？如果4人中要求有3名男生、1名女生呢？接下来我们学习圆周排列．从m 个不同的元素中取出n 个（ n m ）元素，并按照一定的顺序排成一个圆周，就是圆周排列．圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列是首尾相邻的，旋转后相同的排法视为一种排法．如下图，1、2、3的三种排列：123、231、312，在圆周排列中都是一个排列；另外三种排列：132、321、213，在圆周排列中也是一个排列，而且这两个圆周排列是不同的．例题5从7个人中选出5个人围着圆桌坐成一圈，有多少种不同的坐法?「分析」从7个人中选出5个人的圆周排列，还能按照直线上的排列57A 种方法来计算吗？在我们组合问题里面，选取出来的和没有选取出来的两个部分之间是否有区别和顺序呢？ 例题6（1）6个人分成A 、B 两队拔河，要求这两队都是3个人，一共有多少种分队的方法？ （2）6个人分成两队拔河，要求每个队都是3个人，一共有多少种分队的方法？ 「分析」这两个问题都是要分成两个队，每个队3个人，有什么区别吗？课堂内外杨辉三角刘杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．端点数为1的杨辉三角具有如下几个性质： （1）每个数等于它上方两数之和；（2）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大； （3）第n 行的数字有n 项； （4）第n 行数字和为()21n -；（5）第n 行的第m 个数和第-n m 个数相等，即m n m n n C C -=这是组合数性质之一； （6）每个数字等于上一行的左右两个数字之和．可用此性质写出整个杨辉三角．即第n +1行的第i 个数等于第n 行的第i -1个数和第i 个数之和，即11i i i n n n C C C -+=+这也是组合数的性质之一；（7）第n 行的m 个数课表示为1m n C -，即为从n 个不同元素中取1m -个元素的组合数．作业1.某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，请问这次聚会大家一共握了多少次手？2. 要从15名士兵中选出2名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选法？3. 先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共多少种不同的可能？4. 卡莉娅走进一家商店要买些新衣服，现在从她看中的5件上衣和4条裤子中选出3件上衣和2条裤子，一共有多少种选法？5．6个人围坐在一张圆桌旁，有多少种坐法？第十讲 排列组合应用1. 例题1答案：36场，108分；72场详解：区分单循环制和双循环制，（1）单循环是9支球队中选取2支队伍即可，2支队伍不需要排序，是组合问题，即()29982136C =⨯÷⨯=场比赛．如果是分出胜负的则一场比赛会得3分，如果不分胜负则一场比赛会得2分，所以如果要让得分最多，那么36场都应该是分出胜负的，即363108⨯=分．（2）双循环制是9支球队中选取2支队伍后要排序，分主客场的，是排列问题，即299872A =⨯=场比赛．也可以根据第一问36272⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两支队伍比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系． 2. 例题2答案：336；56详解：（1）从8名同学中选3名同学在早上、中午、晚上做值日，那么选出的这三人改变顺序为不同种选法，为排列问题，38876336A =⨯⨯=种选法．（2）从8名同学中选3人参加比赛，改变这三人的顺序任为一种选法，为组合问题，()3887632156C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法． 3. 例题3答案：495种；24种；11880种详解：（1）只需要从12个不同的球中选出来4个，不需要排列，是组合问题，即()41212111094321495C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选法；（2）把4个球分给大家，这四个球会分给不同的人，所以需要排序，是组合问题，即44432124A =⨯⨯⨯=种分法；（3）其实这一问就是按照上面的两个步骤完成后的方法数，分步是用乘法原理，即441244952411880C A ⨯=⨯=种可能；另外一种做法就是从12个球中选出来4个，排列即排列问题，即412121*********A =⨯⨯⨯=种可能．4. 例题4答案：15540种；5400种详解：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来5个人即可，()52020191817165432115504C =⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从10名男生中选取2名男生，再从10名女生中选取3名女生，这是一个分步的过程，所以一共有()()2310101092110983215400C C ⨯=⨯÷⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯=种选择方法．5. 例题5答案：504种详解：圆桌问题的两种做法，第一种：7个人中选出来5个人按照一定顺序去排列，这是一个排列问题，即57A ；圆桌是可以旋转的，如果这5个人的顺序是ABCDE 、BCDEA 、CDEAB 、DEABC 、EABCD 这五种排序的方法其实都是一种坐法，所以一共有575504A ÷=种不同的坐法；第二种：先从7个人中选出5个人，有5721C =种方法，再把选出的5个人排在圆桌上，有55524A ÷=种方法，一共有2124504⨯=种方法．6. 例题6答案：20种；10种详解：（1）从6个人中选择3个人，即()3665432120C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法，此时已经将两个队伍排序，所以一共有20种分队的方法；（2）从6个人中选择3个人，此时两个队伍是有区别的，可是此题两队没有区别，所以是36210C ÷=种分队的方法．7. 练习1答案：28场；56场简答：（1）单循环是8名选手中选取2名选手即可，2名选手不需要排序，是组合问题，即()28872128C =⨯÷⨯=场比赛．（2）双循环制是8名选手中选取2名选手后要排序，分主客选手，是排列问题，即288756A =⨯=场比赛．也可以根据第一问28256⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两名选手中比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系．8. 练习2答案：21种；42种简答：（1）()27762121C =⨯÷⨯=种选法．（2）277642A =⨯=种选法．9. 练习3答案：720种简答：两种方法，第一种：先从10个人选出3个人不排序，即310C ，接下来给这三个人排序，即33A ，这是一个分步的过程，所以共有33103720C A ⨯=种不同的可能；第二种：从10个人中选出3个人，需要排序，即排列问题，310720A =种不同的可能．10. 练习4答案：1820种；588种简答：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来4人即可，()4161615141343211820C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从9男生中选取3男生，再从7女生中选取1女生，这是一个分步的过程，所以一共有3197588C C ⨯=种选择方法．11. 作业1答案：45简答：从10人中任选2人就会有一次握手，共有()210109245=⨯÷=C 次握手．12. 作业2答案：210 简答：从15人中选出2人，分别担任正、副班长，共有2151514210=⨯=A 种方法．13. 作业3答案：720 简答：333103101098720⨯==⨯⨯=C A A 种方法．14. 作业4答案：60简答：从5件上衣中选3件，有()()3554332110=⨯⨯÷⨯⨯=C 种方法；从4条裤子中选2条，有()()2443216=⨯÷⨯=C 种方法；所以共有10660⨯=种选法．15. 作业5答案：120简答：先有1人坐定，剩下的5个人随便排：5554321120=⨯⨯⨯⨯=A 种坐法．。
第十九讲火车行程进阶上一讲中我们已经学习了火车行程中的火车过桥、火车过人、火车过车这三种基本类型．解决火车行程问题，最重要的是要学会画图，将火车行程过程转化为最后对齐的两个位置的相遇或追及过程．接下来，我们来介绍较复杂的火车行程问题．我们已经学过了火车与火车的相遇与追及，追及问题一般是指两列火车从开始追上到完全超过所经历的过程．接下来看两类特殊的火车与火车的追及问题，齐头行进或齐尾行进．② 齐尾并进与之前分析过程一样， 首先找到最后对齐的部位，并找到其初始位置， 将火车行程过程 转化为甲车尾与乙车头的追及过程，可以总结如下：齐头并进：从出发到离开（即超过）时刻，两车路程差为快车车长． 齐尾并进：从出发到离开（即超过）时刻，两车路程差为慢车车长．例题 1（1）现有 D 字头动车和 T 字头特快同时同向齐头行进，动车每秒行 60 米，特快每秒行 40 米，经过 8 秒后动车超过特快．请问： D 字头动车车长多少米？（2）现有 D 字头动车和 T 字头特快车尾对齐，同时同向行进，动车每秒行 60 米，特快每秒行 40 米，经过 10 秒后动车超过特快．请问： T 字头特快车车长多少米？ 「分析」 题（ 1）中，火车从齐头开始出发，到超过为止，快车车长（ D 字头动车车长）即为路程差，所以求路程差即可．练习 1（1） 现有两列火车， 如果这两列火车同时同向齐头行进， 快车每秒行 20 米，慢车每秒行9 米，行 10 秒后快车超过慢车．请问：快车车长多少米？2） 现有两列火车，快车每秒行 20 米，慢车每秒行 9 米，如果这两列火车车尾对齐，同 时同向行进，则 15 秒后快车超过慢车．请问：慢车车长是多少米？乙车甲车始在现实生活中，有很多行程问题都会涉及到运动对象本身的长度，比如队列、队伍等等．下面我们看一下另外一类比较特殊的火车行程——队列行程问题．这类问题主要包含两种基本类型（队伍是匀速前进的）：“人从队头走到队尾”与“人从队尾走到队头” ．① 人从队头走到队尾：从图中可以看出，这类问题其实就是队列与行人的相遇过程，队列与行人的路程和即为队列长度．② 人从队尾跑到队头：从图中可以看出，这类问题其实就是队列与行人的追及过程，只不过，这里的行人要比火车”还要快，行人与队列的路程差即为队列长度．例题2 某解放军队伍长450 米，以每秒2 米的速度行进．一名战士以每秒3 米的速度从排尾跑到排头需要多长时间？然后从排头返回排尾，又需要多少时间？「分析」从排尾到排头，即为战士与队伍的追及过程，要计算时间，就需要找到路程差与速度差．练习2某学校组织学生去春游，队伍长540 米，并以每秒2米的速度前进，一名学生以每秒4 米的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用多少分钟？末始在之前学习的盈亏、和差倍等应用题中，我们用到了比较的方法．在行程问题中，往往也会应用到比较的思想．一列火车完全通过460 米长的隧道用30 秒，以同样的速度完全通过410 米的隧道用28 秒．请问：这列火车的速度是每秒多少米？「分析」本题包含两个“火车通过桥”的过程，一一分析，可以计算出什么吗？不妨把两次的时间和路程列出来，比较一下，寻找对应的时间和路程，进而计算火车速度．一列客车完全通过530 米长的桥用了50 秒，以同样速度完全通过380米长的山洞用了40 秒．请问：这列客车的速度是每秒多少米？火车行驶的过程中，火车行驶的距离只需要看火车上的某一个点即可，可以是火车头或者火车尾，当然，也可以是火车的某一个窗户．对于坐在火车某个窗户旁边的人来说，他的速度其实就是火车前进的速度．接下来，我们分析一下火车中的人观察其他火车经过的过程：始乙车相遇例题 4甲、乙两列火车同向而行，甲车在前，乙车在后．甲车长 320 米，每秒行 20 米；乙车 长 480 米．坐在甲车上的小王老师从乙车车头经过她的车窗时开始计时， 到车尾经过她的车窗为止共用 96 秒．那么乙车的速度是多少？「分析」 题目所叙述的过程，其实是乙车与王老师的追及过程，请画图分析一下，路程 差是什么呢？跟甲车车长、乙车车长有什么关系呢？练习 4动车和直达列车相向而行．动车长 600 米，每秒行 60 米；直达列车长 900 米，每秒行30 米．坐在动车上的小王老师记录了从直达列车车头经过她车窗，到车尾经过她车窗所用 的时间．那么这个时间是多少？例题 5一列火车通过一座长 1000 米的桥，从火车车头上桥，到车尾离开桥共用 120 秒，而火车完全在桥上的时间是 80 秒．请问：火车车长多少？「分析」 本题涉及到两个过程： 一个是火车通过桥， 一个是火车完全在桥上． 一一分析， 两个过程都无法计算． 不妨把两次的时间和路程列出来， 比较一下， 寻找对应的时间和路程， 进而计算火车速度与车长．追及始乙车 甲车始甲车乙车甲车这类型的行程过程，其实就是人与另外一辆火车的相遇或追及过程，从图中可以看出， 对应的路程和或路程差其实都是另外一辆火车的车长，与人所乘坐的火车长度没有关系．甲车乙车末从前面的分析中，我们已经知道，火车中的人与另外一辆火车的相遇与追及过程，其实就是人与另外一辆火车的相遇与追及，和人所乘坐的车长是没有关系的．而解决这类题目，关键的一步就是要找到人的速度．如果人在车上静止，那么人的速度就是车的速度．如果人在车上行走呢？我们看一个简单例子：一列火车以每秒20 米的速度行驶，乘务员以每秒1 米的速度在车厢内沿着火车前进的方向向前走，那么在地面上静止的人来看，乘务员的前进速度是多少呢？如果乘务员以每秒1 米的速度在车厢内沿着火车前进的反方向向前走，那么对于地面上静止的人，乘务员的前进速度又是多少呢？我们可以这么想：火车1 秒钟前进了20 米，如果乘务员行走方向跟火车一样，那么在火车带着他前进了20 米的基础上他又往前走了1 米，所以对于地面来说，乘务员其实是走了21 米，所以他的速度就是每秒钟21 米，即车与人的速度和；同样的道理，如果乘务员的行走方向与火车相反，那么他对于地面的速度就是车与人的速度差．例题6货车和客车同向行驶，由于货车有紧急任务，因此开始赶超客车．小高在客车内沿着客车前进的方向向前走，发现货车用140 秒就超过了他．已知小高在客车内行走的速度为每秒1 米，客车的速度为每秒20 米，客车长350 米，货车长280 米．求：（1）货车的行驶速度；（2）货车从追上客车到完全超过客车所需要的时间．「分析」小高在客车内行走，那么他的实际速度是多少呢？货车与小高的追及过程，路程差是什么呢？画图好好分析一下吧！白（黄）色安全线火车站台或者地铁的站台边都会有一条白色或者黄色的安全线，当列车进站的时候，车站的工作人员都会提醒人们注意站在安全线的后面，不过那并不是怕乘客拥挤掉下去，到底是为什么呢？据铁路史志记载，这条安全线来源于近百年前的一场惨案．1905 年冬天，在俄国一个名鄂洛多克的小车站上，站长率全站38 名员工身着盛装、手持鲜花，列队站在铁路线两旁恭候沙皇尼古拉二世派来视察的钦差大臣．然而，遗憾的是，列车没有缓缓进站，而是狂风般冲进了“人巷”，刹那间“人巷”倒塌了，数十名员工仿佛背后被人猛推了一掌，不由自主向前倒去．结果造成34 人丧生，4 人终生残疾．由于当时科技水平有限，人们对此无法解释．后来人们才弄明白惨案真相．在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称为“流体力学之父”的丹尼尔?伯努利1738年发现的“伯努利定律”．在行驶的汽车或者火车窗外，紧挨着车身的空气由于车身的带动而流速较快，从而产生比正常的大气压更小的气压，并且速度越快，这个气压就会越小，这样周围的空气就会把旁边的物体推向火车．所以，火车高速行驶时，人站立太近的话就有可能被吸过去，那个后果可真得会惨不忍睹啊．而在站台上，即使在列车进站的时候车速减慢了很多，但在完全停稳之前，这个吸力还是会存在．这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了这一定律．飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面．这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨大的压力差“托住”了．工程学上会用一个“伯努利公式”来计算，这个力到底有多大．所以，即使运行在站台的列车速度并不是很快，也不要挑战自己，去试那个吸引力有多大．当我们在站台上等候火车或地铁时，一定要站在白色安全线外．作业1. 蛇妈妈和蛇宝宝比赛跑步，齐头并进，从出发到最后蛇妈妈恰好完全超过蛇宝宝用了10 秒钟的时间．已知蛇妈妈的速度是每秒5 米，蛇宝宝的速度是每秒4 米．那么蛇妈妈的长度多少米？2. 蛇妈妈和蛇宝宝比赛跑步，齐尾并进，从出发到最后蛇妈妈恰好完全超过蛇宝宝用了5 秒钟的时间．已知蛇妈妈的速度是每秒5 米，蛇宝宝的速度是每秒4 米．那么蛇宝宝的长度多少米？3. 麦兜参加学校军训，所在班队伍长20 米，以每秒1米的速度前进．麦兜以每秒3 米的速度从队尾跑到队头需要多长时间？4. 一列火车通过220 米长的大桥需要20 秒，以同样的速度通过300 米长的隧道需要24 秒．这列火车长多少米？5. 一列快车和一列慢车相向行驶，坐在快车上面的小王老师，从慢车经过她的窗口开始计时，到完全经过她的窗口结束，共计10秒钟．已知快车长200米，速度是每秒20 米；慢车长380 米，那么慢车的速度是每秒多少米？第十九讲火车行程进阶1. 例题 1答案：160 米；200 米详解：（1）齐头并进，路程差即快车车长，60 40 8 160 米；（2）齐尾并进，路程差即慢车车长，60 40 10 200 米．2. 例题 2答案：450 秒；90 秒详解：（1）从排尾跑到排头，路程差为队伍长度，所以时间是450 3 2 450 秒；（2）从排头跑到排尾，路程和为队伍长度，所以时间是450 3 2 90 秒．3. 例题 3答案：25 米/秒详解：火车30秒的路程是“ 460米车长”，28秒的路程是“ 410米车长”，时间差为30 28 2秒，路程差为460 410 50米，所以速度为50 2 25 米/秒．4. 例题 4答案：25 米/秒详解：乙车与小王老师的追及过程，路程差为乙车车长480 米，时间为96 秒，所以速度差为480 96 5 米/秒，小王老师速度即为甲车速度20 米/秒，所以乙车速度为20 5 25 米/秒．5. 例题 5答案：200 米详解：火车120秒的路程为“ 1000米车长”，80秒的路程为“ 1000米车长”，比较可得火车40 秒的路程为“ 2 个车长”，即20 秒的路程为“车长” ，而12 秒的路程为“ 1000米车长”，所以火车100 秒的路程为1000 米，速度为1000 100 10 米/秒，车长为120 10 1000200 米．6. 例题 6答案：23 米/秒；210 秒详解：（1）小高的实际速度为20 1 21米/秒，货车与小高的追及过程，时间为140 秒，路程差为货车车长280，所以速度差为280 140 2 米/秒，所以货车速度为21 2 23米/秒；（2）货车与客车的追及时间，路程差为两车车长之和即350 280 630米，所以时间为630 23 20 210 秒．7. 练习 1答案：110 米；165米详解：（1）齐头并进，路程差为快车车长，20 9 10 110 米；（2）齐尾并进，路程差为慢车车长， 20 9 15 165 米．练习 2答案： 6 分钟详解： 从队尾跑到队头，路程差为队伍长度，所以时间是 540 4 2 270 秒；从队头跑回队 尾，路程和为队伍长度，所以时间是 540 4 2 90 秒，一共用了 270 90 360 秒即 6 分钟．练习 3答案： 15 米/秒简答：50秒的路程是“ 530米 车长 ”，40秒的路程是“ 380米 车长 ”，时间差为 50 40 10 秒， 路程差为 530 380 150 米，所以速度为 150 10 15 米/秒． 练习 4答案： 10 秒简答：直达列车与小王老师的相遇过程， 路程和即直达列车车长 900 米，速度和为 60 30 90 米 /秒，所以时间为 900 90 10 秒．作业 1答案： 10 米 简答： 齐头并进，路程差为快车车长，即蛇妈妈的长度，为5 4 10 10米作业 2答案： 5 米简答： 齐尾并进，路程差为慢车车长，即蛇宝宝的长度，为 5 4 5 5米．作业 3答案： 10 秒简答： 从队尾跑到队头，速度差为队伍长度 20 米，所以时间为 20 3 1 10秒．作业 4 答案： 180 米简答：20秒的路程是“ 220米 车长”，24秒的路程是“ 300米 车长 ”，时间差为 24 20 4秒， 路程差为 300 220 80米，所以速度为 80 4 20米/秒，所以火车车长为 20 20 220 180 米． 作业 5答案： 18 米/秒简答：慢车与小王老师的相遇过程，路程和为慢车车长 380米，时间为 10 秒，所以速度和为 38010 38米/秒，小王老师速度即为快车速度 20 米/秒，所以慢车速度为 38 20 18 米/秒．8.9.10. 11.12. 13.14.15.。
第十四讲年龄问题在与年龄有关的应用题中，年龄一般只与年份有关，比如某人在 2012年是----------------- n,在多少岁吗？30岁，那么他在2013年一定是31岁，不用具体考虑他今年是否已经过完生日.这类应用题中，给出的条件一般是两个人或者多个人的具体年龄或者他们年龄之间的和差倍关系•所以年龄问题其实就是一类特殊的和差倍问题.与其他和差倍问题相同，年龄问题也可以通过画线段图来分析，但和其他和差倍相比，年龄问题中时常包含着一些隐藏条件，需要大家格外关注.我们先来看一下只与两个人的年龄有关的几类问题.今年小高12岁，他父亲42岁，请问：多少年后，父亲年龄是小高的2倍？多少年前，父亲年龄是小高的4倍？「分析」小高和父亲的年龄差是不变的，怎么把年龄差与年龄的倍数关系联系起来呢？练习1今年小高10岁，他父亲30岁，请问：多少年前，父亲年龄是小高的5倍？多少年前，父亲年龄是小高的6倍？对于两个人来说，每过一年，两个人的年龄都会增长一岁，但是他们的年龄差不变•抓住这一不变量，很多问题就可以迎刃而解了.例题2今年爸爸的年龄是儿子的4倍，4年以后，爸爸年龄就只有儿子的 3 倍，请问今年爸爸、儿子各几岁？「分析」父子年龄的倍数关系发生了变化，是一个典型的变倍问题，其中的不变量是什么呢？把不变量设为几份呢？今年，母亲年龄是儿子年龄的3倍;10年后，母亲年龄是儿子年龄的2倍•请问：今年母亲的年龄是多少岁？年龄问题中，我们有时需要比较两个人在不同时间的年龄•对这类问题，我们仍然像解决基本和差倍问题一样，画出线段图来.小高问师傅多少岁，师傅说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了.”请问：师傅和小高现在分别多少岁？「分析」本题中过去、现在、将来的时间都出现了，你能在一个图里把这些时间都表示出来吗？叔叔对亮亮说：“当你像我这么大的时候，我已经60岁了；当我像你这么大的时候，你才24岁•”请问：亮亮和叔叔今年各多少岁？例题4兄弟现在两个年龄之和是32岁，当哥哥像弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍.请问：哥哥现在多少岁了？「分析」这个题目中只有现在和过去，应该先画哪个时间点呢？和差倍问题, 有倍数我们就要优先画出倍数关系.练习4小姐妹两个现在年龄之和是35岁.当姐姐是妹妹现在这么大时，姐姐当时的年龄是当时妹妹年龄的2倍.请问：姐姐现在的年龄是多少？1年前，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍.已知爸爸和妈妈同岁，妈妈今年多少岁？「分析」这是关于父母年龄和与兄弟年龄和的变倍问题，我们是不是应该把父母二人分成一组，兄弟二人分成另一组来计算呢?例题6 哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园.”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁，哥哥获得博士学位时的年龄是弟弟上幼儿园时年龄的7倍，请问：哥哥获得博士学位时的年龄是多少岁？「分析」和差倍问题，有倍数时要优先画倍数.你可以根据兄弟年龄的倍数关系以及“两个人年龄差不变”画出线段图吗？年龄“外号”知多少总角：指童年•语出《诗经》，如《诗卫风氓》“总角之宴”.垂髫(chu iti co):指童年. 古时童子未冠，头发下垂，因而以“垂髫"代指童年.束发：指青少年. 一般指15岁左右，这时应该学会各种技艺.及笄(j i) j指女子15岁. 语出《礼记内则》“女子十有五年而笄待年：指女子成年待嫁，又称“待字弱冠：指男子20岁. 语出《礼记曲礼上》“二十曰弱，冠”.古代男子20岁行冠礼，表示已经成年.而立：指30岁. 语出《论语为政》“三十而立” •以后称三十岁为“而立”之年.不惑：指40岁. 语出《论语为政》“四十而不惑” •以后用“不惑”作40岁的代称.艾：指50岁•语出《礼记曲礼上》“五十曰艾” •老年头发苍白如艾.花甲：指60岁•以天干地支名号错综参互而得名.古稀：指70岁•语出杜甫《曲江》诗：“酒债寻常行处有，人生七十古来稀•” 皓首：指老年，又称“白首”.黄发：指长寿老人•语出《诗经》，如《诗鲁颂•宫》“黄发台背” •老人头发由白转黄.鲐背：指长寿老人.语出《诗经》，如《诗大雅行苇》“黄台背”，“台”与“鲐”通用.耄：古称大约七十至九十岁的年纪.老夫耄矣，无能为也. 一一《左传隐公四年》耋： 年八十曰耊•字亦作耋. 一一《易 离》•马注：“七十曰耋•”期颐：指百岁•语出《礼记 曲礼上》“百年曰期，颐” •谓百岁老人应由后代赡养.孑«I-養十有A厨志于孝r *=十：r二^做 凹十两平孤.%--'「岂JI十帀知A4-作业1.2010年张伯伯45岁，小聪9岁，那么在哪一年张伯伯的年龄是小聪的 3倍?2.今年，父亲年龄是儿子年龄的 4倍；24年后，父亲年龄是儿子年龄的 2倍•今年父亲多少岁？3.李家有三兄弟，老大、老二、老三•当老二像老三那么大时，老二的年龄是老三的 3倍，老大的年龄是老二、老三的年龄之和.已知现在三兄弟年龄之和为 28岁，现在老大多少岁？4.哥哥对弟弟说：“当我到爸爸现在的年龄时， 爸爸就70岁了. ”弟弟又对哥哥说：“当我 到妈妈现在的年龄时， 妈妈也70岁了. ”已知爸爸比妈妈大 2岁，那么哥哥比弟弟大多 少岁？5.5年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的 10倍，明年父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍，那么从今年起多少年后父母的年龄和是兄弟二人年龄和的2倍？第十四讲年龄问题1. 例题1答案：18年后；2年前详解：小高和父亲年龄差30岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是小高2倍时，设小高年龄为“ 1”，父亲年龄为“ 2”，差值为“1”，即30岁，则当小高30岁，父亲60岁时，父亲年龄 是小高的2倍，这是在18年后；同理，当父亲年龄是小高 4倍时，设小高年龄为“ 1”，父亲年 龄为“ 4”，差值为“ 3”，即30岁，则“ 1”为10岁，小高为10岁，那是在2年前.详解：设年龄差为“6”，则儿子今年年龄为“2 ”, 爸爸今年年龄为“8 ”，4年后，儿子年龄为“ 3 ”, 爸爸年龄为“ 9”，则“ 1”为4年，那么儿子今 年8岁，爸爸今年32岁.1”，则4年后的父母年龄和为 “8”，兄弟年龄和为“ 2”，则10岁为“ 1 ”，所以爸爸妈妈今年年龄和为 72,所以妈妈今年36岁.6. 例题6 答案：28岁详解：如右图所示，根据 7倍可得年龄差是弟弟上幼儿园时年龄的2倍，设弟弟上幼儿园时年2.例题2答案：儿子8岁；爸爸32岁3. 例题3答案：小高15岁；师傅27岁详解：画“过去、现在、将来”图，如右图所示.设 年龄差为“ 1”，发现“ 3”恰好是3岁到39岁, 即36岁，则“ 1”为12岁，所以现在小高和师 傅分别是15岁和27岁.4. 例题4 答案：20岁详解：画出“过去、现在”图，如右图所示•设哥哥像弟 1” ------ “ 3”__ I 45.弟现在这么大时，弟弟年龄为“ 1”，哥哥年龄为“ 3”，年龄差为“ 2”，则现在弟弟年龄“ 3”，哥哥年龄为“ 5”，年 龄和为“ 8”，即是32岁，则“ 1 ”为4岁，所以哥哥现例题5 答案：36岁详解：将父母年龄和看成一组，将兄弟二人年龄和看成一组，根据 之差统一为“ 6”.则1年前父母年龄和为“ 7”，兄弟年龄和为“ 倍和4倍，把两组年龄和 将龄为“1”，则哥哥获博士学位年龄为 “ 7 ”, 弟 1 则现在弟弟年龄为“ 3”哥哥年龄为“ 5 ” 两个人的年龄和为“ 8”，32岁，则“ 1”为 4岁；那么哥哥获得博士学位的年龄为 28岁.练习1答案：5年前；6年前详解：小高和父亲年龄差20岁，根据年龄 差不变的性质，当父亲年龄是小高5倍时， 设小高年龄为“ 1 ”，父亲年龄为“ 5”，差 值为“ 4”，即20岁，则当小高5岁，父亲 25岁时，父亲年龄是小高的 5倍，这是在龄为“ 1”，父亲年龄为“ 6”，差值为“ 5”，即20岁，则“ 1”为4岁，小高为4岁，那是在6 年前.8. 练习2 答案：30岁详解：设年龄差为“ 2”则儿子今年年龄为“ 1”母亲今年年龄为“ 3”，10年后，儿子年龄为 “2”母亲年龄为“ 4”，则“ 1”为10年，那么儿子今年10岁，母亲今年30岁.9. 练习3答案：亮亮36岁；叔叔48岁简答：方法同例3，画出线段图，设年龄差为“ 1 ”，发现“ 3”恰好是24岁到60岁，即36岁， 贝U“1 ”为12岁，所以现在亮亮和叔叔分别是 36岁和48岁.10. 练习4答案：21岁简答：方法同例4,画出线段图，设姐姐像妹妹现在这么大时，妹妹年龄为“ 1 ”，姐姐年龄为“2”年龄差为“1”，则现在妹妹年龄“ 2”，姐姐年龄为“ 3 ”，年龄和为“ 5”，即35岁，则“ 1 ”为7 岁，所以姐姐现在21岁.11. 作业1答案：2019年简答：两人年龄差为45 9 36岁.张伯伯年龄是小聪的 3倍时，小聪的年龄为36 3 1 18岁， 这是在18 9 9年后，为2019年.12. 作业2答案：48岁简答：设年龄差是“ 3”.今年父亲的年龄是“ 4”，今年儿子的年龄是“ 1 ”，24年后儿子的年龄7.5年前；同理，当父亲年龄是小高 6倍时，设小高年是“ 3”，父亲年龄是“ 6”. “1”份是12年，今年父亲的年龄是12 4 48岁. 13. 作业3答案：12岁简答：当老二像老三那么大时，假设老三的年龄为“1”，则老二的年龄为“ 3”，老大的年龄为“ 4”，如下图所示•老三、老二的年龄差为“ 2”，则现在老三年龄为“ 3”，老二年龄为“ 5”, 老大年龄为“ 6”，“1 ”为28 3 5 62岁.因此现在老大12岁，老二10岁，老三6岁.现在现在卜28岁现在14. 作业4答案：4岁简答：先根据父母年龄差 2岁画出线段图，如下所示•从图中看出，由于爸爸比妈妈大2岁，所以弟弟与妈妈年龄差比哥哥与爸爸年龄差大 2岁，比哥哥与妈妈年龄差大 2 2 4岁，所以哥 哥和弟弟年龄差为4岁.为“3”，相差的“ 2”相当于5 1 2 12年，即“1”相当于6年.5年前兄弟年龄和为6岁，父母年龄和为6 1060岁，今年兄弟年龄和为 6 5 2 16岁，父母年龄和为60 5 270岁,父母年龄和与兄弟年龄和之差为 70 16 54岁.当父母年龄和是兄弟年龄和的2倍时，兄弟年龄和为542 154岁，是在 54 162 19年后.老二1”，明年兄弟年龄和。
小学奥数计算专题练习之高斯算法高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。
一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。
他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。
计算方法（公式）具体的方法是：首项加末项乘以项数除以2项数的计算方法是末项减去首项除以项差（每项之间的差）加1. 如：1+2+3+4+5+······+n，则用字母表示为：n（1+n）/2等差数列求和公式Sn=(a1+an)n/2Sn=n(2a1+(n-1)d)/2;d=公差Sn=An2+Bn;A=d/2,B=a1-(d/2)算法由来高斯小时候非常淘气，一次数学课上，老师为了让他们安静下来，给他们列了一道很难的算式，让他们一个小时内算出1+2+3+4+5+6+……+100的得数。
全班只有高斯用了不到20分钟给出了答案，因为他想到了用（1+100）+（2+99）+（3+98）……+（50+51）……一共有50个101，所以50×101就是1加到一百的得数。
后来人们把这种简便算法称作高斯算法。
1.1+2+3+……+8+9+10=2.1+3+5+……+17+19=3.1+2+3+……51+52+……+99+100=4.1+3+5+……51+53+……+97+99=5.2+4+6+……50+52+……+98+100=6.3+6+9+……+51+54+57+……+96+99=7.5+10+15+……+50+55+……+95+100=8.1+4+7+……+52+55+58+……+97+100=9.小添添家的时钟每整点时就敲钟，而敲的数目和当时的时间是一样的，而且在两个整点中还会敲一下，这时时钟一天内共敲多少下? 10.有一列数：19、22、25、28……，这列数的前49个数(从19开始算起)的总和是的多少?分类精心精选精品文档，欢迎下载，所有文档经过整理后分类挑选加工，下载后可重新编辑，正文所有带XX或是空格类下载后可自行代入字词。
第十三讲多次往返相遇与追及在这一讲中，我们重点学习直线上不断往返的行程问题．在学习新的内容之前，我们先来复习一下原来学过的简单相遇问题与追及问题．简单相遇与追及相遇问题是指两人同时从两个地点出发，向对方所在位置前进，经过一段时间后两人相遇．追及问题是指两人从两个地点出发，朝着同一个方向前进，经过一段时间后一个人追上了另一个人．简单的相遇问题与追及问题的线段图如下所示：相遇时，两人的路程和是A 、B 两地的距离；追及时，两人的路程差是A 、B 两地的距离．其实，一般来说，只要两个人运动方向相反，就是相遇问题（包括相向而行和相背而行）；只要两个人运动方向相同，就是追及问题（同向而行包括追上和超过）．解决行程问题，最基本的方法就是画线段图，寻找相同时间内的路程关系（包括路程和、路程差以及路程的倍数关系）．不同出发点的往返相遇甲、乙两人从A 、B 两地同时出发相向而行，在相遇后两人继续前进，分别到达B 地、A 地后立即折回，这时两人第二次迎面相遇，我们画出线段图如下所示．从线段图中可以发现：当两人第一次迎面相遇时，经过的路程和是A 、B 两地距离（1个全长）；当两人第二次迎面相遇时，经过的路程和是3个全长；当两人第三次迎面相遇时，经过的路程和是5个全长；……即相邻两次相遇之间，两人的路程和恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．地 甲乙甲乙第二次相遇 第一次相遇例题1小高和墨莫分别从相距60千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，两人第一次迎面相遇？再过多长时间两人第二次迎面相遇？（2）出发后多长时间，两人第四次迎面相遇？第四次迎面相遇的地点距离A 地多少千米？ 「分析」应用我们上面总结的结论，两人从两地出发，第一次相遇时，两人路程和是多少？在第一次迎面相遇和第二次迎面相遇之间，两人路程和又是多少？练习1阿瓜和阿呆分别从相距90千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时21千米，阿瓜骑车的速度是每小时24千米．请问：（1）出发后过多长时间两人第二次迎面相遇？再过多长时间两人第五次迎面相遇？不同出发点的往返追及甲、乙两人从A 、B 两地同时出发相向而行，甲到达B 地后立即折回，直至第一次追上乙，我们画出线段图如右下所示：从线段图中可以发现：甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是1个全长；甲第二次追上乙时，甲和乙的路程差是3个全长；甲第三次追上乙时，甲和乙的路程差是5个全长；……即相邻两次追及之间，两人的路程差恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．．A 地甲乙 第一次追及 第二次追及例题2小高和墨莫分别从相距60千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，小高第一次追上墨莫？再过多长时间小高第三次追上墨莫？（2）出发后多长时间，小高第五次追上墨莫？第五次追上墨莫的地点距离A 地多少千米？ 「分析」应用我们上面总结的结论，两人从两地出发，第一次追上时，两人路程差是多少？在第一次追上和第三次追上之间，两人路程差又是多少？练习2阿瓜和阿呆分别从相距80千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时32千米，阿瓜骑车的速度是每小时12千米．请问：（1）出发后多长时间阿呆第一次追上阿瓜？（2）再过多少小时阿呆第三次追上阿瓜？相同出发点的往返相遇甲、乙两人从A 地同时出发同向而行，在A 、B 两地之间不断往返，我们画出两人迎面相遇的线段图．从线段图中可以发现：当两人第一次迎面相遇时，甲和乙的路程和是2个全长；当两人第二次迎面相遇时，甲和乙的路程和是4个全长；当两人第三次迎面相遇时，甲和乙的路程和是6个全长；……即相邻两次相遇之间，两人的路程和恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．地例题3小高和墨莫同时从A 地出发，在相距60千米的A 、B 两地之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，两人第一次迎面相遇？第一次迎面相遇的地点距离A 地多少千米？（2）出发后多长时间，两人第五次迎面相遇？第五次迎面相遇的地点距离A 地多少千米？ 「分析」应用我们上面总结的结论，两人从同地出发，第一次相遇时，两人路程和是多少？第五次相遇时，两人路程和又是多少？练习3阿呆和阿瓜同时从A 地出发，在相距90千米的A 、B 两地之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时24千米，阿瓜骑车的速度是每小时21千米．请问：（1）出发后经过多长时间两人第二次迎面相遇？（2）出发后经过多长时间两人第五次迎面相遇？相同出发点的往返追及甲、乙两人从A 地同时出发同向而行，在A 、B 两地之间不断往返，我们画出两人追及的线段图．从线段图中可以发现，甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是2个全长；而从第一次追及到第二次追及，就跟前面所讨论的“不同出发点的往返追及”一样，路程差依然是2个全长．即相邻两次相遇之间，两人的路程和恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．例题4小高和墨莫同时从A 地出发，在相距60千米的A 、B 两地之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，小高第一次追上墨莫？第一次追上墨莫的地点距离A 地多少千米？（2）出发后多长时间，小高第五次追上墨莫？第五次追上墨莫的地点距离A 地多少千米？「分析」应用我们上面总结的结论，两人从同地出发，第一次追上时，两人路程差是多少？第五次追上时，两人路程差又是多少？地追及练习4阿呆和阿瓜同时从A地出发，在相距90千米的A、B两地之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时30千米，阿瓜骑车的速度是每小时25千米．请问：（1）出发后多长时间阿呆第一次追上阿瓜？（2）出发后多长时间阿呆第三次追上阿瓜？例题5机器猫和机器狗从长为150米的跑道一端同时出发，在跑道上不断往返运动．已知机器猫的速度是每分钟20米，机器狗的速度是每分钟30米．那么在机器猫和机器狗出发后100分钟内，（1）它们共有多少次迎面相遇？（2）机器狗有多少次追上机器猫？「分析」想要算出100分钟内相遇多少次，就要知道它们相遇一次所用的时间．要算出追上多少次，就要知道追上一次所用的时间．例题6A、B两辆汽车从甲、乙两站同时出发，相向而行，在距甲站50千米处两车第一次迎面相遇，相遇后两车继续前进（保持原速）各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，在距乙站30千米处两车第二次迎面相遇．问：甲、乙两站相距多远？若两车继续前进，则在何处第三次迎面相遇？「分析」出发到第一次相遇、第一次相遇到第二次相遇，这两段时间有什么关系呢？好好思考一下，然后再画线段图分析．课堂内外文人的“反复”宋神宗熙宁二年（1069），王安石当宰相后，决心改革，推行新法，遭到大地主、大官僚的坚决反对，没几年就被罢了官．他在京城闭居无聊，决意回南京去看看妻儿．第二年春天，王安石由汴京南下扬州，又乘船西上回金陵（今苏省南京市），路过于京口（今江苏省镇江市）到了隔江相望的瓜洲时，船靠码头，不再走了．他站在船头上，极目西望，但见青山隐隐，江水滔滔，春风绿野，皓月当空，触景生情，更加怀念起金陵钟山（又名紫金山）的亲人来了．他走进船舶，拿出纸笔，略一思索，就写了一首题名《泊船瓜洲》的诗：京口瓜洲一水间，钟山只隔数重山．春风又到江南岸，明月何时照我还？写完后，王安石觉得“春风又到江南岸”的“到”字太死，看不出春风一到江南是什么景象，缺乏诗意，想了一会，就提笔把“到”字圈去，改为“过”字．后来细想一下，又觉得“过”字不妥．“过”字虽比“到”字生动一些，写出了春风的一掠而过的动态，但要用来表达自己想回金陵的急切之情，仍嫌不足．于是又圈去“过”字，改为“入”字、“满”字．这样改了十多次，王安石仍未找到自己最满意的字．他觉得有些头疼，就走出船舱，观赏风景，让脑子休息一下．王安石走到船头上，眺望江南，春风拂过，青草摇舞，麦浪起伏，更显得生机勃勃，景色如画．他觉得精神一爽，忽见春草碧绿，这个“绿”字，不正是我要找的那个字吗？一个“绿”字把整个江南生机勃勃、春意盎然的动人景象表达出来了．想到这里，王安石好不高兴，连忙奔进船舱，另外取出一张纸，把原诗中“春风又到江南岸”一句，改为“春风又绿江南岸”.为了突出他反复推敲来之不易的那个“绿”字，王安石特地把“绿”写得稍大一些，显得十分醒目．一个“绿”字使全诗大为生色，全诗都活了.这个“绿”字就成了后人所说的“诗眼”．后来许多谈炼字的文章，都以他为例．作业1.甲、乙两人分别从相距70千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时15千米，乙骑车的速度是每小时20千米．请问：（1）经过多少小时两人第二次迎面相遇？（2）再过多少小时两人第四次迎面相遇？2.甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时25千米，乙骑车的速度是每小时10千米．出发后多少小时，甲第三次追上乙，追及的地点距离A多少千米？3.甲、乙两人同时从A地出发，在相距6千米的A、B两地之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时30千米，乙骑车的速度是每小时24千米．请问：（1）经过多少小时甲第三次追上乙？（2）再过多少小时甲第四次追上乙？4.甲、乙两人同时从A地出发，在相距70千米的A、B两地之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时15千米，乙骑车的速度是每小时20千米．请问：（1）经过多少小时两人第五次迎面相遇？（2）第五次迎面相遇地点距离A地多少千米？5.兔子和乌龟同时从A地出发，在相距500米的A、B两地之间不断往返骑车．已知兔子的速度是每分钟40米，乌龟的速度是每分钟60米．在出发的半小时内，他们一共迎面相遇多少次？第十三讲多次往返相遇与追及1.例题1答案：（1）2小时，4小时；（2）14小时，54千米详解：（1）第一次迎面相遇两人的路程和是1个全长，时间是()÷+=小602192时．从第一次相遇到第二次迎面相遇，两人的路程和是2个全长，时间应该是224⨯=小时．（2）从出发到第四次迎面相遇，两人的路程和是12227+++=个全长，时间是7214⨯=千米，⨯=小时．其中墨莫从B地出发走了149126-=千米．1266026÷=，所以相遇地点离A地606542.例题2答案：（1）5小时，20小时；（2）45小时，15千米详解：（1）第一次追上，两人的路程差是1个全长，时间是()÷-=小602195时，从第一次追上到第三次追上，两人的路程差是224+=个全长，时间是4520⨯=小时．（2）从出发到第五次追上，两人的路程差是2519⨯-=个全长，时间是⨯=千米，9545⨯=小时．其中墨莫从B地出发走的路程是459205-=千米．÷=，所以追及地点距离A点60451540560653.例题3答案：（1）4小时，36千米；（2）50小时，60千米详解：（1）第一次迎面相遇，两人的路程和是2个全长，相遇时间是()⨯=千米，相遇地点⨯÷+=小时，其中墨莫从A出发走了49366022194距A地36千米．（2）相邻两次相遇的路程和都是2个全长，从出发到第五次相遇两人相遇时间是4520÷=，⨯=千米，180603⨯=小时．墨莫从A出发走了209180所以相遇地点距A地60千米．4.例题4答案：（1）10小时，30千米；（2）50小时，30千米详解：（1）第一次追上，两人的路程差是2个全长，时间是()60221910⨯÷-=小时．此时墨莫从A出发走了91090÷=，追上地点⨯=千米，9060130距离A地603030-=千米．（2）相邻两次追及的路程差是2个全长，追上1次需要10小时，追上5次需要51050⨯=小时，此时墨莫走了509450⨯=千米，45060730÷=，追上地点距离A 地603030-=千米．5. 例题5答案：（1）16次；（2）3次详解：（1）从同一地点出发，相邻两次相遇的路程和为2个全长，需要()150220306⨯÷+=分钟；1006164÷=，所以一共有16次迎面相遇． （2）从同一地点出发，相邻两次追及的路程差为2个全长，需要()1502302030⨯÷-=分钟，10030310÷=，所以一共追上3次． 6. 例题6答案：120千米；距甲地10千米处详解：如图所示，第一次迎面相遇，A 、B 两车合走了1个全长，其中A 走了50千米．从第一次相遇到第二次迎面相遇，两车合走了2个全长，按倍数关系，A 车应该走100千米，图中粗线表示的距离是1003070-=千米．所以甲、乙两站相距5070120+=千米．从第二次到第三次相遇，A 要走100米，所以在距甲10米处第三次相遇．（或者是从出发到第三次相遇，两车合走5个全长，A 车共走550250⨯=千米，250120210÷=，距甲地10千米第三次相遇．）7. 练习1答案：6小时；12小时详解：（1）从出发到第二次迎面相遇，路程和是3个全长，即390270⨯=千米，所以时间为()27021246÷+=小时；（2）从第二次相遇到第五次迎面相遇，路程和是6个全长，即690540⨯=千米，所以时间为()540212412÷+=小时．8. 练习2答案：4小时；16小时甲乙B详解：（1）从出发到第一次追上，路程差是1个全长，即80千米，所以时间为()8032124÷-=小时；（2）从第一次追上到第三次追上，路程差是4个全长，即320千米，所以时间为()320321216÷-=小时．9. 练习3答案：8小时；20小时简答：（1）从出发到第二次迎面相遇，路程和是4个全长，即490360⨯=千米，所以时间为()36021248÷+=小时；（2）从出发到第五次迎面相遇，路程和是10个全长，即1090900⨯=千米，所以时间为()900212420÷+=小时．10. 练习4答案：36小时；108小时简答：（1）从出发到第一次追上，路程差是2个全长，所以时间为()290302536⨯÷-=小时；（2）从出发到第三次追上，路程差是6个全长，所以时间为()6903025108⨯÷-=小时．11. 作业1答案：6；8简答：（1）从出发到两人第二次相遇，两人的路程和是3个全长，所以一共用时()70315206⨯÷+=小时；（2）从第二次相遇到第四次相遇之间，两人的路程和是4个全长，所以用时8小时．12. 作业2答案：3小时；3千米简答：第三次追及时，两人的路程差为9545⨯=千米；追及时间为()4525103÷-=小时；甲一共骑了32575⨯=千米；7598÷=⋅⋅⋅3，距离A 地3千米．13. 作业3答案：6；2简答：从出发到第三次追及，两人的路程差等于6个全长，用时()6630246⨯÷-=小时．从第三次追及到第四次追及期间，两人的路程差等于2个全长，用时2小时．14.作业4答案：20；20简答：从出发到第五次相遇，两人的路程和为10个全长，一共用时()÷=，⨯÷+=小时；此时甲一共骑行了300千米，30070420 7010152020距离A地20千米．15.作业5答案：3简答：从同一地点出发，第一次迎面相遇两人的路程和是2个全长，时间是()5002406010⨯÷+=分钟．相邻两次之间迎面相遇的时间都是10分钟，半小时内会有3次迎面相遇．。
第八讲数列规律计算【漫画修改】原图中从小高出发的是等差数列：1，2，3，4，5，…．现改为双重数列：1，1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，1，7，1，…．我们以前学习过找规律以及等差数列，本讲内容就是以这两块知识为基础，并通过找规律、应用等差数列和周期性解决问题．本讲所学的很多数列的规律可要比等差数列复杂得多．例如：1，1，1，2，1，3，1，4，…这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看．又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…奇数项和偶数项的规律不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了．对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析．首先让我们来寻找以下数列的规律．找规律（1）40，2，37，4，34，6，31，8，________，________，25，12；（2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，________，________，64，7．观察数列的规律：10，1，10，2，10，3，10，4，10，5，10，6， (50)请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是10？（2）这个数列中所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？练习1观察数列的规律：1，4，2，4，3，4，4，4，5，4，6，4，…，30，4．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是4？（2）这个数列中所有项的总和是多少？例题2观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，1，14，2，16，3，18， (50)请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是2？（2）这个数列所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？练习2观察数列的规律：1，30，3，28，1，26，3，24，1，22，3，20，1，18，3，16，1，14，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是3？（2）这个数列所有项的总和是多少？观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，4，8，5，10，6，12，7，14，8，16，9，18， (19)请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？最后一个数19是属于哪一重的呢？练习3观察数列的规律：40，1，38，2，36，3，34，4，32，5，30，6，28，7，26，8，24，9，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？例题4观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第10组中三个数的和；（2）前10组中所有数的和．「分析」解决数组问题，我们可以把数组竖着对齐写，观察一下，每列分别有什么规律呢？练习4观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第15组中三个数的和；（2）前20组中所有数的和．解决多重数列问题，首先要把原数列拆成几个简单数列进行分析，而分析过程中，最关键的一步就是要判断清楚原多重数列的最后一项到底是属于哪一重的，进而才能确定两重的项数是否相等．例题5观察数列的规律：2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，12，18，14，21，16，24，18，27，…，60．请问：这个数列一共可能有多少项？「分析」这是一个几重数列？试着拆开看看，这两重分别是一个什么数列呢？最后一个60到底是属于哪一重的呢？例题6一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），…．请问：（1）第70组内的两个数之和是多少？（2）前55组中“5”这个数．出现了多少次？「分析」（1，□）有1组，（2，□）有2组，（3，□）有3组，（4，□）有4组，……，发现这个数组的规律了吗？第70组的第一个数是几呢？你能根据等差数列的和估算出来吗？课堂内外斐波那契数列斐波那契数列，又叫兔子数列，用文字来描述，就是由0和1开始，之后的每一个数都是由前面两个数相加．如下：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，…（一）兔子数列在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥纳多（又名斐波那契），他描述兔子生长的数目时用上了这个数列，如下为兔子繁殖的规律：①第一个月有一对刚诞生的兔子②第二个月他们可以生育③每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子④兔子永不死去⑤每个月兔子对数为：1，2，3，5，8，13，…（二）神奇的自然现象百合花的花瓣是3枚，梅花是5枚，而苹果、梨、杏等蔷薇科植物花瓣也都是5枚，飞燕草是8枚，瓜叶菊是13枚，向日葵有的是21枚，有的是34枚，雏菊有的是34枚、55枚或89枚．这些花瓣数正好就是“斐波那契数”．作业1.已知一个数列：1，30，1，27，1，24，1，…，1，6，1，3．请问：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列中所有数的和是多少？2.1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，…，42．观察上面数列的规律，请问：（1）这个数列中有多少个1？（2）这个数列中所有数的总和是多少？3.2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，…，33．观察上面数列的规律，请问：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列中所有数的和是多少？4.观察数列：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…．三个数为一组，请问：10第一次出现在第几组？该组的三个数之和是多少？5.观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39．观察上面数列的规律，请问：（1）数列中有多少个1？（2）数列中所有数的总和是多少？第八讲数列规律计算1.例题1答案：51项；1775详解：（1）奇数项是由常数10组成的，偶数项是从1开始连续的自然数．偶数项有50项，所以奇数项也有50项，那么在奇数项中有50个10，在偶数项中还有1个，所以有51项是10；（2）奇数项的和是5010500⨯=，偶数项的和是()+⨯÷=，所以所有项的总和是1505021275+=．500127517752.例题2答案：9项；699（1）奇数项是由1、2、3组成的周期数列，偶数项是从2开始连续的偶数．偶数项有50225详解：÷=项，所以奇数项也有25项，25381÷=L L，那么在奇数项有8个完整周期还多余1个数，每个周期中有1个2，多出来的1项是1，所以奇数项一共有8个2，在偶数项中还有1个，所以有9项是2；（2）奇数项的和是()250252650+⨯÷=，所⨯+++=，偶数项的和是()8123149以所有项的总和是49650699+=．3.例题3答案：37项；532详解：（1）奇数项是由从1开始连续的自然数组成，偶数项是从2开始连续的偶数．最后一项是奇数项，奇数项有19项，偶数项有18项．共有37项；（2）奇数项之和是()+⨯÷=；119192190偶数项的最后一项是18236⨯=，所以偶数项之和是()+⨯÷=，所有项的总和是236182342+=．1903425324.例题4答案：33；195详解：（1）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个数组成了从1开始连续的自然数，所以第10组三个数是（10，11，12），三个数的和是11333⨯=；（2）第1组三个数的和是23⨯，第2组三个数的和是33⨯，依次类推，前10组所有数的和是()L．323411195⨯++++=5.例题5答案：59项或40项详解：奇数项是从2开始连续的偶数组成，偶数项是从3开始公差为3的等差数列组成．60可能是奇数项也可能是偶数项．当60是奇数项的时候，奇数项有60230÷=项，所以偶数项有29项，共有59项；当60是偶数项的时候，偶数项有60320÷=项，所以奇数项也有20项，共有40项．6.例题6答案：16；11次详解：（1）观察数组的规律，第一个数是1的有1组，第一个数是2的有2组，第一个数是3的有3组，因为12341166L组，所以从第67组开始，每组的第一个数是12，第67 +++++=组是（12，1），依此类推第70组是（12，4），两个数的和是12416L+=；（2）因为1231055++++=组，所以第55组恰好是（10，10），第一个数是5的有5组，即（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）．第二个数是5的只能是（5，5），（6，5），（7，5），（8，5），（9，5），（10，5），出现了6次，所以“5”这个数出现了11次．7.练习1答案：31；585详解：（1）偶数项是由常数4组成的，奇数项是从1开始连续的自然数．奇数项有30项，所以偶数项也有30项，那么在偶数项中有30个4，在奇数项中还有1个，所以有31项是4；（2）偶数项的和是304120⨯=，奇数项的和是()+⨯÷=，所以所有项的总和是130302465+=．1204655858.练习2答案：7项；269详解：（1）奇数项是由1、3组成的周期数列，偶数项是30~2连续的偶数．偶数项有30215÷=项，所以奇数项也有15项，15271÷=L L，那么在奇数项有7个周期还多余1个数，每个周期中有1个3，多出来的1项是1，所以奇数项一共有7个3，在偶数项中没有3，所以共有7项是3；（2）奇数项的和是()713129230152240+⨯÷=，所以所有项⨯++=，偶数项的和是()的总和是29240269+=．9.练习3答案：39项；610简答：（1）偶数项是由从1开始连续的自然数组成，奇数项是40~2连续的偶数．最后一项是奇数项，奇数项有40220÷=项，偶数项有19项，共有39项；（2）奇数项之和是()+⨯÷=；240202420偶数项的最后一项是19，所以偶数项之和是()+⨯÷=，所有项的总和是119192190+=．42019061010.练习4答案：48；690简答：（1）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个数组成了从1开始连续的自然数，所以第15组三个数是（15，16，17），三个数的和是16348⨯=；（2）第1组三个数的和是23⨯，第2组三个数的和是33⨯，依次类推，前20组所有数的和是()L．⨯++++=32342169011.作业1答案：20；175简答：（1）奇数项都是1，偶数项是公差为3的等差数列，偶数项有10项，整个数列有20项；（2）奇数项之和为10，偶数项之和为()303102165+⨯÷=，所有数之和为175．12. 作业2答案：7；504简答：（1）偶数项是2，4，6，…，42，有21项；奇数项也有21项，是1，2，3这三个数为一个周期的循环数列，21个数包含7个完整周期．偶数项中没有1，奇数项中有7个1，因此一共有7个1；（2）偶数项总和为24642462++++=L ，奇数项总和为()123742++⨯=，所有数之和为504．13. 作业3答案：22；330简答：（1）偶数项是3，6，9，…，33，有11项；奇数项也有11项，整个数列有22项；（2）奇数项是2，4，6，8，…共11项，所以第11项是22，所以奇数项之和是()222112132+⨯÷=，所有偶数项之和是()333112198+⨯÷=，所有数之和为330．14. 作业4答案：8；27简答：先看第一个问题，每组第1个数分别为1，2，3，…，第8组的三个数为（8，9，10），第9组的三个数为（9，10，11），10第一次出现在第8组．再看第二个问题，第8组三个数之和为27．15. 作业5答案：10；220简答：（1）奇数项都是1，偶数项是公差为4的等差数列，偶数项是3，7，11，15，…，39，共有()3934110-÷+=项，所以奇数项也有10项，所以共有10个1；（2）奇数项之和是10，偶数项之和是()339102210+⨯÷=，所有数之和是220．。
第十四讲年龄问题在与年龄有关的应用题中，年龄一般只与年份有关，比如某人在2012年是30岁，那么他在2013年一定是31岁，不用具体考虑他今年是否已经过完生日．这类应用题中，给出的条件一般是两个人或者多个人的具体年龄或者他们年龄之间的和差倍关系．所以年龄问题其实就是一类特殊的和差倍问题．与其他和差倍问题相同，年龄问题也可以通过画线段图来分析，但和其他和差倍相比，年龄问题中时常包含着一些隐藏条件，需要大家格外关注．我们先来看一下只与两个人的年龄有关的几类问题．例题1今年小高12岁，他父亲42岁，请问：多少年后，父亲年龄是小高的2倍？多少年前，父亲年龄是小高的4倍？「分析」小高和父亲的年龄差是不变的，怎么把年龄差与年龄的倍数关系联系起来呢？练习1今年小高10岁，他父亲30岁，请问：多少年前，父亲年龄是小高的5倍？多少年前，父亲年龄是小高的6倍？对于两个人来说，每过一年，两个人的年龄都会增长一岁，但是他们的年龄差不变．抓住这一不变量，很多问题就可以迎刃而解了．例题2今年爸爸的年龄是儿子的4倍，4年以后，爸爸年龄就只有儿子的3倍，请问今年爸爸、儿子各几岁？「分析」父子年龄的倍数关系发生了变化，是一个典型的变倍问题，其中的不变量是什么呢？把不变量设为几份呢？练习2今年，母亲年龄是儿子年龄的3倍；10年后，母亲年龄是儿子年龄的2倍．请问：今年母亲的年龄是多少岁？“年龄问题中，我们有时需要比较两个人在不同时间的年龄．对这类问题，我们仍然像解决基本和差倍问题一样，画出线段图来．例题 3小高问师傅多少岁，师傅说：“当我像你这么大时，你刚 3 岁；当你 像我这么大时，我已经 39 岁了．”请问：师傅和小高现在分别多少岁？「分析」本题中过去、现在、将来的时间都出现了，你能在一个图里把这些时间都表示出来吗？练习 3叔叔对亮亮说： 当你像我这么大的时候，我已经 60 岁了；当我像你这么大的时候，你才 24 岁．”请问：亮亮和叔叔今年各多少岁？例题 4兄弟现在两个年龄之和是 32 岁，当哥哥像弟弟现在这么大时，哥哥 的年龄是当时弟弟年龄的 3 倍．请问：哥哥现在多少岁了？「分析」这个题目中只有现在和过去，应该先画哪个时间点呢？和差倍问题，有倍数我们就要优先画出倍数关系．练习 4小姐妹两个现在年龄之和是 35 岁．当姐姐是妹妹现在这么大时，姐姐当时的年龄是当时妹妹年龄的 2 倍．请问：姐姐现在的年龄是多少？例题 51 年前，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的 7 倍；4 年后，父母的年 龄和是兄弟二人年龄和的 4 倍．已知爸爸和妈妈同岁，妈妈今年多少 岁？「分析」这是关于父母年龄和与兄弟年龄和的变倍问题，我们是不是应该把父母二人分成一组，兄弟二人分成另一组来计算呢？jī 例题 6哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园．”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为 32 岁，哥哥获得博士学位时的年龄是弟弟上幼儿园时年龄的 7 倍，请问：哥哥获得博士学位时的年龄是多少岁？「分析」和差倍问题，有倍数时要优先画倍数．你可以根据兄弟年龄的倍数关系以及“两个人年龄差不变”画出线段图吗？课堂内外年龄“外号”知多少总角 ：指童年．语出《诗经》，如《诗· 卫风 · 氓》“总角之宴”．垂髫（ chuí tiá o ） ：指童年． 古时童子未冠，头发下垂，因而以“垂髫”代指童年．束发 ：指青少年． 一般指 15 岁左右，这时应该学会各种技艺．及笄（ jí ）：指女子 15 岁． 语出《礼记 · 内则》“女子 …… 十有五年而笄”．待年 ：指女子成年待嫁，又称“待字”．弱冠 ：指男子 20 岁． 语出《礼记 · 曲礼上》“二十曰弱，冠”．古代男子20 岁行冠礼，表示已经成年．而立 ：指 30 岁． 语出《论语 · 为政》“三十而立”．以后称三十岁为“而立”之年．不惑 ：指 40 岁． 语出《论语 · 为政》“四十而不惑”．以后用“不惑”作40 岁的代称．艾： 指 50 岁．语出《礼记 · 曲礼上》“五十曰艾”．老年头发苍白如艾．花甲 ：指 60 岁．以天干地支名号错综参互而得名．古稀 ：指 70 岁．语出杜甫《曲江》诗：“酒债寻常行处有，人生七十古来稀．”皓首 ：指老年，又称“白首”．黄发 ：指长寿老人．语出《诗经》，如《诗· 鲁颂 · 宫》“黄发台背”．老人头发由白转黄．鲐背 ：指长寿老人．语出《诗经》，如《诗· 大雅 · 行苇》“黄台背”，“台”与“鲐”通用．耄： 古称大约七十至九十岁的年纪．老夫耄矣，无能为也．――《左传 · 隐公四年》“ “ 耋 ： 年八十曰耊．字亦作耋． ―― 《易 · 离》．马注：“七十曰耋．”期颐 ：指百岁．语出《礼记 · 曲礼上》“百年曰期，颐”．谓百岁老人应由后代赡 养．作业1. 2010 年张伯伯 45 岁，小聪 9 岁，那么在哪一年张伯伯的年龄是小聪的 3 倍？2.今年，父亲年龄是儿子年龄的 4 倍；24 年后，父亲年龄是儿子年龄的 2 倍．今年父亲多少岁？3.李家有三兄弟，老大、老二、老三．当老二像老三那么大时，老二的年龄是老三的 3倍，老大的年龄是老二、老三的年龄之和．已知现在三兄弟年龄之和为 28 岁，现在老大多少岁？4.哥哥对弟弟说： 当我到爸爸现在的年龄时，爸爸就 70 岁了．”弟弟又对哥哥说： 当我到妈妈现在的年龄时，妈妈也 70 岁了．”已知爸爸比妈妈大 2 岁，那么哥哥比弟弟大多少岁？5.5 年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的 10 倍，明年父母的年龄和是兄弟二人年龄和的 4 倍，那么从今年起多少年后父母的年龄和是兄弟二人年龄和的 2 倍？4第十四讲年龄问题1.例题1答案：18年后；2年前详解：小高和父亲年龄差30岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是小高2倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“2”，差值为“1”，即30岁，则当小高30岁，父亲60岁时，父亲年龄是小高的2倍，这是在18年后；同理，当父亲年龄是小高4倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“4”，差值为“3”，即30岁，则“1”为10岁，小高为10岁，那是在2年前．2.例题2答案：儿子8岁；爸爸32岁详解：设年龄差为“6”，则儿子今年年龄为“2”，爸爸今年年龄为“8”，年后，儿子年龄为“3”，过高3爸爸年龄为“9”，则“1”为4年，那么儿子今年8岁，爸爸今年32岁．3.例题3答案：小高15岁；师傅27岁现师“1”高师“1”详解：画“过去、现在、将来”图，如右图所示．设年龄差为“1”，发现“3”恰好是3岁到39岁，即36岁，则“1”为12岁，所以现在小高和师将高傅分别是15岁和27岁．师“1”4.例题4答案：20岁详解：画出“过去、现在”图，如右图所示．设哥哥像弟过弟现在这么大时，弟弟年龄为“1”，哥哥年龄为“3”，年龄差为“2”，则现在弟弟年龄“3”，哥哥年龄为“5”，年龄和为“8”，即是32岁，则“1”为4岁，所以哥哥现在39弟“1”“3”哥“2”20岁．现弟“2”哥5.例题5答案：36岁详解：将父母年龄和看成一组，将兄弟二人年龄和看成一组，根据7倍和4倍，把两组年龄和之差统一为“6”．则1年前父母年龄和为“7”，兄弟年龄和为“1”，则4年后的父母年龄和为“8”，兄弟年龄和为“2”，则10岁为“1”，所以爸爸妈妈今年年龄和为72，所以妈妈今年36岁．6.例题6答案：28岁详解：如右图所示，根据7倍可得年龄差是弟弟上幼儿园时年龄的2倍，设弟弟上幼儿园时年龄为“1”，则哥哥获博士学位年龄为“7”，则现在弟弟年龄为“3”，哥哥年龄为“5”，两个人的年龄和为“8”，32岁，则“1”为4岁；那么哥哥获得博士学位的年龄为28岁．7.练习1答案：5年前；6年前详解：小高和父亲年龄差20岁，根据年龄过现弟“1”哥“2”弟哥“2”弟差不变的性质，当父亲年龄是小高5倍时，将设小高年龄为“1”，父亲年龄为“5”，差哥“2”值为“4”，即20岁，则当小高5岁，父亲25岁时，父亲年龄是小高的5倍，这是在5年前；同理，当父亲年龄是小高6倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“6”，差值为“5”，即20岁，则“1”为4岁，小高为4岁，那是在6年前．8.练习2答案：30岁详解：设年龄差为“2”，则儿子今年年龄为“1”，母亲今年年龄为“3”，10年后，儿子年龄为“2”，母亲年龄为“4”，则“1”为10年，那么儿子今年10岁，母亲今年30岁．9.练习3答案：亮亮36岁；叔叔48岁简答：方法同例3，画出线段图，设年龄差为“1”，发现“3”恰好是24岁到60岁，即36岁，则“1”为12岁，所以现在亮亮和叔叔分别是36岁和48岁．10.练习4答案：21岁简答：方法同例4，画出线段图，设姐姐像妹妹现在这么大时，妹妹年龄为“1”，姐姐年龄为“2”，年龄差为“1”，则现在妹妹年龄“2”，姐姐年龄为“3”，年龄和为“5”，即35岁，则“1”为7岁，所以姐姐现在21岁．11.作业1答案：2019年简答：两人年龄差为45-9=36岁．张伯伯年龄是小聪的3倍时，小聪的年龄为36÷(3-1)=18岁，这是在18-9=9年后，为2019年．12.作业2答案：48岁简答：设年龄差是“3”．今年父亲的年龄是“4”，今年儿子的年龄是“1”，24年后儿子的年龄是“3”，父亲年龄是“6”．“1”份是12年，今年父亲的年龄是12⨯4=48岁．13.作业3答案：12岁简答：当老二像老三那么大时，假设老三的年龄为“1”，则老二的年龄为“3”，老大的年龄为“4”，如下图所示．老三、老二的年龄差为“2”，则现在老三年龄为“3”，老二年龄为“5”，老大年龄为“6”，“1”为28÷(3+5+6)=2岁．因此现在老大12岁，老二10岁，老三6岁．现在老三“1”“2”现在老二28岁“3”“2”现在老大“4”“2”14.作业4答案：4岁简答：先根据父母年龄差2岁画出线段图，如下所示．从图中看出，由于爸爸比妈妈大2岁，所以弟弟与妈妈年龄差比哥哥与爸爸年龄差大2岁，比哥哥与妈妈年龄差大2+2=4岁，所以哥哥和弟弟年龄差为4岁．哥哥哥哥与爸爸年龄差70岁爸爸妈妈哥哥与爸爸年龄差弟弟与妈妈年龄差弟弟弟弟与妈妈年龄差15.作业5答案：19年后简答：设父母年龄和与兄弟年龄和之差为“9”，则5年前兄弟年龄和为“1”，明年兄弟年龄和为“3”，相差的“2”相当于(5+1)⨯2=12年，即“1”相当于6年．5年前兄弟年龄和为6岁，父母年龄和为6⨯10=60岁，今年兄弟年龄和为6+5⨯2=16岁，父母年龄和为60+5⨯2=70岁，父母年龄和与兄弟年龄和之差为70-16=54岁．当父母年龄和是兄弟年龄和的2倍时，兄弟年龄和为54÷(2-1)=54岁，是在(54-16)÷2=19年后．。
