中科院自动化所考博数学试题06

中国科学院长春应用化学研究所 二ОО五年攻读博士学位研究生入学考试高等数学（三）1．（10分）求极限（1）n n x x x 2cos 2cos 2cos 2lim ∞→ (0≠x ) （2）30)1(2)1(lim x e e x x x x --+→2．（10分）计算积分（1）⎰+dx x x )1ln( （2）⎰---2221x x dx3．（10分）给定双曲线x y 1=, 求过点(-3,1)的切线方程。

4．（10分）计算⎰⎰=D yxdxdy ye I 22 其中D 是由直线1=x , 2=x ,0=y 和曲线1=xy 围成。

5．（10分）在区间(-1, 1)内求幂级数∑∞=+01n nn x 的和函数。

6．（10分）求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==+1)1()(ln 2y y x a x y dx dy 的解)(x y y =。

7．（8分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A , I 为单位矩阵，X 满足A X A I AX 232++=+, 求X 。

8．（12 分）讨论λ取何值时， 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321x x x x x x x x x λλλ有唯一解，有无穷多解，无解？并在有解时，求其解。

9．（10 分）箱中有形状相同的6个黑球和4个白球，掷一颗均匀的骰子，掷出几点就从箱中取出几个球。

问：（1） 取出的全是白球的概率是多少？（2） 若已知取出的全是白球，问掷骰子出的是3点的概率是多少？。

10．（10分）已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤++=，其它，，010,)(2x c bx ax x f 又已知数学期望5.0)(=X E , 方差15.0)(=X D , 试求a, b, c 。

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6. 约定多边形的顶点按逆时针序列表示，即 P={v0, v1, …, vn-1} 表示一个多边形 有 n 条边：v0v1, v1v2, …, vn-1vn。其中，v0=vn。如果 vi 和 vj 是多边形上不相邻的 两个顶点，则线段 vivj 称为该多边形的一条弦。下面图 5 中的(a)和(b)是一个凸 7 边形的两种不同的三角剖分（各弦互不相交） 。在一个有 n 个顶点的凸多边 形的三角剖分中，恰好有 n-3 条弦和 n-2 个三角形。 给定一凸边形 P={v0, v1, …, vn-1}以及定义在由凸边形的边和弦组成的三角 形上的权值函数 w。请设计算法：确定该凸边形的一个三角剖分，使得该三角 剖分中所有三角形上权值之和为最小，并给出三条边权值之和最小的三角形。 （本题满分 1二叉树，请给出按后序周游该树的结点序列，并画出该二叉树 的中序穿线二叉树存储表示。 （本小题满分 7 分）
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(5) 以下算法实现从二叉排序树中删除结点，并重新连接它的左右子树。请在 4 个空缺处填上适当的内容，使该算法完整。请把答案写在答卷纸上，注 明空缺处的编号和其对应的内容。另外，下面的图 3 为一二叉排序树，请 画出删除结点 P 之后的情况。 Status Delete(BiTree &p) { if (!p -> rchild) { q = p; p = p-> lchild; } else if(!p -> lchild) { q = p; p = p-> rchild; } else{ q = p; s = p -> lchild; while (s -> rchild) { p -> data = s-> data; if (q != p) ③ else ④ delete s; } return TRUE; // Delete

1
4. (20 分) 设 f (x, y, z) = e−π(x2+y2+z2), 求 f 的 Fourier 变换，其定义为：
∫ f (ξ1, ξ2, ξ3) = f (x, y, z)e−2πi(xξ1+yξ2+zξ3)dxdydz
R3
5. (20 分) 对任何方阵 A 可定义 sin A 如下：
中国科学院数学与系统科学研究院 分析与代数测试试题∗
编辑: 胡不归 2019 年 4 月 17 日
1. (20 分) 证明或反证：若存在一个 n 阶实矩阵 A 满足 A2 + 2A + 5I = 0 的充要条件是 n 为偶 数。
2. (20 分) f 为定义在 [0, 1] 上的实值连续函数，求证：
∫ 1∫ 1
∫1
|f (x) + f (y)|dxdy ⩾ |f (x)|dx.
00
0
3. (10 分) 设 A 和 B 为 2 × 2 矩阵，其元为整数、且 A, A + B, A + 2B, A + 3B, A + 4B 为可逆 矩阵, 其逆矩阵的元也均为整数。证明 A + 5B 为可逆矩阵, 其逆矩阵的元也均为整数。
∑ ∞ sin A =
(−1)n
A2n+1
(2n + 1)!
n=0
(
)
证明或反证：存在一个 2 阶方阵 A 使得 sin A = 1 2019 01
6.
(10
分)
设
x0
= 1,
当
n
≥ 0, xn+1
=
3xn+[ Nhomakorabea 5xn

竭诚为您提供优质文档/双击可除中科院数学所复试笔试题目篇一：中科院历年高数甲_高数a真题中国科学院———中国科技大学20xx年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷试卷名称：高等数学（a）考生须知：1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

___________________________________________________ __________________一、选择题（每题只有一个答案是正确的，每小题5分，共25分）11（1）当x0时，sin是（）a.无穷小量b.无穷大量c.有界且非无穷小量d.无穷且非无穷大量f(x)f(0)lim1，则曲线yf(x)在(0,f(0))（2）设f(x)可微且满足x02x处的切线斜率为（）11a.2b.2c.d.22（3）二元函数f(x,y)在(x0,y0)处的两个偏导数存在是f(x,y)在(x0,y0)处可微的（）a.充分条件b.必要条件c.充分必要条件d.既非充分也非必要条件（4）正项级数an收敛的充分条件是（）n1a.an11(nn)b.anan1(nn)c.(anan1)收敛d.an12n收敛（5）下列广义积分中发散的是（）a.xlnxb.22(1x)11x2c.1dxd.2x(x1)ln(x21)dxx二、填空题（每小题5分，共25分）ex1x2________。

（1）limx0x2sin2x2（2）曲线ysinx(0x)和x轴围成的图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积是____________。

（3）二重积分2sinx3siny________。

sinxsinyx2y21x2y21相交所成的椭圆的面积为（4）平面x2yz1与椭圆柱面23_________。

（5）向量场vijkxyz22的旋度为___________。

yf(x,z)三、（8分）设二元函数f具有一阶连续偏导数，关系式ezyz数yy(x)及zz(x)求可确定函dydz及。