24.3 正多边形和圆
教学过程
一、复习引入
请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫正多边形？
2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？
老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．
二、探索新知
如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线
为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆
上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，
OA为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上．
因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一
些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的
外接圆．
我们以圆内接正六边形为例证明．
如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．
∵AB=BC=CD=DE=EF
∴AB=BC=CD=DE=EF
又∴∠A=1
2
BCF=
1
2
（BC+CD+DE+EF）=2BC
∠B=1
2
CDA=
1
2
（CD+DE+EF+FA）=2CD
∴∠A=∠B
同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A
又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上
∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．
为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．
外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半
径是a，求正六边形的周长和面积．
分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由
D E
B
O
M
六块正三角形面积组成的．
解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于3606
︒
=60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt △OAM 中，OA=a ，AM=
12AB=1
2
a 利用勾股定理，可得边心距 OM=2
2
1
()2
a a -=
12
3a
∴所求正六边形的面积=6×1
2×AB×OM=6×12×a×
32a=32
3a 2
现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．
例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm 的正五边形．
分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径．
解：正五边形的中心角∠AOB=3605
︒
=72°， 如图，∠AOC=30°，OA=
1
2
AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm ） 画法（1）以O 为圆心，OA=2.55cm 为半径画圆；
（2）在⊙O 上顺次截取边长为3cm 的AB 、BC 、CD 、DE 、EA ． （3）分别连结AB 、BC 、CD 、DE 、EA ．
则正五边形ABCDE 就是所要画的正五边形，如图所示．
四、应用拓展
例3．在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中D 、E 在AB 上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6． （1）求△ABC 的边AB 上的高h ． （2）设DN=x ，且
h DN NF
h AB
-=，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1．85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否
位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条
件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．
h
F
D
E
C B
A
N
分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题．
解：（1）由AB·CG=AC·BC 得h=
86
10
AC BC AB ⨯=
g =4.8 （2）∵h=h DN NF h AB -=
且DN=x ∴NF=10(4.8)
4.8x - 则S 四边形DEFN =x·104.8(4.8-x)=-2512
x 2
+10x
=-2512(x 2-12025x)=-2512 [(x-6025)2-3600625]=-25x （x-2.4）2+12
∵-25x (x-2.4)2≤0 ∴-25
x
(x-2.4)2+12≤12 且当x=2.4时，取等号
∴当x=2.4时，S DEFN 最大．
（3）当S DEFN 最大时，x=2.4，此时，F 为BC 中点，在Rt △FEB 中，EF=2.4，BF=3． ∴
= ∵BM=1.85，∴BM>EB ，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=2.4时，DE=5
∴AD=3.2，
由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:
.c
F
D E
C B A
G
此时，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．
五、归纳小结（学生小结，老师点评） 本节课应掌握：
1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系． 3．画正多边形的方法．
4．运用以上的知识解决实际问题．
