Eisenstein判别法的推广
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第１５卷第５期 ＶｏＩ．１５ Ｎｏ．５ 琼州学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｉｏｎｇｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ２００８年１０月２８日 ０ｃｔ．２８．２００８
上 Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法的推广
寇福来
（琼州学院数学系，海南五指山５７２２００）
摘要：论述了Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法的若干具有实用价值的推广形式，并把Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法推广到了整环
关键词：６－理数域；不可约多项式；整环；商域；唯一分解环；素理想；本原多项式 中图分类号：０１５１．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—６７２２（２００８）０５～０００９—０３
关于整系数多项式在有理数域上是否可约的问题，有一个充分的判定条件，这就是以下Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别 法 设 是一个整系数多项式．如果存在一个素数Ｐ，使得
（１）ｐ１＂ａ ；（２）Ｐ ｌ，ａ ，ｉ＝０，１，２，…，ｎ一１；（３）Ｐ 于Ⅱ０， 那么 ）在有理数域上不可约． Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法并不是对所有的在有理数域上不可约的整系数多项式都适用，即它只是整系数多项式
在有理数域上不可约的充分条件，而不是必要条件．为了扩大Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法的适用范围，可对其进行以 下推广．
１ Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法的若干推广形式
首先，容易证明下面的 命题１ 数域Ｆ上的ｎ次多项式
）＝Ｚ０＋ａｌ ＋ａ２ｘ ＋…＋ａｎｘ 与
厂（ ）＝ａｏＸ ＋ａＩ戈 ＋…＋ａｎ－１ ＋ａ 在Ｆ上同时可约或不可约．
下面是Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法的几种推广形式．这些新判别法仍是整系数多项式在有理数域上不可约的充
分条件而不是必要条件，尽管它们可以用来判定更多的整系数多项式在有理数域上不可约． 定理１ 设 ，（ ）＝ａ０＋ａＩ ＋ａ２ｘ ＋…＋ａｎｘ 是一个整系数多项式．如果，（ ）没有有理根，并且存在一个素数Ｐ，使得
（１）Ｐ至少不能整除ａ 和ａ 一，中的一个；
（２）Ｐ ｌ ａ ，ｉ＝０，１，２，…，凡～２；（３）Ｐ ｔａｏ， 那么－厂（ ）在有理数域上不可约 ］．
利用命题１和定理１，又可得到
定理２ 设 ）＝ａ０＋ａＩ ＋ａ２ｘ 十…＋ＣｔｎＸ“
是一个整系数多项式．如果 ）没有有理根，并且存在一个素数Ｐ，使得 （１）Ｊｐ至少不能整除ｎ。，。 中的一个；
收稿日期：２００８～０６—１０ 作者简介：寇福来（１９５４一），男，河北安新人，琼州学院数学系教授． 基金项目：海南省教育厅高等学校科学研究资助性项目（Ｈｊｋｊ２００８—５１）
ｌＯ 琼州学院学报 （第１５卷）２００８
（２）ａ Ｉ ａ ，ｉ＝２，３，…，ｎ；（３）Ｐ ， 那么． ）在有理数域上不可约． 定理１的适用范围显然比Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法要广泛．例如对于多项式厂（ ）＝３ｘ ＋７ｘ ＋３ ＋３ ＋３，容 易验证它没有有理根；再取Ｐ＝３，则依定理１可知厂（ ）在有理数域上不可约．但 ）不能直接用Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ
Ⅱ另ｑ法 ０定． 定理１可进一步推广为 定理３ 设 ）＝ａｏ＋ａ１ ＋ａ２ｘ ＋…＋ａｎｘ （ｎ ６） 是一个整系数多项式．如果 ）没有有理根，也没有整系数二次因式，并且存在一个素数Ｐ，使得
（１）Ｐ至少不能整除ａ ，口 ，ｎ 中的一个；（２）ｐ Ｉ ａｉ， ＝０，１，２，…，ｎ一３；（３）Ｐ ｔａｏ，
那么 ）在有理数域上不可约 ． 由命题１和定理３，又有 定理４ 设 ）＝ａ０＋ａＩ ＋０２ ＋…＋ａｎｘ （ ６） 是一个整系数多项式．如果，（ ）没有有理根，也没有整系数二次因式，并且存在一个素数Ｐ，使得
（１）Ｐ至少不能整除ａ。，ａ ，ａ 中的一个；（２）Ｐ Ｉ ａ。，ｉ＝３，４，…，ｎ；（３）Ｐ ｔ＂ａ ， 那么 ）在有理数域上不可约． 比定理３更一般的结果是
定理５ 设 ）＝ａｏ＋ａＩ ＋ａ２ｘ ＋…－４－ａｎｘ 是一个整系数多项式，并且 ）没有有理根，也没有整系数的２，３，…，＿ｊ｝次因式（ｋ＜［ｎ／２］）．如果存在一个
素数Ｐ，使得 （１）Ｐ至少不能整除ａ ，ａ 一 一，ａ 中的一个；（２）ｐ Ｉ ａ；，ｉ＝０，１，２，…，ｎ一（ｋ＋１）；（３）Ｐ ７．口ｏ，
那么．厂（ ）在有理数域上不可约 Ｊ．
再由命题１，仿上可给出与定理５相“对称”的判别法． 下面的方法是根据一个整系数多项式的部分系数，采取类似于Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法的方式判断其在有理
数域上因式分解的可能性，这在一定程度上也是Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法的推广． 定理６ 设 ）＝ａ０＋ａ１ ＋ａ２ｘ ＋…＋ａｎＸ 是一个整系数多项式，其中ａｏａ ≠０，ｎ ２．如果存在一个素数Ｐ，使得
（１）Ｐ ｌ ａ ，ｉ：０，１，２，…， （ｋ≤ｎ一１，２ｋ ｎ）；（２）ｐ ７Ｌ口ｋ＋１；（３）Ｐ ｔａｏ， 那么 ）在有理数域上不能分解为两个次数都小于ｋ＋１的多项式的乘积 ｊ．
在定理６中取ｋ＝ｎ—Ｉ．ｔ 到Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法，即Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法可视为定理６的一个特例．
利用命题１和定理６，便【ｌＪ 到与定理６相对称的判别法．这可叙述为下面的 定理７ 设 ）＝ａｏｘ ＋ａｌ ＋…ｑ－ａｎ＿ｌ ＋ａ 是一个整系数多项式，其中ａｏａ ≠０，／２，≥２．如果存在一个素数Ｐ，使得
（１）Ｐ Ｉ ａ ，ｉ＝０，１，２，…，ｋ（ｋ ／７，一１，２ｋ ｎ）；（２）ｐｆｎ ＋１；（３）Ｐ １Ｌｎ。， 那么 ）在有理数域上不能分解为两个次数都小于ｋ＋１的多项式的乘积．
２ 在整环上的表达
Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法可以很自然地推广到一般的整环上． 定理８ 设Ｒ是一个整环 ｊ，，是 的商域，Ｒ［ ］是尺上未定元 的多项式环 ）∈Ｒ［ ］，并且 ） ＝ａ０＋ａ１ ＋口２ ＋…＋ａｎ ，如果存在的一个素理想 ＪＰ，使得
（１）ａ 誊Ｐ；（２）ａｆ∈Ｐ，ｉ＝０，１，２，…，ｎ一１；（３）ａ０隹Ｐ ， 那么 ）不能分解为Ｒ［ ］中两个次数都小于ｎ的多项式的乘积；换句话说 ）在Ｆ（ ）中不可约．
证明 用反证法．假设在Ｒ［ ］中，有 ）＝ｇ（ ）ｈ（ ），ｇ（ ）＝ｂｏ＋ｂｌ ＋ｂｚｘ ＋…＋６， ，ｈ（ ） ＝Ｃ０＋ｃ１ ＋Ｃ２Ｘ ＋…４－ＣｓＮ ，
第５期 寇福来：Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法的推广
其中ｂ ，ｃ，∈Ｒ（ｉ＝０，１，２，…，ｒ；ｊ＝０，１，２，…，ｓ），ｂ ≠０≠ｃ ，ｒ＜ｎ，ｓ＜ｎ，ｒ＋ｓ＝ｎ．
么 ００＝ｂｏｃｏ，口 ＝ｂ，ｃ ． 因为ｎ０＝ｂｏｃ０ Ｅ Ｐ，Ｐ为Ｒ的素理想，所以ｂｏ∈Ｐ或ｃ０∈Ｐ．但由于０ｏ隹Ｐ ，所以不能有ｂ０∈Ｐ且ｃｏ
∈ 不妨设ｂ０∈Ｐ而ｃ０硭Ｐ．
今断言不能有ｂ ∈Ｐ，ｉ＝０，１，２，…，ｒ．因若不然，将由ｂ Ｅ Ｐ导致０ ∈Ｐ，这与（１）矛盾． 假定ｂ０，ｂ，，ｂ：，…，ｂ，中第一个不属于Ｐ的元素为６ （０＜ｋ ｓ ｒ），即ｂ。，ｂ 一，ｂ㈦∈Ｐ而ｂ Ｉ差Ｐ．
考察 ）的系数 口 ＝ｂｋｃｏ＋ｂｋ－ｌｃｌ＋…＋ｂｌＣ ＋ｂｏｃ ． 因为ｋ ｒ＜凡，所以由（２），Ⅱ＾∈ 再由ｂ０，ｂ１，…，６ ∈Ｐ，得（６ ｃ１＋…＋ｂｌ 一１＋ｂｏｃ ）∈Ｐ， 于是６ ｃ。Ｅ Ｐ．仍由Ｐ为 的素理想之故，ｂ ∈Ｐ或Ｃ。∈Ｐ．这又出现了矛盾．
因此定理成立． 注记：定理８在唯一分解环（参见［５］Ｐ。， ）Ｒ上当然也成立．但此时不能把定理８的结论改为 ）在 ［ ］中不可约（不可分解），虽然 ［ ］也是唯一分解环，因为 ）的诸系数的公因子在Ｒ（ｃ月［ ］）中也许 能够分解为若干素元的乘积．如果把定理８的条件加强为，（ ）是一个本原多项式，则其结论可表述为 ）
在Ｒ［ ］中不可约．
参考文献： ’ ［１］张禾瑞，郝钢新．高等代数（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９．７４． ［２］马跃超．整系数不可约多项式的两个判别法［Ｊ］．数学通报，１９８８，（６）：２０—２１． 【３］张小红，任耀文．整系数多项式不可约性的新判别法［Ｊ］．成阳师专学报（自然科学版），１９９０，（１）：１０—１２． ［４］彭海明．关于多项式因式分解的两个定理［Ｊ］．数学通报，１９９４，（５）：３５—３６． ［５］张禾瑞．近世代数基础（１９７８年修订本）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９７８．８９． ［６］丘维声．抽象代数基础［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．１３５．
Ｔｈｅ Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ Ｄｉｓｃｉｍｉｎａｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ
ＫＯＵ Ｆｕ—ｌａｉ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｑｉｏｎｇｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｚｈｉｓｈａｎ Ｈａｉｎａｎ ５７２２００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｔａｔｅｄ ｕｍｐｔｙ ｏｆ ｕｓｅｆｕｌ ａｎｄ ｖａｌｕａｂｌｅ ｅｘｔｅｎｓｉｖｅ ｆｏｒｍｓ ｏｆ Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ ｄｉｓｅｉｍｉｎａｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄ ｅｘ—
ｔｅｎｄ ｉｔ ｔｏ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｆｉｅｌｄ；ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ；ｑｕｏｔｉｅｎｔ ｆｉｅｌｄ；ｕｎｉｑｕｅ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ
ｄｏｍａｉｎ；ｐｒｉｍｅ ｉｄｅａｌ；ｐｒｉ
ｍｉｔｉｖｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ
