2019届人教A版(理科数学) 立体几何 单元测试

2019届人教A版（理科数学）立体几何单元测试一、选择、填空题1.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数. 详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.2.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，则AD=AB=2，AC=．∴该四棱锥的最长棱的长度为．故选：．3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图可知该三棱锥的底面三角形的底边为1，高为1，三棱锥的高为1．【详解】由三视图可知：该三棱锥的底面三角形的底边为1，高为1，三棱锥的高为1．∴该三棱锥的体积V=．故答案为:A【点睛】(1)本题主要考查三视图找几何体原图,考查几何体体积的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 通过三视图找几何体原图的方法有三种：直接法、拼凑法和模型法.(3)模型法第一步：画出一个长方体或正方体或其他几何体；第二步：补点；第三步：结合三视图排除某些点；第四步：确定那些排除的点附近的点是否是几何体的顶点；第五步：结合实线虚线和确定的点找到几何体的顶点，从而找到符合三视图的原图.4.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】在长方体中抠点,1.由正视图可知:上没有点;2.由侧视图可知:上没有点;3.由俯视图可知:上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,,,故选.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响5.如图，已知正方体的边长为1，若过直线的平面与该正方体的面相交，交线围城一个菱形，则该菱形的面积为.【答案】【解析】【分析】取的中点为得四边形为菱形，再求BE和△的高，最后求该菱形的面积.【详解】取的中点为,则四边形为菱形，则因为,△的高为，所以菱形的面积为.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查平面和平面的位置关系，考查多边形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是找到菱形.6.如图，在矩形中，，，为边的中点．将△沿翻折，得到四棱锥．设线段的中点为，在翻折过程中，有下列三个命题：① 总有平面；② 三棱锥体积的最大值为；③ 存在某个位置，使与所成的角为．其中正确的命题是．（写出所有．．正确命题的序号）【答案】①②【解析】【分析】利用直线与平面平行的判定定理判断①的正误；求出棱锥的体积的最大值，判断②的正误；利用直线与平面垂直判断③的正误.【详解】取DC的中点为F，连结FM，FB，可得MF∥A1D，FB∥DE，可得平面MBF∥平面A1DE，所以BM∥平面A1DE，所以①正确；当平面A1DE与底面ABCD垂直时，三棱锥C﹣A1DE体积取得最大值，最大值为：，所以②正确．存在某个位置，使DE与A1C所成的角为90°．因为DE⊥EC，所以DE⊥平面A1EC，可得DE⊥A1E，即AE⊥DE，矛盾，所以③不正确；故答案为：①②【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线与平面平行，直线与平面垂直以及几何体的体积的最值的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7.某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为② 三棱锥的四个面全是直角三角形③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】D【解析】由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是腰长为的等腰直角三角形，高为的三棱锥，即平面，则三棱锥的体积为，故①是正确的；其中为边长为的等边三角形，所以②不正确；其中为面积最大的面，其面积为，所以③是正确的，故选D.8.若某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为上部是一个平放的五棱柱，其高为，侧视图为其底面，底面多边形可看作是边长为的正方形截去一个直角边为的等腰直角三角形而得到，其面积为，所以几何体的体积为，故选A．点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．9.正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正三棱柱的三视图，得出三棱柱的高已经底面三角形的高，求出底面三角形的面积与侧面积即可．【详解】根据几何体的三视图得该几何体是底面为正三角形，边长为2，高为1的正三棱柱，所以该三棱柱的表面积为S侧面积+S底面积=2××22+3×2×1=6+2．故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 通过三视图找几何体原图的方法有三种：直接法、拼凑法和模型法.10.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）A. 3立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈【答案】B【解析】几何体如图：体积为，选B.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先找到几何体的原图，再根据原图找到直观图.【详解】由题得几何体原图是如图所示的三棱锥A-BCD，所以这个几何体的直观图是C.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查三视图还原几何体原图，考查直观图的画法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 通过三视图找几何体原图的方法有三种：直接法、拼凑法和模型法.本题利用的是模型法.12.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的四棱锥，其体积为： .本题选择B选项.13.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图得几何体是如图所示四棱锥，其中，分别是，中点，平面，底面是矩形，，，是等腰三角形，，∴，，∴，，．∴四棱锥的四个侧面中面积最大的是．故选．点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.二、解答题14.如图，在三棱柱中，平面,,,,分别为,,,的中点，,.（1）求证：平面;（2）求二面角的余弦值；（3）证明：直线与平面相交.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】(1)先证明和,即证平面.(2) 以为原点，,,分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值.（3）设直线与平面的夹角为，利用向量法求得即证直线与平面相交.【详解】（1）证明：∵，且是的中点，∴,∵在三棱柱中，,分别是,的中点，∴∵平面，∴平面,∵平面，∴,∵,平面,∴平面.（2）由（3）知，，，,∴以为原点，,,分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则有，,,,，设平面的法向量，∴,即，∴，.易知平面法向量，∴，由图可知，二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值.（3）∵,,∴∵平面的法向量，设直线与平面的夹角为，∴，∴∴直线与平面相交.【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的求法和直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）15.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ,P A =PD =,AB=4.(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B-PD-A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正炫值。

【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】 【分析】(1)先证明(2) 建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角大小为.（3）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值为.【详解】（1）设交点为，连接.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.（2）取的中点，连接，.因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则，即.令，则，.于是.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.（3）由题意知，，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的求法和直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.(2)二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）16.如图,在四棱锥中, 平面平面,.（1）求证:平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】试题分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理知AB⊥平面，根据线面垂直的性质定理可知，再由线面垂直的判定定理可知平面；（Ⅱ）取的中点，连结，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xy ，利用向量法可求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据BM∥平面PCD，即（为平面PCD的法向量），求出的值，从而求出的值.试题解析：（Ⅰ）因为平面平面，，所以平面.所以.又因为，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结.因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系.由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.【考点】空间线面垂直的判定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.视频17.如图1，在矩形中，，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）先证明平面．再证明.(2) 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）,利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.(3) 假设在线段上存在点，使得平面.设，且，根据平面求得，所以当时，平面．【详解】（1）由已知，因为为中点，所以．因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又因为平面，所以．（2）设为线段上靠近点的四等分点，为中点．由已知易得．由（1）可知，平面，所以，.以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，，所以．设平面的一个法向量为，因为，所以即取，得．而.所以直线与平面所成角的正弦值（3）在线段上存在点，使得平面.设，且，则，．因为，所以，所以，所以，．若平面，则.即.由（2）可知，平面的一个法向量，即，解得，所以当时，平面．【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的求法和直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.(2)直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.18.如图，在四棱锥中，平面,,，,.（1）求证：平面；（2）若为中点，为线段上一点，平面，求的值；（3）求二面角的的大小;【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先证明平面，再平面.(2)先根据平面证明，再利用相似三角形求得.（3）建立空间直角坐标系利用向量法求得二面角的大小为.【详解】（1）证明：如图1，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）如图2，取中点，连接，因为平面，平面，平面平面，所以.所以.因为，，所以.所以.所以.所以=.因为为的中点，所以.（3）连接，由（1）知平面，平面，平面所以，因为，点为中点，所以.作，所以.如图3建立空间坐标坐标系.因为所以，因为，，，所以平面.平面的法向量.设平面的法向量，则有即令，则，，即..由题知二面角为锐角，所以二面角的大小为.【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的求法和直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.(2)二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）19.如图所示，在三棱柱中，是中点，平面，平面与棱交于点，，．（1）求证：；（2）求证：；（3）若与平面所成角的正弦值为，求的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）先证明平面，再证明．（2）建立空间直角坐标系，设，，利用向量证明，即证.(3)先利用向量法求得，再解方程即得的值.【详解】（1）证明：在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面．因为平面，且平面平面，所以．（2）证明：在△中，因为，是的中点，所以．因为平面，如图建立空间直角坐标系．设，，在△中，，所以，所以，，，．所以，．所以，所以．（3）解：因为，所以，即．因为，所以．设平面的法向量为，因为，即，令，则，，所以．因为所以，即，所以或，即或．【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.(2)直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.20.如图1，梯形中，，，，，为中点.将沿翻折到的位置，使如图2.（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）设、分别为和的中点，试比较三棱锥和三棱锥（图中未画出）的体积大小，并说明理由.图1 图2【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】(1)先证明平面，再证明平面平面.(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得与平面所成角的正弦值为.(3)先证明点、到平面的距离相等，即三棱锥和同底等高，所以体积相等.【详解】（1）证明：由图1，梯形中，，，，，为中点，故图2，，因为，，平面，所以平面因为平面，所以平面平面（2）取中点，连接，.因为在中，，为中点，所以因为平面平面，平面平面平面，所以平面因为在正方形中，、分别为、的中点，所以建系如图. 则，，，，.，，，设平面的法向量为，则，即，令得，，所以是平面的一个方向量.所以与平面所成角的正弦值为.（3）三棱锥和三棱锥的体积相等.理由如下:由，，知，则因为平面，所以平面.故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等.【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.(2)直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.（3）求几何体的体积常用的方法有：公式法、割补法和体积变换法.21.如图，四边形是正方形，平面，//，，，为的中点．（1）求证：；（2）求证：//平面；（3）求二面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，通过计算，证明；（2）取的中点，连接，证明，然后证明平面；（3）求出平面的一个法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值.试题解析：（1）证明：依题意，平面，如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得，，，，，，，因为，，所以．所以.（2）证明：取的中点，连接．因为，，，所以，所以．又因为平面，平面，所以平面．（3）解：因为，，，所以平面，故为平面的一个法向量．设平面的法向量为，因为，，所以即令，得，，故．所以，所以二面角的大小为．点睛：本题主要考查了线线垂直的证明，空间向量解决面面角问题，属于基础题，线线垂直即等价于直线的方向向量垂直即向量的数量积为0，面面角与两平面的法向量所成的角之间相等或互补，主要通过图形确定.22.如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．（1）求证：；（2）求直线和平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：第一问根据等腰三角形的特征，可以得出，再结合面面垂直的性质定理，可以得出平面，再根据线面垂直的性质，可以得出以，之后根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出结果；第二问根据题中的条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得结果；第三问关于是否存在类问题，都是假设其存在，结合向量所成角的余弦值求得结果.（Ⅰ）因为在△中，，分别为，的中点，所以，．所以，又为的中点，所以．因为平面平面，且平面，所以平面，所以．（Ⅱ）取的中点，连接，所以．由（Ⅰ）得，．如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，，．所以，，．设平面的法向量为，则即令，则，，所以．设直线和平面所成的角为，则．所以直线和平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）线段上存在点适合题意．设，其中．[10分]设，则有，所以，从而，所以，又，所以．令，整理得．解得，舍去．所以线段上存在点适合题意，且．方法点睛：该题属于典型的立体几何问题，第一问证明线线垂直，需要将空间关系都理清，把握住线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系，即可得出结果；第二问求的是线面角的正弦值，正好是直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值；第三问属于是否存在类问题，在解题的过程中，需要我们先假设其存在，按照题的条件进行求解，如果推出矛盾，就是不存在.23.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为中点．（）求证：平面．（）求二面角的余弦值．（）在棱上是否存在点，使得？若求的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：(1)利用题意证得，然后由线面平行的判断定理可得平面.(2)建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量可得二面角的余弦值为.(3)探索性问题，利用空间向量的结论可得在棱上存在点，使得，此时．试题解析：（Ⅰ）证明：设与的交点为，连接.因为为矩形，所以为的中点，在中，由已知为中点，所以，又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）解：取中点，连接.因为是等腰三角形，为的中点，所以，又因为平面平面，因为平面，，所以平面．取中点，连接，由题设知四边形为矩形，所以，所以．如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，.，.设平面的法向量为，则即令，则，，所以.平面的法向量为，设，的夹角为，所以.由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得．因此点，，．由，即．因为，所以在棱上存在点，使得，此时．24.如图1，四边形为正方形，延长至，使得，将四边形沿折起到的位置，使平面平面，如图2.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的大小；（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】(1)先证明，再证明平面.（2）平面，即得，所以异面直线与所成的角是. （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【详解】(1)证明：因为平面平面，且平面平面，。