当前位置：文档之家 › 2014年09月23日茶的初中数学组卷

2014年09月23日茶的初中数学组卷

  • 格式：doc
  • 大小：441.00 KB
  • 文档页数：17

2014年09月23日茶的初中数学组卷 菁优网 www.jyeoo.com

©2010-2014 菁优网 2014年09月23日茶的初中数学组卷

一．选择题（共3小题） 1．（2013•牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（ ） A． 2018 B． 2008 C． 2014 D． 2012

2．（2012•峨眉山市二模）关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A． m=2 B． m=3 C． m=5 D． m=3或m=2

3．（2012•汉川市模拟）对于任意实数x，y，多项式4x2+y2﹣4x﹣6y+11的值，下列判断正确的是（ ） A． 可能是0 B． 有最小值 C． 有最大值 D． 无法确定

二．填空题（共5小题） 4．（2014•常州）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m= _________ ，另一个根为 _________ ．

5．（2013•新疆）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是 _________ ． 6．（2011•松江区二模）方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= _________ ． 7．（2014•靖江市一模）若（x2+y2+2）（x2+y2﹣3）=6，则x2+y2= _________ ． 8．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为 _________ ． 三．解答题（共22小题） 9．（2013•威海）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案． （1）求小亮设计方案中甬路的宽度x； （2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同） 菁优网 www.jyeoo.com

©2010-2014 菁优网 10．已知k是方程x2﹣2014x+1=0的一个不为0的根，不解方程，求出k2﹣2013k+的值．

11．（2013•漳州）解方程：x2﹣4x+1=0． 12．（2012•密云县二模）用配方法解方程：3x2﹣6x﹣1=0 13．用配方法解下列方程： （1）x2+10x+16=0；

（2）x2﹣x﹣=0； （3）3x2+6x﹣5=0； （4）4x2﹣x﹣9=0．

14．请说明无论x、y取何值时，代数式5x2+4y2﹣4x+4xy+6的值总是正数． 15．当x取何值时x2+2x﹣2有最小值，并求出最小值． 16．用配方法证明：代数式﹣x2+6x﹣10恒小于零． 17．已知a2+4a+b2+6b+13=0，求a2+2b的值． 18．试说明a、b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+2b+5的值是正数． 19．已知x，y，z满足x2﹣4x+y2+6y++13=0，求关于m的方程m2﹣x+y﹣z=0的根． 20．试证明关于x的方程（a2﹣4a+12）x2+2ax+1=0不论a为何值，该方程都是一元二次方程． 21．（2009•资阳）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0． （1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程．

22．（2014•扬州）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值． 23．（2007•青浦区二模）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣m﹣1=0没有实数根，求m的取值范围． 24．（2005•江苏模拟）已知关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0，问当k取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根．

25．用公式法解下列方程： （1）； （2）2x（x﹣3）=﹣6x+5； （3）3y2+5（2y+3）=0． 菁优网 www.jyeoo.com

©2010-2014 菁优网 26．选择恰当的方式解方程： （1）x2+6x﹣16=0； （2）x2+1=2x．

27．用公式法解下列方程． （1）x2+x﹣12=0

（2）x2﹣x﹣=0 （3）x2+4x+8=2x+11 （4）x（x﹣4）=2﹣8x （5）x2+2x=0 （6）x2+2x+10=0．

28．已知关于x的一元二次方程x2+x+k（k﹣2x）=0． （1）把方程化成一般形式． （2）若方程有两个实数根，求k的取值范围．

29．已知一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣6x+k=0与x2﹣mx﹣12=0有一个相同的根，求此时m的值．

30．（2009•新疆）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0． 菁优网 www.jyeoo.com

©2010-2014 菁优网 2014年09月23日茶的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．（2013•牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（ ） A． 2018 B． 2008 C． 2014 D． 2012

考点： 一元二次方程的解． 分析： 将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．

解答： 解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，

∴a•12+b•1+5=0， ∴a+b=﹣5， ∴2013﹣a﹣b=2013﹣（a+b）=2013﹣（﹣5）=2018． 故选A． 点评： 此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．

2．（2012•峨眉山市二模）关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A． m=2 B． m=3 C． m=5 D． m=3或m=2

考点： 一元二次方程的定义． 分析： 根据一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0． 可得到相应的关系式m﹣3≠0，m2﹣8m+17=2，再求解即可． 解答： 解：由题意得：m﹣3≠0，m2﹣8m+17=2，

解得：m=5， 故选：C． 点评： 此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

3．（2012•汉川市模拟）对于任意实数x，y，多项式4x2+y2﹣4x﹣6y+11的值，下列判断正确的是（ ） A． 可能是0 B． 有最小值 C． 有最大值 D． 无法确定

考点： 配方法的应用；非负数的性质：偶次方． 专题： 计算题． 分析： 将多项式第一、三项结合，二、四项结合，配方为完全平方式，根据完全平方式为非负数，可得出完全平方式为0时，多项式有最小值． 解答： 解：4x2+y2﹣4x﹣6y+11=4x2﹣4x+1+y2﹣6y+9+1=（2x﹣1）2+（y﹣3）2+1，

当2x﹣1=0且y﹣3=0，即x=，y=3时，多项式有最小值，最小值为1． 故选B 点评： 此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，灵活应用完全平方公式是解本题的关键． 菁优网 www.jyeoo.com

©2010-2014 菁优网 二．填空题（共5小题） 4．（2014•常州）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m= 2 ，另一个根为 2 ．

考点： 一元二次方程的解；根与系数的关系． 专题： 待定系数法． 分析： 根据方程有一根为1，将x=1代入方程求出m的值，确定出方程，即可求出另一根． 解答： 解：将x=1代入方程得：1﹣3+m=0， 解得：m=2， 方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0， 解得：x=1或x=2， 则另一根为2． 故答案为：2，2． 点评： 此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

5．（2013•新疆）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是 k≤4 ． 考点： 根的判别式． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围． 解答： 解：根据题意得：△=16﹣4k≥0， 解得：k≤4． 故答案为：k≤4． 点评： 此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．

6．（2011•松江区二模）方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 1 ． 考点： 根的判别式． 分析： 若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．

解答： 解：∵方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，

∴△=b2﹣4ac=4﹣4m=0， 解之得：m=1． 点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．

7．（2014•靖江市一模）若（x2+y2+2）（x2+y2﹣3）=6，则x2+y2= 4 ． 考点： 解一元二次方程-因式分解法． 专题： 计算题． 分析： 将x2+y2看做整体，整理后利用因式分解法求出即可．

解答： 解：已知等式变形得：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，即（x2+y2﹣4）（x2+y2+3）=0，

解得：x2+y2=4或x2+y2=﹣3（舍去）， 则x2+y2=4． 故答案为：4 点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．

合集下载

2014年全国初中数学联合竞赛福建赛区试题参考答案2014年全国初中数学联合竞赛福建赛区试题参考答案

2014年全国初中数学联合竞赛福建赛区试题参考答案2014年全国初中数学联合竞赛福建赛区试题参考答案

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ）A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ）A．2BCD【答】 B .因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2BC BD =，所以BD =DP =.又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅==. 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+=（ ）A ．12 B．3 C．1(32D ．1【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.由13x x +=解得1(32x =，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A．4- B．2 C．11)2D1 【答】 A.过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB . 设EF x =，则2BE x =，22AE x =-，)DE x =-，1DF AC ==，故2221)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<，故可得2x =.A故24BE x ==-二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0. 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ．【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠， 而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒，11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．【答】36.设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有2111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ==，则1b mn =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n <.D又111a b c ++=，故111()111d a b c ++=，即22()111d m n mn ++=. 注意到222212127m n mn ++≥++⨯=，所以1d =或3d =.若1d =，则22111m n mn ++=，验算可知只有1,10m n ==满足等式，此时1a =，不符合题意，故舍去.若3d =，则2237m n mn ++=，验算可知只有3,4m n ==满足等式，此时27,36,48a b c ===，符合题意.因此，所求的36b =.第二试一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b+的值．解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =.若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； 若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====.二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠.又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD ∽△DAF ，所以ED CD ABDF AF AF==. 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故 DFE AFB ∠=∠.三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P . 取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P . 为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ①不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+；如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P . 因此，1，5和2014都具有性质P .若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P .。

2014年全国初中数学联赛初一试卷 浙江卷(3月23日)

2014年全国初中数学联赛初一试卷 浙江卷(3月23日)

2014年全国初中数学联合竞赛（初一年级）试题
（2014年3月23日）
第一试
一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）
二、填空题（本题满分28 分，每小题7 分）
2. 按右边算式，则最后一排的数字为
3．在0,1,2，…,49,50这51个数中，能同时被2，3整除的数共有个．
4．一组同学被分派去给1775棵小树苗浇水，每位同学每小时浇完30棵小树苗．1小时后，一些同学被分派去做其它工作；2小时后，相同数量的同学被分派去做其它工作；3小时后，又有相同数量的同学被分派去做其它工作；浇完这些小树苗共用3小时10分钟．则在开始的1.5小时内浇完的小树苗数为_____．
第二试一、（本题满分20分）计算或化简。

花都区2014学年第二学期九年级综合练习(一)(答案)

花都区2014学年第二学期九年级综合练习(一)(答案)

PBEBDCA2014年九年级数学综合测试(一)答案及评分标准二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分。

)11.x ≠2 ; 12. y((x+1)（x-1) ; 13. 0720 ; 14. -2 ; 15. 080 ; 16. 4028三、解答题(本大题共9小题，共102 分)17. (本小题满分9分)解：不等式①的解：x ＞1 …………(3分）不等式②的解：x ≤2…………(6分） ∴不等式组的解：1＜x ≤2 …………(9分） 18. (本小题满分9分)解：(1)射线CP 为所求…………(3分）（2）证明：∵CP 是∠ACB 的平分线 ∴∠DCE =∠BCE …………(5分） ∵BC=CD CE=CE∴△DC E ≌△BCE …………(8分） ∴BE =DE …………(9分） 19. (本小题满分lO 分)解：原式=26939a a a -+--…………(4分） =29a a -…………(6分） ∵240a +=∴2a =-…………(7分）∴原式=2(2)9(2)--⨯-…………(8分）=22…………(10分） 20. (本小题满分10分)解： 在Rt △ABC 中 ∠ABC =0906030-= …………(1分）∵tanA=BCAC …………(3分） ∴AC=tan BCA=………(5分）∵∠ACB=090 点D 是斜边AB 的中点 ∴CD=BD …………(7分) ∵CD=BE∴BD=BE ……(8分）三等奖二等奖一等奖·(4,5,6)(5,6)（3,4,5,6)(4,5,6)(5,6)(3)(3,4)(2)(2,3)(2,3,4)(1,2)(1)∴∠E=∠BDE ……(9分） ∵∠CBD =∠E+∠BDE ∴∠E=01152ABC ∠= …………(10分）21. (本小题满分12分)解：设小明在跑前200米的速度为x 米/秒 …………(1分)20020080(110%)x x +=-…………(6分) 解得：x=5518…………(9分) 检验：把x=5518代入（1-10%）x ≠0∴x=5518是原方程的根 …………(10分)∴x ≈5.3 …………(11分)答：小明在跑前200米的速度是5.3米/秒 …………(12分)22. (本小题满分12分) 解：（1）极差=95-88=7众数=88 平均数=959491908888916+++++=…………(3分)(2)…………(8分)从树形图可知，有机会均等的5种情况，其中九（3）班获二等奖（记为A ）有4种…………(10分) ∴ P(A)=45…………(12分) 23. (本小题满分12分) 解：（1）作BF ⊥y 轴，垂足为点F ，则四边形OABF 为矩形 ∴OF=AB=8, BF=OA=4…………(1分） ∴CF=OC-OF=11-8=3…………(2分） 在Rt △FBC 中5B C ==…………(5xCF（2）当x=0时，y=b∴D(0,b) OD= b …………(6分） 当x=4时，y=4+b∴E(4,4+b) AE =4+b …………(7分） OD+OA+AE=b+4+4+b=8+2b …………(8分）梯形OABC 的周长=OC+OA+AB+BC=11+4+8+5=28 …………(10分） ∵直线l 把梯形OABC 的周长分为3:4两部分∴OD+OA+AE=37×（梯形OABC 的周长） 或 OD+OA+AE=47×（梯形OABC 的周长） ∴8+2b=37×28 或 8+2b=47×28 …………(11分）∴b=2或4 …………(12分）24(本小题满分14分)解：(1)证明：∵E 是AD 的中点∴AE=DE∵ABE △沿BE 折叠后得到GBE △ ∴AE=EG …………1分 ∴AE=DE= EG …………2分∴三点A 、G 、D 在以点E 为圆心，EA 的长为半径的圆上…………3分 （2）连接EF ，则90EGF D ∠=∠=°，EG AE ED EF EF ===，．Rt Rt EGF EDF ∴△≌△ …………4分 GF DF ∴= …………5分设AB a =，DF b =，则有BC =，CF DC DF a b =-=-，由对称性有BG AB a ==,BF BG GF a b ∴=+=+．…………6分在Rt BCF △中，222BC CF BF +=，即222)()()a b a b +-=+，…………7分34a b ∴=，…………8分∴43a b =∴43DC a DF b == …………9分（3）由（2）知，GF DF =．设DF x BC y ==，，则有.GF x AD y ==， ∵DCk DF= DC k DF =∙，DC AB BG kx ∴===．…………10分 (1)1CF k x BF BG GF k x ∴=-=+=+，（）．…………11分在Rt BCF △中，222BC CF BF +=，即222[1][(1)]y k x k x +-=+（）．…………12分2y ∴=…………13分AD y AB kx k∴==…………14分25. (本小题满分14分)解：（1）∵y 2(1)4m x m =--是顶点式 ∴点D 的坐标为(14)m -，………(1分） 当x=0时，y= -3m 点C 的坐标为(03)C m -，………(2分）（2） 连接CD 、 BC ，过点D 作DE y ⊥轴于E∵BD 是⊙G 的直径 ∴∠DCB=090∴∠ECD+∠BCO=090 ∵∠ECD+∠EDC=090∴∠BCO=∠EDC∵∠DEC=∠BOC=090∴ DEC COB △∽△ ………(4分）DE ECCO OB=∴ ………(5分） 133mm -=-∴21m =∴ 1m =± ………(6分） ∵0m < ∴1m =-∴抛物线的解析式为223y x x =-++………(7分）（3）能在抛物线上找到一点Q ，使△BDQ 为直角三角形 很明显，点C 即在抛物线上，又在⊙G 上，90BCD ∠=°，这时Q 与C 点重合 点Q 坐标为(03)Q ， ………(8分）如图②，若DBQ ∠为90°，作QF y ⊥轴于F ，DH x ⊥轴于H同理可证：Rt Rt DHB BFQ △∽△∴DH HBBF FQ= ∴DH FQ BF HB ∙=∙∵点Q 坐标2(23)k k k -++， ∴24(23)2(3)k k k --=- 化简得：22390k k --=解得：3k =（不合题意，舍去），32k =-由32k =-得Q 坐标： 3924Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，………(10分） 若BDQ ∠为90°如图③，延长DQ 交y 轴于M ， 作DE y ⊥轴于E ，DH x ⊥轴于H同理可证：DEM DHB △∽△ ∴DE EM DH HB= 则142EM = 得12EM =，点M 的坐标为702⎛⎫⎪⎝⎭， 设DM 所在的直线解析式为y=kx+b,把M 702⎛⎫⎪⎝⎭，和D （1,4）代入得：724b k b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 解得：17,22k b == ∴直线DM 的解析式为1722y x =+ ………(11分）把1722y x =+代入223y x x =-++得：22310x x -+= 解为：1x =（不合题意，舍去），12x =， 把12x =代入1722y x =+ 得154y =点Q 的坐标为11524⎛⎫⎪⎝⎭， ………(12分）综合上述，满足题意的Q 点有三个：(03)，、3924⎛⎫- ⎪⎝⎭，和11524⎛⎫⎪⎝⎭， ………(14分）。

2014(模拟赛)全国初中数学竞赛初赛试题二(含详解)

2014(模拟赛)全国初中数学竞赛初赛试题二(含详解)

全国初中数学竞赛试卷答案一、选择题（每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式22()a a b c a b c -++-++可以化简为（ C ）A ．2c a -B ．22a b -C ．a -D ．a解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >， 所以22()()()()a a b c a b c a a b c a b c a -++-++=-+++--+=-2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ B ）A ．10B ．9C ．7D ．5解：由题设2222x y x y +≤+，得220(1)(1)2x y ≤-+-≤．因为x ，y 均为整数，所以有22(1)0(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 解得11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，10x y =⎧⎨=⎩，01x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩,以上共计9对()x y ，3．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD= 3，BD = 5，则CD 的长为（ B ）A ．23B ．4C ．52D ．4.5解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ．由于AC = BC ，CD = CE ，BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ．又因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒．在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是DE =224AE AD -=，所以CD = DE = 4．4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数．由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩．消去x 得，(27)4y n y -=+，(27)1515212727y n y y -+==+--． 因为1527y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15．y 的值只能为4，5，6，11． 从而n 的值分别为8，3，2，1．所以 x 的值分别为14，7，6，7．5．黑板上写有111123100，　，　，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ C ）A ．2012B ．101C ．100D ．99解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则1111(11)(1)(1)...(1)23100x +=+++⋅⋅+， 解得，1101x +=，100x =．二、填空题（每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 719x <≤ ．解：前四次操作的结果分别为32x -，3(32)298x x --=-，3(98)22726x x --=-，3(2726)28180x x --=-．由已知得，27264878180487x x -≤⎧⎨->⎩．解得719x <≤． 容易验证，当719x <≤，32487x -≤，98487x -≤，故x 的取值范围是719x <≤．7．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 285 ．解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为22201216OB =-=，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===， 22366455CM OC OM BM =-==，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为 32-．解：根据题意，关于x 的方程有22394(3)042k k k ∆=--+≥，由此得2(3)0k -≤．又2(3)0k -≥，所以2(3)0k -= ，3k =． 此时方程为29304x x ++=，解得1232x x ==-．故20111201222123x x x ==- 9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为8 ．解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知 23130a b +=．由此得043b ≤≤． 又(1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++． 于是0130(1)(2)43b m m ≤=-++≤，87(1)(2)130m m ≤++≤．由此得8m =或9m =．当8m =时，40b =，5a =；当9m =时，20b =，35a =，5522a b a +>=．不合题设．故8m =．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD DC =．分别延长BA ，CD ，交点为E ．作BF EC ⊥，并与EC 的延长线交于点F ．若AE AO =，6BC =，则CF 的长为 223 ．解：如图，连接AC ，BD ，OD ． 由AB 是⊙O 的直径知90BCA BDA ∠=∠=︒．依题设90BFC ∠=︒，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以BCF BAD ∠=∠．所以Rt BCF Rt BAD △∽△，因此BC BA CF AD =． 因为OD 是⊙O 的半径，AD CD =，所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥，于是 2DE OE DC OB==． 因此223DE CD AD CE AD ===，．由AED CEB △∽△，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，，所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，22BA AD =． 故32222AD BC CF BC BA =⋅==． 三、解答题（每题20分，共80分）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以AB = 10． 由勾股定理，得262BO AB AO =-=．易知ABO ACO △≌△，因此 CO = BO = 6． 于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，． 设点D 的坐标为()m n ，．由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△．所以 1122BC n AO BO ⋅=⋅，1112()8622n ⨯-=⨯⨯．解得 4n =-． 因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△A BC 的重心，所以点E 的坐标为8(0)3-，．设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E的坐标代入，解得a =272． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273y x =-． 12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心．求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=．解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ．同理，CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ，所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线．（2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．由BC CD =，知OC ⊥BD ．因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==．故2AB AD BD +=．13．已知整数a ， b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数．当2012a ≥时，求a 的最小值．解：设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是正整数）．因为 22()4()a b ab a b +-=-，所以 222(2)4a m n m --=，2(22)(22)a m n a m n m -+--=．因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--（m 为素数)，所以 222a m n m -+=，221a m n --=．解得2(1)4m a +=， 214m n -=． 于是214m b a m -=-=（）．又2012a ≥，即2(1)20124m +≥． 又因为m 是素数，解得89m ≥． 此时，2(891)4a +≥=2025． 当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =．因此，a 的最小值为2025．【解答】设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是非负整数）。