二项式定理典型例题举例
例1 在二项式n
x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+4
21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．
分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．
解：二项式的展开式的通项公式为：
4
324
121C 21)(C r
n r r n r
r n r n r x x x T --+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8
141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8
1
12312-+=+=n n n t t t ，
∴8=n 通项公式为
143168
1,82,1,02
1C +-
+==r r
r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，
∴.8,4,0=r
依次得到有理项为22
888944
8
541256
121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理
项．类似地，100
3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得
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例2 求10
3
21⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-x x 的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项． 分析：本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行研究．由于系数的绝对值都是正数，我们可以用作商来研究系数绝对值的变化情况，另外各项系数正负交替，又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值．
解：展开式的通项公式为：6
53010
12
)1(C r r
r r r x T --+⋅⋅-=
系数的绝对值为r
r
-⋅2C 10，记为1+r t ． 用前后两项系数的绝对值作商得：
.)
1(210!102)!10(!)!9()!1(!10C 2C 2C 2C 1011010)1(1101
2+-=⋅-⨯-⋅+==⋅⋅=+-+-+++r r r r r r t t r
r r r r r r r 令
1)1(210≥+-r r 得：3
8
≤r 即0=r 、1、2时，上述不等式成立．
所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小． 系数绝对值最大的项为第4项，2
52
53
3
4
10
4152)1(C x x T -=-=-．
从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，
.8
105162102C ,4452C 44
10522103==⋅==
⋅=--t t 所以，系数最大的项为第5项，3
5
58
105x t =． 例3 已知7
722107)21(x a x a x a a x ++++=- ，
求：（1）7321a a a a ++++ ； （2）7531a a a a +++； （3）6420a a a a +++．
分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母经常取的值有0、1、－1等．
解：（1）取0=x 可得10=a ，
取1=x 得1)1(7
710-=-=+++a a a ．
∴27321-=++++a a a a .
（2）取1-=x 得7
7632103=-++-+-a a a a a a ，
记75316420,a a a a B a a a a A +++=+++=． ∴7
3,1=--=+B A B A ．
可得1094)31(2
1
,1093)13(2177-=+-==-=
B A 从而10947531-=+++a a a a ．
（3）从（2）的计算已知10936420=+++a a a a ．
说明：赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的系数和大多数也能用此方法解决，如：6
5)21()1(x x -⋅+的展开式中各项的系数和为多少？可以看到6
5
)21()1(x x -+的展开式仍是多项式，令1=x ，即得各项系数和为
32)1(265=-．再比如：
n n n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++ ，则n a a a a 2420++++ 等于多少？本
题可以由取1=x 得到各项系数和，取1-=x 得到奇数项系数和减去偶数项系数和，两式相加可得)13(2
1220+=
+++n
n a a a ．此外，为了赋值的需要，有时需要用一个新的二项式替换原来二项式，只要它们的系数等同即可．如：n
x x )log 2(2+的展开式中各项的系数和是多少？我们可以用一个更简单的二项式n
x )21(+代替原来的二项式，它们的系数并不改变，令1=x 便得各项系数和为n 3．
例4 （1）求10
3
)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；
（2）求6)21
(++
x
x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， （1）可以视为两个二项展开式相乘； （2）可以经过代数式变形转化为二项式．
解：（1）10
3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5
510C x ；用
3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3
)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到5
2102210
3C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为：
