2011~2012学年第二学期期末试卷+答案

1 装订线 华南农业大学期末考试试卷（A卷）

2011～2012学年第二学期 考试科目： 高等数学BⅡ

试题答案及其评分标准

一、填空题（本大题共5小题，每小题3 分，共15分）

1. 设向量(3,2,1)a,向量4(2,,)3kb，若ab,则k263；若//ab,则k23 .

22.(1,2)4zxydzdxdy函数在点处的全微分是

3.已知D是长方形区域{(,)|,01}xyaxby，又已知()dd1Dyfxxy，则

()dbafxx2．

4. 幂级数0+121nnxn的收敛域为 [2,0) .

5. 微分方程+=0xyy满足初始条件(1)=2y的特解为 2xy 。

二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.直线11211xyz与平面1xyz的位置关系是（ B ）．

（A）垂直； （B）平行； （C）夹角为π4； （D）夹角为π4．

2. 000000(,),(,)(,)xyfxyfxyxy偏导数存在是函数在点处可微的(B)

(A) 充分条件 （B） 必要条件 （C）充要条件 （D）无关条件。

3.将极坐标系下的二次积分:π2sin00d(cos,sin)dIrfrrr化为直角坐标系下的二次积分，则I( D ).

（A） 22111111d(,)dyyIyfxyx （B） 222202d(,)dxxxxIxfxyy

（C） 221212d(,)dyyyyIyfxyx （D） 22111111d(,)dxxIxfxyy 2 4．交错级数 1111(1)3nnn （A）．

(A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)敛散性无法确定。

5．差分方程ttttyy2221的特解形式为（ C ）.

(A)ttkty22； (B) ttCbtaty22；

(C) ttCtbtaty223； (D) 以上都不对.

三、计算题（本题六个小题，每小题7分，满分42分）

1. 设,yxzfxy，求 zzxyxy .

解：12122211,zyzxffffxxyyxy．．．．．．．．．．．５分

12120zzyxyxxyffffxyxyxy．．．．．．．．．７分

2. 2232(,)e0,,zzzzfxyxyxyzxy设是由所确定的隐函数求．

解：对方程两边求微分，得223dddeezzxyzyxzzxyxyxy ．．．．．３分

所以有 223,eezzzxyzzyxzxxyyxy， ．．．．．．．． ４分

22222222(6)(e)3(e)(e)33(6)(e)3(e)ee(e)zzzzzzzzzzyxxyyxzxzyyyxyyxzyxzyxxyyxzxxyxyxy ．．．．．．．６分 3 装订线 2222222234222223663e3ee()(e)3()ee(e)6e29ee9e2e3e(e)zzzzzzzzzzzzzzzxyyexyxzxyxyxzxyyxzxyxyxyyxyzyxzxyxzxyzxy．．７分

3. 判别级数

n12!nnnn的敛散性。

解：因为1112(1)!2limlimlim21(1)2!1nnnnnnnnnnannnannne．．．．．．．６分

所以，级数收敛。 ．．．．．．．７分

4. 计算二重积分2Dxdxdyy，其中D为1,xyyx及2y所围成的闭区域。

解：积分区域如图所示： 联立方程 12xyyxy ，

求得交点坐标为1(,2),(1,1),(2,2)2 ．．．．．３分

22212222111112111171(1)23848yyDxxdxdydydxydyyyyy ．．．．．．．．．７分

5. 求伯努利方程 42323yyxyx 的通解。

解：原方程化为 41233d23dyyyxxx． ．．．．２分

令13zy，则43d1dd3dzyyxx，即43dd3ddyzyxx．代入上面的方程，得

2d233dzzxxx，即 2d2d3zzxxx， ．．．．．．．．．．４分 1yxy

O x y=x

2 4 其通解为 22dd233e(e)dxxxxzxxC2433()dxxxC273337xCx．

所以原方程的通解为 1233337yCxx． ．．．．．．．．．．．．７分

21 (),.32fxxxx6.用间接展开法把展开成的幂级数并写出其收敛区间

解：因为21111 ()32(1)(2)12fxxxxxxx ．．．．．．．．２分

因为1111,(1,1)1nnnxxx， ．．．．４分

1111111,2,22222212nnnxxxx ．．．．６分

所以， 2111111132222nnnnnnxxxx

111111,(1,1)22nnnnxx。 ．．７分

四、（本题两个小题，任意选做一题，多选不多得分，满分8分）

1. 求微分方程3yyy满足初始条件00,01yy的特解。

2. 求微分方程323exyyyx的通解。

1.解：令dddd,===ddddpypypyypxyxy，

所以，32,1dpdpppppdydy， ．．．．．．．２分

积分得11arctan=+,=tan(+)pyCpyC， ．．．．．．．３分

由条件00,01yy得，1π4C。 ．．．．．４分 5 装订线 由于 ddtan(+4)yxy

所以，2cos(+4)ddsin(+4)=d,lnsin(+4)=+sin(+4)sin(+4)yyyxyxCyy ．．．６分

即有 2sin(+4)exyC，再由条件00,01yy，得222C, ．．７分

故所求特解为 π22πsin(+)e,=arcsine4224xxyy或。 ．．８分

2.解：()3exfxx是e()xmPx型（其中，()3mPxx，1），对应齐次方程的特征方程为 2320rr，解得 11r，22r， ．．．２分

故对应齐次方程的通解为 212eexxYCC． ．．．．．３分

因为1是特征方程的单根，所以特解*y的形式为

*2()e()exxyxAxBAxBx， ．．．．５分

代入原方程并消去ex，得 2(2)3AxABx． ．．．．．．．．．６分

比较系数，得 32A，3B，即 *233e2xyxx， ．．．．７分

故原方程的通解为 *22123ee3e2xxxyYyCCxx．．．．．８分

五、应用题（本题三个小题，任意选做二题，多选不多得分，满分16分）

1. 设有连结点O(0,0）和(1,1)A的一段向上凸的曲线弧OA，对于OA上任一点(,)Pxy，曲线弧OP与直线段OP所围成图形的面积为2x，求曲线弧OA的方程．

2 . 某公司生产产品A（x件），产品B（y件）的收益函数和成本函数分别为:

22(,)109,(,)400230.0133RxyxyCxyxyxxyy，

试求获得最大利润的产量水平及最大利润. 6 3. 求由球面228zxy与锥面22zxy所围成的立体体积。

1.解 设曲线弧的方程为()yyx，依题意有

201()d()2xyxxxyxx，．．．．．．2分

上式两端对x求导，

11()()()222yxyxxyxx， ．．．．．．．．．４分

即得微分方程 4yyx，令yux，有ddddyuuxxx，则微分方程可化为

d4duuxux，即d4duxx， ．．．．．．．．．５分

积分得 4ln||uxC，因yux，故有 (4ln||)yxxC．．．．．．．．．７分

又因曲线过点(1,1)A，故1C．于是得曲线弧的方程是

(14ln||)yxx． ．．．．．．．．．８分

（事实上应定义函数为(14ln||)0()00xxxyxx）。

2. 解：设利润函数,)=(,)(,)LxyRxyCxy（

即 22(,)860.0133400Lxyxyxxyy， ．．．．．２分

由于 80.0160,60.0160xyLxyLxy ．．．．．．．４分

求的驻点为(120,80)，再由

0.060,0.01,0.06.xxxyyyLLL， ．．．．．．５分

而 2220.060.010xxyyxyLLL， ．．．．．．．．７分 y

x O 1 1 A(1,1)

P(x, y)

x y

y 7 装订线 所以点(120,80)是利润函数(,)Lxy的极大值点，极大值为 (120,80)320L.

即获得最大利润的产量为120,80,xy最大利润为(120,80)320L。．．．８分

3. 求由球面228zxy与锥面22zxy所围成的立体体积。

解：令22228xyxy，