第 一 章 一阶微分方程的解法的小结
⑴、可分离变量的方程： ①、形如
)()(y g x f dx
dy
= 当0)(≠y g 时，得到
dx x f y g dy
)()
(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、
xy dx
dy
= 解：当0≠y 时，有
xdx y
dy
=，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y +=
所以)(112
12
C x e C C e
C y ±==为非零常数且
0=y 显然是原方程的解；
综上所述，原方程的解为)(12
12
为常数C e
C y x =
②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M
当0)()(≠y N x P 时，可有
dy y N y Q dx x P x M )
()
()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）
x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2
2
=-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2
2
≠--y x 时，有
dx x x
dy y y 1
122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C
y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C
y x ；
当0)1)(1(2
2
=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2
2
为常数C C y x =--。
⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如
)(x
y
g dx dy =
解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx
du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x
y
f =。
②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx
dy
解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b
a
dx du b =+为变量可分离方程，
得到)(0
),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。
③、形如
)(2
221
11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、
02
2
11=b a b a ，转化为
)(by ax G dx
dy
+=，下同①； 02、
022
1
1≠b a b a ，⎩⎨⎧=++=++00
222111
c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令⎩⎨⎧-=-=00y y v x x u 得到，)()(
)(221
12211u v g u
v b a u v
b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()(
xy v xy f dx dy x ==),(2
22),(x
y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++
以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、
2
5
--+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u
u dx du 7
1+=
-
，有dx udu 7-= 所以)(72
2
为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72
22
为常数）
（C C
x y x =+--。
例2.2、
1
212+-+-=y x y x dx dy
解：由⎩⎨⎧=+-=+-012012y x y x 得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=3131y x ，令⎪⎩
⎪⎨⎧-
=+=3131y v x u ，有⎩⎨⎧==du dx dv dy ，代入得到 u
v
u v v u v u du dv 21222--
=
--=，令u v t =，有udt tdu dv +=，代入得到t t du dt u t 212--=+，化简得到，)1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--=，有)(2
)1ln(ln 2为常数C C t t u ++--=，
所以有)(112
1C e C t
t C u ±=+-=
，，故代入得到)0(,3131313113
1
12
1
≠⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-++-
-
=+
C x y x y C x
（3）、一阶线性微分方程： 一般形式：)()()01x h y x a dx
dy
x a =+（ 标准形式：
)()(x Q y x P dx
dy
=+ 解法：1、直接带公式：
))(()()()()()()(⎰
⎰+⎰⎰=⎰⎰+⎰=---C dx x Q e e dx x Q e e Ce y dx x P dx x P dx x P dx x P dx x P 2、积分因子法：
])()([)
(1
)(⎰+=
C dx x Q x x x y μμ，⎰=dx x P e x )()(μ 3、IVP ：
)()(x Q y x P dx
dy
=+，00)(y x y = ⎰⎰⎰+⎰=+⎰⎰=-
-
x
x ds
s P ds
s P x
x ds
s P ds s P dt e
t Q e
y y dt e
t Q e
y t
x t
x x
x x
x 0
00000)()(00)()()())((
例3、1)1()
1(++=-+n x x e ny dx
dy
x 解：化简方程为：
n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，则;)1()(,1
)(n x x e x Q x n x P +=+-= 代入公式得到n dx
x n
dx
x P x e
e x -1)()1()(+=⎰=⎰
=+-μ
所以，)()
()1(])1()1([)1()(为常数C C e x C dx x e x x x y x
n
n
x
n
n
++=++++=⎰
-
