3.线段的垂直平分线
4.角平分线
例1: (1)在厶ABC 中，AB = AC, AB 的垂直平分线交 AB 于N,交BC 的延长线于 M / A = 40° , 求/ NMB 的大小
(2) 如果将(1)中/ A 的度数改为70°，其余条件不变，再求/ NMB 的大小
(3) 你发现有什么样的规律性？试证明之 •
(4) 将(1)中的/ A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改
例2:在厶ABC 中，AB 的中垂线 DE 交AC 于F ,垂足为D,若AC=6 BC=4求厶BCF 的周长。
例3:如图所示，AC=AD BC=BD AB 与CD 相交于点 巳求证：直线 AB 是线段CD 的垂直平 分线。
例4:如图所示,在厶 ABC 中，AB=AC / BAC=12° , D 、F 分别为 AB AC 的中点
,
A
N
DE AB , FG AC , E > G 在 BC 上, BC=15cm 求 EG 的长度。
例5::如图所示，Rt △ ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC 过D 作AB 的垂线交 AC 于点E ,
CD 交BE 于点F 。求证：BE 垂直平分 CD
例6::在"ABC 中，点0是AC 边上一动点，过点 0作直线 MN/ BC ,与
/ACB 的角平分线交于点 E ,与/ ACB 的外角平分线交于点 F ,求证：OE=OF
答案如下
:
例7、如图所示，AB>AC
A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D,自D 作DE A
B 于E , DF A
C 于F ，求证:
BE=CF A
例1:解：(1)vZ B= 1/2 (180° /A) =70°A/ M=20;
(2)同理得，/ M=35;
(3)规律是：/ M的大小为/ A大小的一半，即：AB的垂直平分线与底边BC所夹的锐角等于/ A的一半.
证明：设/ A=a,
则有/ B= 1/2 (180°- a, / M=90- 1/2 (180° a) = 1/2 a
(4)改为钝角后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．
例2:解：连接BF,由线段的垂直平分线的性质可得，FB= FA又因为AOAF+CF =6,所以BF+C M6A BCF的周长=BC+CF+*4+6= 10
例3：证明：因为AC=AD
所以A在线段CD的垂直平分线上
又因为BC=BD
所以B在线段CD的垂直平分线上
所以直线AB是线段CD的垂直平分线
例4:解：作AF U BC于H, HC=15/2
•••等腰
a/ ACB=/ABC=30°
A AC=2EC根号3EC=5根号3
••• F为AC中点
A FC=5/2 根号3
••• FGL AC
a CG=5
同理，BE=5
a EG=5
例5：证明：
V DEL AB,/ ACB M90
a/ BDE M/ ACB M90
V
BD M BC,
BE M B E
•••△ BCE^A BDE HL) a/ CBE M/ DBE
V BF M BF
•••△ BCF^A BDF SAS) a/ BFC M/ BFD, CF M DF V/ BFC+/BFD M180
a/ BFC M/ BFD M90
a BE L CD
A BE垂直平分CD
例6:解：T MN BC,
•••/ OEC M BCE / OFC M GCF 又已知CE平分/ BCO CF平分/ GCO •••/ OCE N BCE / OC F^ GCF
•••/ OCE N OEC / OCF N OFC
••• EO=CO FO=CO
••• EO=FO
例7 ：证明：
连接DC DB
•••点D在BC的垂直平分线上
••• DB=DC
v D在N BAC的平分线上
••• DE=DF
vN DFC=N DEB
•••△ DCF^A DEB
••• CF=BE
