2021届江西省丰城中学、高安二中等六校高三1月联考数学(理)试题
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丰城中学、高安二中、上高二中、樟树中学、新余一中、宜春中学2021届六校联考理科数学试卷命题人：上高二中 审题人：上高二中 2021年元2日 本试卷总分值为150分 考试时长120分钟 考试范围：高考范围一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1B ．1C ．－iD ．i2．已知集合{|270}A x N x =∈-<，2{|340}B x x x =--≤，则A B =（ ）A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2,3C ．7|2x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭D ．7|02x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭3．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）A ．12cos αB ．12sin αC ．sin 3πsin8αD ．cos 3πcos8α4．已知点P 是抛物线28y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)A 的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是（ ） A ．5B ．3C ．2D ．55．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（ ）A ．24310r r r r <<<<B ．42130r r r r <<<<C ．42310r r r r <<<<D ．24130r r r r <<<<6．已知函数()()21xf x x x e =++，则()f x 在(0())0f ，处的切线方程为（ ）A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y ++=D ．210x y -+=7．函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位8．在()62x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，34x y 的系数是（ ） A ．20B ．152C ．5-D ．252-9．若23sin 22sin 0αα-=，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．72B ．2或72C ．22D 210．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．18πB ．36πC ．72πD ．40π11．已知点M 为直线30x y +-=上的动点，过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1P -到直线AB 的距离的最大值为（ ）A ．32B ．53C．2D12．已知函数1()x f x xe -=，若对于任意的(200,x e ⎤∈⎦，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(20,e ⎤⎦内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．2231,e e ⎛⎤-⎥⎝⎦B ．223,e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C ．22,e e ee ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦D ．21,e e ⎛⎤-⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知x ，y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则32z x y =+的最小值为______．14．设向量a ，b 满足3a =，1b =，且1cos ,6a b =，则2a b -=__________. 15．设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且123PFPF =，则该双曲线的离心率为__________.16．在三棱锥A BCD -中，已知AD BC ⊥，8AD =，2BC =，10AB BD AC CD +=+=，则三棱锥ABCD 体积的最大值是______．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．已知数列{}n a 中，11a =，1(1)()2nn nn a a n N n a *++=∈+（1）求证：n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若1n n n c a a +=，且数列43n n b n=⋅，数列{}n n b c 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.18．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝1，CD ＝2，E 为CD 中点，以AE 为折痕把△ADE折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．（1）证明：AE ⊥PB ；（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4，求二面角A ﹣PE ﹣C 的余弦值．19．为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次．．，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X ，求X 的分布列及期望.20．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点2N ⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆M 的方程；（2）若直线()0y kx m k =+≠与圆223:4E x y +=相切于点P ，且交椭圆M 于,A B 两点，射线OP 于椭圆M 交于点Q ，设OAB ∆的面积与QAB ∆的面积分别为12,S S . ①求1S 的最大值； ②当1S 取得最大值时，求12S S 的值.21. 定义在0,的函数1()(1)ln ex f x a x x x -=--+（其中a ∈R ）.（1）若0a =，求()f x 的最大值；（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x m y m⎧=⎨=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求11PM PN+的值. 23．已知函数1()||()3f x x a a =-∈R . （1）当2a =时，解不等式1()13x f x -+≥；（2）设不等式1()3x f x x-+≤的解集为M，若11,32M⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a的取值范围.丰城中学、高安二中、上高二中、樟树中学、新余一中、宜春中学2021届六校联考理科数学试卷答案BBAC,BDAD,BCDA 13． 2 14．15．1 16．17.解：（1）1(1)()2nn nn a a n N n a *++=∈+，1212n n n nn a n na a a +++∴==+， 112n n n na a ++∴-=，111an n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列. 21nnn a ∴=- （2）由（1）可得21n na n =-， 所以(1)(21)(21)n n n c n n +=-+，14(1)113(21)(21)3(21)3(21)n n n n n n b c n n n n -+==--+-+21111111113333353(21)3(21)3(21)n n n n T n n n -=-+-++-=-⋅⋅⋅-++因为111114803(21)3(23)3(21)(23)n n n n n n T T n n n n ++++-=-=>++++，所以{}n T 是递增数列，n T 的最小值为189T =，又因为1n T < 819n T ∴≤< 18．（1）连接BD ，设AE 的中点为O ，∵AB ∥CE ，AB ＝CE 12=CD ， ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE ＝BC ＝AD ＝DE ， ∴△ADE ，△ABE 为等边三角形，∴OD ⊥AE ，OB ⊥AE ，折叠后,OP AE OB AE ⊥⊥， 又OP ∩OB ＝O ，∴AE ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， ∴AE ⊥PB ．（2）在平面POB 内作PQ ⊥平面ABCE ，垂足为Q ，则Q 在直线OB 上， ∴直线PB 与平面ABCE 夹角为∠PBO 4π=，又OP ＝OB ，∴OP ⊥OB ，∴O 、Q 两点重合，即PO ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则P （0，03E （12，0，0），C （130），∴PE =（12，0，3），EC =（12，32，0）， 设平面PCE 的一个法向量为1n =（x ，y ，z ），则1100n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即13021302x z x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令x 3=1n =3，﹣1，1），又OB ⊥平面PAE ，∴2n =（0，1，0）为平面PAE 的一个法向量， 设二面角A ﹣EP ﹣C 为α，则|cosα|＝|cos 12,n n ＜＞|12121555n n n n ⋅===，由图可知二面角A ﹣EP ﹣C 为钝角，所以cosα55=-．19．（1）第一组数据平均数为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 第二组数据平均数为5442325.18 5.20 5.22 5.24 5.26 5.28 5.22202020202020⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（ （2）（i ）对于采用延长光照时间的方法：每亩平均产量为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤. ∴该农场一年的利润为()5.242160.22100426⨯⨯--⨯=千元. （ii ）对于采用降低夜间温度的方法： 每亩平均产量为5.185 5.204 5.224 5.242 5.263 5.2825.2220⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤，∴该农场一年的利润为()5.222160.2100424⨯⨯--⨯=千元.因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3，()315320910228C C P X ===；()2115532035176C C C P X ===；()121553205238C C C P X ===；()3532013114C P X C ===.所以X 的分布列为所以()3551312376381144E X=⨯+⨯+⨯=. 20．解：（1）由题意设椭圆的上下顶点为12(0,),(0,)B b B b -，左焦点为1(,0)F c -，则121B B F △是等边三角形，所以2b a =，则椭圆方程为222214x y b b +=，将2N⎭代入椭圆方程，可得2221142b b+=，解得1b =， 所以椭圆方程为2214x y +=（2）①由直线()0y kx m k =+≠与圆223:4E x y +==22433m k =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线()0y kx m k =+≠代入椭圆方程得，222(14)8440k x kmx m +++-=，222222644(14)(44)4(1644)k m k m km ∆=-+-=-+，因为22433m k =+，所以24(131)0k ∆=+>，且2121222844,1414km m x x x x k k-+=-=++，所以12AB x =-==设点O 到直线的距离为d =所以OAB 的面积为22112211(33)(131)1224(41)k k S AB d m x x k +++==-=≤=+， 当2233131k k +=+，得215k =时等号成立，所以1S 的最大值为1 ②设33(,)Q x y ，由直线()0y kx m k =+≠与圆223:4E x y +=相切于点P ，可得OQ AB ⊥，则22114y x k x y ⎧⎪⎪⎨=-+=⎪⎪⎩，可得222332244,44k x y k k ==++，所以7OQ ====，因为OP =，所以7PQ OQ OP =-=，所以1212121112OP AB OP S S PQ PQ AB === 21. （1）若0a =，则1()e x f x x -=-+，求导得1()e 1x f x -'=-+，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >，所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以1,()x f x =取得极大值也是最大值，0max ()(1)e 10f x f ==-+=.（2）11()ln 1e 1x f x a x x -⎛⎫'=+--+ ⎪⎝⎭，其中()01f '=， 令11()ln 1e 1x h x a x x -⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，则1211()e x h x a x x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭， 当0a ≤时，()0h x '<，则函数()f x '在()0,∞+上单调递减，又()01f '=，所以()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，即()f x 在1x =处有极大值，与题干矛盾，故0a ≤不符合题意；当0a >时，令1211()()e x t x h x a x x -⎛⎫'==+- ⎪⎝⎭， 则12312()e x t x a x x -⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭，显然()0t x '<， 则()h x '在()0,∞+上单调递减，而()0(1)11e 21h a a '-=+-=. ①若102a <≤，21(1)0h a '=-≤， 故当()1,x ∈+∞时，()(1)0h x h ''<≤，此时()f x '单调递减，所以()(1)0f x f ''<=，故()f x 在()1,+∞单调递减，显然()f x 在1x =处不可能有极小值，故102a <≤不满足题意； ②若12a >时，21(1)0h a '=->， 故当()0,1x ∈时，()(1)0h x h ''>>，此时()f x '单调递增，所以()0,1x ∈时，()(1)0f x f ''<=，即()f x 在()0,1单调递减，由（1）知，1e 0x x --+≤，即1e x x -≥，则e 1a a ≥+， 所以()211(1)e 11a h a a a a ⎡⎤'+=+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()()211111a a a a ⎡⎤+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦≤+()()3222101a a a a +=-++<+， 因为(1)0h '>，(1)0h a '+<，所以存在()01,1x a ∈+使得0()0h x '=，则()01,x x ∈时，()0h x '>，即()f x '单调递增， 所以()01,x x ∈时，()(1)0f x f ''>=，即()f x 在()01,x 单调递增，所以()f x 在()0,1单调递减，在()01,x 单调递增，故()f x 在1x =处取得极小值.综上所述，若()f x 在1x =处有极小值，则12a >. 22．()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ==可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --=由曲线C 的参数方程，消去参数,m可得曲线C 的普通方程为24y x =.()II 易知点()2,1P 在直线l 上，直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得2140t --=. 设12,t t是方程2140t --=的两根，则有121214t t t t +==-.21222121111111t t t PM PN t t t t t t t +∴+=+===-47==23．（1）当2a =时，原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥.①当13x ≤时， 则33012x x x -++-⇒≤≥，所以0x ≤； ②当123x <<时， 则32113x x x -+≥⇒≥-，所以12x ≤<； ⑧当2x ≥时，则332132x x x +≥⇒≥--，所以2x ≥. 综上所述：当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥. （2）由1||()3x f x x -+≤， 则|31|||3x x a x -+-≤，由题可知：|31|||3x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+， 所以1114312312a a a ⎧-≤⎪⎪⇒-≤≤⎨⎪+≥⎪⎩故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
