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d 用 D 表示对自变量 t 求导的运算 , dt 上述结果可以写为
xy Dy,
2 d y dy 2 2 x y 2 ( D D ) y D( D 1) y , dt dt
3 2 d y d y dy 3 x y 3 3 2 2 dt dt dt ( D 3 3 D 2 2 D ) y D( D 1)( D 2) y ,
2 x 即 y , 2 C2 1 2 3 所给欧拉方程的通解为 y C1 C 3 x x . x 2
1 代入原方程，得 b . 2
*第十一节 欧拉方程
形如
x n y ( n ) p1 x n1 y ( n1) pn1 xy pn y f ( x )
的方程(其中 p1 , p2 pn 为常数) 叫欧拉方程. 特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
作变量变换
x e t 或 t ln x,
百度文库
将自变量换为 t ,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
d 2 y 1 d 2 y dy 2 2 , 2 dx x dt dt d3y 1 d3y d2y dy 3 3 3 2 2 , 3 dx x dt dt dt
解 作变量变换 x e t 或 t ln x,
原方程化为
D( D 1)( D 2) y D( D 1) y 4 Dy 3e 2 t ,
即 或
D3 y 2 D2 y 3 Dy 3e 2 t ,
d y d y dy 2t 2 3 3 e . 3 2 dt dt dt d y d y dy 2 2 3 0, 3 dt dt dt
一般地， x k y ( k ) D( D 1)( D k 1) y.
将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量
的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后，
把 t 换为 ln x ， 即得到原方程的解. 例 求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 3 x 2 的通解．
3 2 3 2
(1)
方程(1)所对应的齐次方程为
其特征方程
r 3 2r 2 3r 0,
特征方程的根为 r1 0, r2 1, r3 3.
所以齐次方程的通解为
C2 3 Y C1 C2e C3e C1 C3 x . x
t 3t
设特解为 y be2 t bx2 ,
