高三物理折射物理解题思想的两颗“水珠”---解题长度与解题计划

折射物理解题思想的两颗“水珠”---解题长度与解题计划

[ 浙江永嘉县上塘中学 325100 钱呈祥 ]

物理解题是人的有意识的活动，它必然要接受解题思想的指导。解题者从习题中获得某种表征信息后，就以该表征作为一种提取线索，激活头脑中已有的解题思想。如果把解题思想理解为选择与组合的一系列规则，那么这些规则应该具有迅速找到较优解题操作的基本功能，能够减少尝试或失败的次数，能够节省探索的时间和缩短解题的长度，体现出解题计划的合理性与艺术性。解题长度和解题计划互为表里，互为因果。较短的解题长度体现合理的解题计划，失败的解题计划表现为冗长的解题长度。物理解题思想，宜着眼于统观全局的运筹帷幄，不必拘泥于名目繁多的小技小巧。解题思想的优劣常常表现在解题长度和解题计划上。解题长度和解题计划是“折射”解题思想艺术性的两颗“水珠”。

一、解题长度

解题长度是我们描述解题过程繁琐程度的一个概念。一个题目的解题可以用微观解题程序来求解，则其解题长度称为单位长度，用0L来表示，这个程序解法亦称之为标准解法。①0LL表示题目的解法与标准解法差不多，我们称 L所对应的解法为常规解法。②0LL表示题目的解法比标准解法过程简单、结构优美，付出的解题力量小于常规的解题力量，包含着解题智慧。③0LL表示题目的解法比标准解法麻烦，付出的解题力量大于常规的解题力量，包含着解题笨拙。

【例1】（2008年高考理综第23题）：已知O、A、B、C为同一直线的四点，AB间的距离为1l，BC间的距离为2l，一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点，已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等。求O与A的距离。

[解法1]：设物体的加速度为a，到达A点的速度为0v，通过AB段和BC段所用的时间为T，则有

2212012221aTTvllaTTvlo

联立①②式得212aTll ③

Tvllo2321 ④

设O与A的距离为X，则有

avX220 ⑤ ①

② 联立③④⑤式得，

)(8)3(12221llllX

解法1可以看作常规解法L0

[解法2]：设物体通过OA的时间为t，通过AB的时间为T，通过BC的时间为T。OA的距离为x。则有

221212)2(21)(2121TtallxTtalxatx②

由①②式tTxlx11 ④

由①③式tTxllx2121⑤

联合④⑤式12)1(21211121xlxxlxtTxllx⑥

整理⑥式，得xllxll21211232 ⑦

对⑦采用换元法，令xy1，得

yllyll)(8)3(122221 ⑧

2211221)3()(8,(0lllly）y舍去

所以，有)(8)3(112221llllyx

该解法虽然能算出正确结果，但是陷入了解数学方程组的泥淖，解题长度比较大，显示了解题笨拙。

[解法3]：设AB的时间为T，BC的时间为T，而OA的时间为nT，则①

③ 22212212)2(21)1(21)(21TnallxTnalxnTax ②

由①②式2112nnxl ④

由①③式221)1(4nnxll ⑤

联立④⑤式12)1(4121nnlll ⑥

解⑥式得，)(231221lllln，重新代入④式，得)(8)3(12221llllx

解法3的计算量明显小于解法2，实现了解题力量的节约，但是解题长度L还是略大于常规解题长度L0

[解法4]：物体从A到B的时间和从B到C的时间相等，设时间为T，根据匀变速直线运动的规律有

212aTll

解得 212Tlla ①

设物体到达B点的速度为Bv，从A到C的过程中有：

TvllB221

解得 TllvB221 ②

OA的距离为l，则有：

avllB221

将①②代入整理得 ①

③ )(8)3()(869)(8)(8)(24)(12221122221211211222112122221llllllllllllllllllTllTlll

比较解法4和解法1，其解题长度相当，实现了解题力量最节约，包含着解题智慧。该题的文学量非常简练，对于学生理解情景、建立模型是一个考量。如何寻找解题的切入口是解题分析的难点，抓住习题的物理本质，是缩短解题长度的关键。

二、解题计划

在面对一个陌生问题时，部分解题者一个普遍性的毛病就是急于计算出结果而不认真分析题意，盲目推理而不注意拟定解题计划。解题计划如此重要，以至一个模糊的或者愚蠢的方案甚至会使解答过程冗长繁琐，工作量翻几番。有关习题理论给出这样一个表意公式：解题长度=k·解题智慧习题难度，其中k＞0，是使得公式中各量可以相互换算的系数。这个公式的含义是，题目越难则解题过程越繁，而解题智慧越多则解题过程越简。一个合理而高明的解题计划意味着充裕的解题智慧，意味着解题力量的节约。

【例2】4个同样的扁长木块一个紧挨一个地放在光滑水平地面上，如图所示，每个木块的质量m=0.5kg，长L=1.0m。原来木块处于静止状态，左方第一个木块的左端上方放一质量为M=2.0kg的小铅块，它与木块间的动摩擦因素均为μ=0.30。现突然给铅块一向右的初速度smV/0.40，使其在木块上滑行。试问铅块最后有没有落到地面上？如落到地面上，请说明理由；如没有落到地面上，请判断铅块最后留在第几块木块上，并确定具体的位置。取重力加速度2/10smg。设铅块的线度与L相比可以忽略（计算结果保留2位有效数字）。

[解析]1、“未知数是什么？”（铅块是否落地及最后的位置）；2、“已知数据是什么？”（铅块M的质量为2kg，初速度是4m/s；每个木块m的质量是0.5kg，长1m，共4块；铅块和木块间的功摩擦因数是0.3）；3、“条件是什么？”（若铅块能到达某一木块的最右侧，则此时铅块的速度大于等于该木块的速度。若铅块能到达第4个木块最右侧且速度大于木块速度则落地，否则不落地。）；4、“你是否见过相同的问题而形式稍不同？”（见过。铅块和木块有相对位移，它们的位移大小之差等于相对位移。）；5、“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能利用它的结果吗？”（铅块和木块组成的系统不受水平外力，动量守恒，可用已知的动量守恒定律来解决。）；6、“为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？”（设铅块和木块的末速度可分别设为21VV和） 设木块能到达第一个木块最右端，列出方程组LaVaVVVmVMOMV22212121211224

其中a1=-3m/s2,a2=3m/s2,V1=4m/s。代入数据解得smVsmV/1,/321。说明铅块确实能够到达第1个木块的最右端。再设能到达第2个木块的最右端，同时以1m/s匀速向右运动的物体为参照物，则木块的初速为V2相为零，铅块的初速为)/1/3(1smsmV相sm/2。以剩余的3个木块和铅块为一新的系统，有LaVaVVVmVMOMV22212121211223相相其中3个木块的加速度22/43smmMga。

消去方程组中的V2“，得到方程71V2-161V+22=0. △=(─16)2─4×7×22<0，则铅块末速1V无解，说明不能到达第2个木块最右侧，它应该留在第2个木块上面，相对静止并与后3个木块以共同的速度匀速运动。

7、“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？”（要求铅块在第2个木块上的末位置，类似于求子弹打到木块中的深度（相对位移）。而EQESf,相为系统机械能的损失，Q为转化成的内能。）

对铅块和后3个木块组成的系统列方程，有

2222121)3(2132121)3(3共相共VmMVmVMSfVmMVmVM

代入数据得)(29.072mS相

8、“你能否检验这个论证？”（能）

9、“你能否用别的方法导出这个结果？”（如果取木块为参照物，可以更快地判断铅块停留在哪里。）

)/(633221smaaa相

smV/4相

)/(221221smVLaVV相相

说明能到达第1个木块最右侧

)/(7432sma相 )/(2smV相

)/(1022221smVLaVV相相

这就说明铅块不能到达第2个木块最右端。

10、“你能不能把这结果或方法用于其他的问题？”（可以，如果其他问题中不同物体加速度不一样，也可以取其中一个物体为参照物，变为一个非惯性参照系问题来解。）

【一个关于例2的不合理的解题计划】：M在木块上滑动时动量守恒，滑过第一块木块时动能损失转化为内能，设恰好滑过第一块时M的速度为V1，木块的速度为V1’，所以有

'1104mVMVMV ①

MgLVmMVMV2'12120)4(212121 ②

解①②式得smVsmV/1,/3'11。

M滑到第二块木块上后，设在木块上最多滑了S，共同运动的速度为V2，

同理可得2'11)3(3VmMmVMV ③

SMgVmMVmMV222'121)3(21)3(2121 ④

解③④式得S=0.29m。

所以铅块最后的位置在第二块木块上，距木块右端为S=0.29m处。

【分析】：这个参考解答貌似简洁明快，实则不然，它在解题计划上是相当不合理的。它毫无根据地认为铅块将留在第2个木块上，然后用

SMgVmMVmMV222'121)3(21)3(2121来解。一种辩解认为：“可以假设留在第2个木块上，如果算出来S大于L，则说明铅块会滑到第3个木块上。现在算出来只有0.29L，当然可以说明留在第二个木块上了。”这种解释合理吗？我们可以假设铅块的初速度并非4m/s，而是远大于4m/s的一个值，如100m/s。按照“不合理解题计划”的这种思路，需要多次计算S，结果都得出铅块能滑到下一个木块上的结论，而每次到达某一木块最右侧的铅块的末速和木块的末速仍旧要计算，从而使解题长度翻了几番。而合理的解题计划是先判断铅块的末位置，可假设铅块能到达某一木块的最右侧，直接算此时铅块和木块的末速，有解说明能到达，无解则说明不能到达。选取恰当的参照物也很重要，该题若选木块为参照物，则解题力量最节约。