长为6,弦AC长为2,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求四 …

圆周角复习讲义一、基础知识点角 ] 特殊的角[] 90 0的圆周角[] 直径所对的圆周角弧 ] 半圆所对的圆周角] 等弧所对的圆周角[] 顶点、两边圆 ] 顶点在圆上，角的两边和圆相交[公共点] 顶点在角的两边上[] 圆周角是圆内接多边形的内角[ 圆 ] 顶点在圆上，两边和圆相交的角弦 ] 有公共端点的两条弦所成的角弧 ] 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半] 命题的结构]同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等] 圆周角所对的弧是半圆] 等圆中相等的圆周角所对的弧相等,所对的弦也相等等圆中相等的弧所对的圆周角相等,所对的弦也相等等圆中相等的弦所对的圆周角相等,所对的弧也相等] 圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的一个外角等于它的内对角角 ] 圆心角弦切角顶点在圆上不是圆周角的角圆内角圆外角顶点与圆的位置] 圆心角角的两边圆的位置] 弦切角二、知识的应用（例题）例1 如图7—96、OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC．证明：由OA、OB、OC都是⊙O的半径可知，例2 如图7—97，已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠AOB．解：∵⊙O是△ABC的外接圆∴∠A、∠B、∠C是圆周角，∠AOB是圆心角．又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°，∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B)=180°-(50°＋47°)=83°．∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°．例3、如下右图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是弧AC上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F．(1)当弧PA=弧AB时，求证：AE=EB；(2)当点P在什么位置时，AF=EF，证明你的结论．[过程](1)连结AB．证AE=EB．需证∠ABE＝∠BAE．(2)执果索因寻条件：要AF=EF，即要∠A＝∠AEF，而∠AEF=∠BED，而要∠A=∠BED，只需∠B＝∠C，从而转化为弧PC=弧AB．[结果](1)证明：延长AD交⊙O于点M，连结AB、BM．∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D．∴弧AB=弧BM．∴∠BAD＝∠BMD．又∵弧AB=弧AP，∴∠ABP=∠BMD．∴∠BAD＝∠ABP．∴AE＝BE．(2)当弧PC=弧AB时，AF=EF．证明：∵弧PC=弧AB，∴∠PBC=∠ACB．而∠AEF＝∠BED＝90°-∠PBC，∠EAF=90°-∠ACB．∴∠AEF=∠EAF．∴AF=EF．三、课堂练习：1．若⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD=48°．则∠BAC＝_____2．△ABC是半径为2 cm的圆内接三角形，若BC=23 cm，则∠A的度数为 .3．在⊙O中，直径AB＝10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC= cm，AD= cm，BD= cm．参考答案：1．48°或132° 2．60°或120°3．8 52 52。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学压轴题提升训练：圆中证明及计算问题【例1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5 cm，AC＝12 cm时，求线段PC的长．【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥P A，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，即OD⊥P A，∴PD是⊙O的切线．（2）证明：∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，∴△BAD∽△CDP，∴AB BD CD CP，∴AB•CP＝BD•CD．（3）∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，由勾股定理得：BC＝13，由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，∵AB•CP＝BD•CD．∴PC＝169 10．【变式1-1】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．（1）求证：△ABE≌△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；②若AE=6，BE=8，则EF的长为．【答案】（1）见解析；（2）60；9 2 .【解析】（1）证明：连接CE，∵AB=AC，CD=CA，∴∠ABC=∠ACB，AB=CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°，∴∠ECD=∠BAE，同理，∠CED=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE；（2）①60；连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC=180°，∵∠ABC=60，∴∠AEC=∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠ACB=∠CAD+∠D，AC=CD，∴∠CAD=∠D=30°，∴∠ACE =30°， ∴∠OAE =∠OCE =60°， 即四边形AOCE 是平行四边形， ∵OA =OC ，∴四边形AOCE 是菱形； ②由（1）得：△ABE ≌△CDE ， ∴BE =DE =8，AE =CE =6，∠D =∠EBC ， 由∠CED =∠ABC =∠ACB ， 得△ECD ∽△CFB ， ∴CE CF DE BC ==68， ∵∠AFE =∠BFC ，∠AEB =∠FCB ， ∴△AEF ∽△BCF ，∴EF CFAE BC =， 即668EF =，∴EF =92．【例2】如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为AB 上方的圆上一动点，过点C 作⊙O 的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，交⊙O 于点D ，连接OC ，CD ，BC ，BD ，且BD 与OC 交于点E ．（1）求证：△CDE ≌△CBE ； （2）若AB ＝4，填空：①当弧CD 的长度是 时，△OBE 是等腰三角形； ②当BC ＝ 时，四边形OADC 为菱形．【答案】（1）见解析；（2）2π；2．【解析】（1）证明：延长AD 交直线l 于点F ，∵AD垂直于直线l，∴∠AFC＝90°，∵直线l为⊙O切线，∴∠OCF＝90°，∴∠AFC＝∠OCF＝90°，∴AD∥OC，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠OEB＝90°，∴OC⊥DB，∴DE＝BE，∠DEC＝∠BEC＝90°，∵CE＝CE，∴△CDE≌△CBE；（2）①如图2，连接OD，由（1）知∠OEB＝90°，当△OBE是等腰三角形时，则△OEB为等腰直角三角形，∴∠BOE＝∠OBE=45°，∵OD＝OB，OE⊥BD，∴∠DOC＝∠BOE＝45°，∵AB ＝4， ∴OD ＝2， ∴弧CD 的长=452180π⨯=2π； ②当四边形OADC 为菱形时， 则AD ＝DC ＝OC ＝AO ＝2， 由（1）知，BC ＝DC ， ∴BC ＝2.【变式2-1】（2019·河南南阳一模）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B =135°，则弧AC 的长为（）A. 2πB. πC.2πD.3π【分析】根据弧长公式180n rl π=，需先确定弧AC 所对的圆心角∠AOC 的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC =2∠D ，根据圆内接四边形对角互补，求出∠D =180°－∠B =45°，再代入弧长公式求解即可.【解析】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠D =180°－∠B =45°，∴弧AC 所对圆心角的度数为：2×45°=90°， ∵⊙O 的半径为2， ∴弧AC 的长为：902180180n r l ππ⨯===π， 故选B .1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径的⊙O ，与斜边AB 交于点D ，E 为BC 边的中点，连接DE .（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）填空：①若∠B=30°，AC=BD=②当∠B=时，以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形.【答案】见解析.【解析】解：（1）连接OD，∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∠CDB=90°，∵E是BC的中点，∴DE=CE=BE，∴∠DCE=∠EDC，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°，即∠ODE=90°，∴DE是⊙O的切线；（2）3；45°，理由如下：①∵∠B=30°，AC=BCA=90°，∴BC= AC÷tan30°=6，∴DE=3，②由∠B=∠A=45°，OA=OD，得∠ADO=∠AOD=45°，∴∠AOD=90°，∴∠DOC=90°，又∠ODE=90°，∴四边形ODEC是矩形，∵OD=OC，∴四边形ODEC是正方形.2.已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，且DA∶AB=1∶2．（1）求∠CDB的度数；（2）在切线DC上截取CE=CD，连接EB，判断直线EB与⊙O的位置关系，并证明．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°．∵DA：AB=1：2，∴DA=OC，DO=2OC．在Rt△DOC中，sin∠CDO=12，∴∠CDO=30°，即∠CDB=30°．（2）直线EB与⊙O相切．证明：连接OC，由（1）可知∠CDO=30°，∴∠COD=60°，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠CBD=∠CDB，∴CD=CB，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∴∠ECB=60°，又∵CD=CE，∴CB=CE，∴△CBE为等边三角形，∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°，∴EB是⊙O的切线．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，E为BC边上一点，且DE是⊙O的切线．（1）求证：BE=EC；（2）填空：①若∠B=30°，AC DE=；②当∠B=°时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．【答案】（1）见解析；（2）①3；②45.【解析】解：（1）证明：如图，连接OD，∵∠ACB=90°，AC为⊙O的直径，∴EC为⊙O的切线，∵DE为⊙O的切线，∴EC=ED，∵∠EDO=90°，∴∠BDE+∠ADO=90°，∵OD=OA，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE+∠A=90°，∵∠A+∠B=90°，∴∠BDE=∠B，∴BE=EC；（2）①3；②45，理由如下：①在Rt△ABC中，∠B=30°，AC，∴BC=6，由（1）知，E是BC中点，∴DE=12BC=3；②∵ODEC为正方形，∴∠DEC=90°，DE=CE=BE，∴∠B=45°，故答案为：3；45.4.如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．（1）求证：△CDE≌△EFC；（2）若AB=4，连接AC．①当AC= 时，四边形OBEC为菱形；②当AC= 时，四边形EDCF为正方形．【答案】见解析．【解析】（1）证明：如图，∵BD⊥CD，∴∠CDE=90°，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵CD是切线，∴∠FCD=90°，∴四边形CFED矩形，∴CF=DE，EF=CD，∵CE=CE，∴△CDE≌△EFC．（2）解：①当AC=2时，四边形OCEB是菱形．理由：连接OE．∵AC=OA=OC=2，∴△ACO是等边三角形，∴∠CAO=∠AOC=60°，∵∠AFO=90°，∴∠EAB=30°，∵∠AEB=90°，∴∠B=60°，∵OE=OB，∴△OEB是等边三角形，∴∠EOB=60°，∴∠COE=180°﹣60°﹣60°=60°，∵CO=OE，∴△COE是等边三角形，∴CE=CO=OB=EB，∴四边形OCEB是菱形．故答案为2．②当四边形DEFC是正方形时，∵CF=FE，∴∠CEF=∠FCE=45°，∵OC⊥AE，∴弧AC=弧CE，∴∠CAE=∠CEA=45°，∴∠ACE=90°，∴AE是⊙O的直径，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC．∴AC时，四边形DEFC是正方形．故答案为．5.如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接AD，过点O作AD 的垂线，交半圆O的切线AC于点C，交半圆O于点E．连接BE，DE．（1）求证：∠BED＝∠C．（2）连接BD，OD，CD．填空：①当∠ACO的度数为时，四边形OBDE为菱形；②当∠ACO的度数为时，四边形AODC为正方形．【答案】（1）见解析；（2）30；45．【解析】解：（1）证明：设AD，OC交于点P，∵OC⊥AD，∴∠APC＝90°．∴∠C+∠CAP＝90°∵AC是半圆O的切线，∴∠CAO＝∠CAP+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵∠BED＝∠BAD，∴∠BED＝∠C；（2）①30，理由如下：连接BD，如图：∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝∠ACO＝30°，∴∠DBA＝60°，∵OE⊥AD，∴弧AE=弧AD，∴∠DBE＝∠ABE＝30°∵∠DEB＝∠DAB＝30°，∴∠DEB＝∠ABE，DE∥AB∵∠ADB＝90°，即BD⊥AD，OE⊥AD，∴OE∥BD，∴四边形OBDE是平行四边形∵OB＝OE∴四边形OBDE是菱形；故答案为30°；②45，理由如下：连接CD、OD，∵∠BED＝∠ACO＝45°，∴∠BOD＝2∠BED＝90°，∴∠AOD＝90°，∵OC⊥AD，∴OC垂直平分AD，∴∠OCD＝∠OCA＝45°，∴∠ACD＝90°，∵∠ACO＝90°，∴四边形AODC 是矩形， ∵OA ＝OD ，∴四边形AODC 是正方形， 故答案为45°．6.如图，CD 是⊙O 的直径，且CD ＝2cm ，点P 为CD 的延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ．（1）连接AC ，若∠APO ＝30°，试证明△ACP 是等腰三角形； （2）填空：①当弧AB 的长为 cm 时，四边形AOBD 是菱形； ②当DP ＝ cm 时，四边形AOBP 是正方形．【答案】（1）见解析；（2）23π1. 【解析】解：（1）连接AO ，∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AO ＝90°， ∵∠APO ＝30°， ∴∠AOP ＝60°， ∵OA ＝OC ，∴∠C ＝∠CAO ＝30°， ∴∠C ＝∠APO =30°， ∴△ACP 是等腰三角形；（2）①若四边形AOBD 是菱形，则AO ＝AD ，∵AO＝OD，∴△AOD是等边三角形，∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∵CD=2，∴圆O的半径为1，∴弧AB的长为：21201180π⨯=23π.②若四边形AOBP为正方形时，则P A＝AO＝1，则OP，∵OD=1，∴PD－1，－1．7.如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA=AE=2时，求出四边形ACDE的面积．【答案】见解析．【解析】证明：（1）∵F为弦AC（不是直径）的中点，∴AF=CF，OD⊥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴AC∥DE．（2）连接CD，∵AC∥DE，OA=AE=2，∴OF=FD，∵AF=CF，∠AFO=∠CFD，∴△AFO≌△CFD，∴S△AFO=S△CFD，∴S四边形ACDE=S△ODE∵OD=OA=AE=2，∴OE=4，由勾股定理得：DE∴S四边形ACDE=S△ODE= 12×OD×OE=12×2×．8.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC＝∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC与∠CBD是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90°，∴∠ADE+∠BDE＝∠DBE+∠BDE＝90°，∴∠ADE＝∠DBE＝∠DAC，∴PD＝P A，∵∠DF A+∠DAF＝∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠PDF＝∠PFD，∴PD＝PF，∴P A＝PF，即P是线段AF的中点；（3）解：∵∠CBD＝∠DBA，CD＝3，∴CD＝AD＝3，由勾股定理得：AB＝5，即⊙O的半径为2.5，由DE×AB＝AD×BD，即：5DE＝3×4，∴DE＝2.4．即DE的长为2.4．9.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB＝12，BC＝4，求⊙O的半径．【答案】见解析．【解析】（1）直线CE与⊙O相切，证明：连接OE，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠AEO＝∠ACB＝∠DCE，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，由∠D＝90°，得：∠DCE+∠DEC＝90°，∴∠AEO+∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥EC，∵OE为半径，∴直线CE与⊙O相切；（2）解：在Rt△ACB中，AB＝tan∠ACB×BC=12×4＝2，由勾股定理得：AC＝，∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝12，在Rt△DCE中，CD＝AB＝2，DE＝DC×tan∠DCE＝2×12＝1，由勾股定理得：CE，在Rt△COE中，CO2＝CE2+OE2，OE=OA，（OA）2＝OA2+）2，解得：OA，即⊙O．10.如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=12AC，（1）求证：△ABF是直角三角形；（2）若AC＝6，则直接回答BF的长是多少．【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接CD，则CF＝CD，∵AB是⊙C的切线．∴CD⊥AB，∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△ACD中，CF=12 AC，∴CD＝CF=12AC，∴∠A＝30°∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠A＝30°，∴∠ACB＝120°，∠BCD＝∠BCF＝60°，∵BC＝BC，∴△BCD≌△BCF，∴∠BFC＝∠BDC＝90°，∴△ABF是直角三角形．（2）解：由（1）知：AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD＝BF，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝6，∴CD＝3，∴AD＝．∴BF＝金榜题名前程似锦21。

一、选择题1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，过B ，C 两点的O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交O 于点F ．连接BF ，CF ，若135EDC ∠=︒，2AE =，4BE =，则CF 的值为（ ）．A ．10B ．22C ．23D ．32．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在O 上，两边分别交圆O 于A ，B 两点，若O 的直径为6，则弦AB 的长为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3 3．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A 、B 、C 是圆上的点，则此圆的面积为（ ）A ．72πB ．85πC ．100πD ．104π 4．如图，分别以AB,AC 为直径的两个半圆，其中AC 是半圆O 的一条弦，E 是弧AEC 中点，D 是半圆ADC 中点.若DE=2,AB=12，且AC˃6，则AC 长为（ ）A．6+2B．8+2C． 6+22D．8+225．如图在ABC中，∠B=90°，AC=10，作ABC的内切圆圆O，分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，设AD=x，ABC的面积为S，则S关于x的函数图像大致为（）A．B．C．D．6．如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在的圆的圆心，AB=，点C是AB的中点，点D是AB的中点，且5cm20cmCD=，则这段弯路所在圆的半径为（）A ．10cmB ．12.5cmC ．15cmD ．17cm 7．在平面直角坐标系中，以点()3,4-为圆心，半径为5作圆，则原点一定（ ） A ．与圆相切 B ．在圆外 C ．在圆上 D ．在圆内 8．在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ．如图，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，则∠BDC 的度数（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．70° 9．如图，AB 是⊙的直径，DB 、DE 分别切⊙O 于点B 、C ，若∠ACE ＝35°，则∠D 的度数是（ ）A ．65°B ．55°C ．60°D ．70° 10．下列说法中，正确的是（ ） A ．三点确定一个圆B ．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 C ．平分弦的直径垂直于弦D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等11．如图，P 与y 轴交于点()0,4M -，()0,10N -，圆心P 的横坐标为4-，则P 的半径为（ ）A．3B．4C．5D．612．在扇形中，∠AOB=90°，面积为4πcm2，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 ( )A．1cm B．2cm C．3n cm D．4cm二、填空题13．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则AB的长为________14．如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，AC是O的直径，∠=︒，则PBAC35∠的度数为________.15．已知扇形的圆心角为120︒，面积为π，则扇形的半径是___________．16．如图，有一半径为6cm的圆形纸片，要从中剪出一个圆心角为60︒的扇形ABC，AB，AC为⊙O的弦，那么剪下的扇形ABC（阴影部分）的面积为 ___________．17．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.18．已知，O 的弦AB 与O 的半径相等，则弦AB 所对的圆周角的度数为______． 19．如图，若∠BOD ＝140°，则∠BCD=___________ ．20．在半径为4cm 的圆中，长为4cm 的弦所对的圆周角的度数为________三、解答题21．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，OD 交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，若∠AOD ＝50°．（1）求∠DEB 的度数；（2）若OC ＝3，OA ＝5，①求弦AB 的长；②求劣弧AB 的长．22．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ．若AB ＝10，AC ＝6，求BC 、BD 的长．23．已知，AB 是O 的直径，点P 在弧AB 上（不含点A 、B ），把AOP 沿OP 对折，点A的对应点C怡好落在O上．（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系是______；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论：（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是O的切线，证明：4AB PD=．24．如图，AB是圆的直径，且AD//OC，求证：CD BC=．25．如图，在等腰直角ABC中，=90ACB∠，12AB=,P是AB上一个动点，连结CP，以CP为斜边构造等腰直角CPQ(C、Q、P按逆时针方向），射线PQ与CA交于点D.（1）证明：2=CP CD CA⋅.（2）若12QDDP=,求CP的长.（3）连接AQ，记Q关于直线AC的对称点为Q'，若APC△的外接圆经过Q'，则APQ的面积为________（直接写出答案).26．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点F ，连接OC ，AC ．（1）求证：AC 平分∠DAO ；（2）若∠DAO ＝105°，∠E ＝30°，①求∠OCE 的度数；②若⊙O 的半径为2EF 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】由四边形BCDE 内接于⊙O 知∠EFC=∠ABC=45°，据此得AC=BC ，由EF 是⊙O 的直径知∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°及∠BCF=∠ACE ，再根据四边形BECF 是⊙O 的内接四边形知∠AEC=∠BFC ，从而证△ACE ≌△BCF 得AE=BF ，根据Rt △ECF 是等腰直角三角形知EF 2=20，继而可得答案．【详解】∵四边形BCDE 内接于O ，且135EDC ∠=︒， ∴18045EFC ABC EDC ︒∠=∠=-∠=︒，∵90ACB ∠=︒， ∴ABC 是等腰三角形，∴AC BC =，又∵EF 是O 的直径， ∴90EBF ECF ACB ∠=∠=∠=︒，∴BCF ACE ∠=∠，∵四边形BECF 是O 的内接四边形，∴AEC BFC ∠=∠，∴()ACE BFC ASA ≅△△，∴AE BF =，Rt BEF △中，22222224220EF BF BE BE AE =+=+=+=，Rt ECF △中，45EFC ∠=︒，∴CE CF =，∴2222220CE CF CF EF +===，∴210CF =， ∴10CF =，故选:A ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质及勾股定理．2．A解析：A【分析】连接AO 并延长交O 于点D ，连接BD ；根据同弦所对的圆周角相等可得30D P ∠=∠=︒；再说明AD=6,然后根据在直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半．【详解】解：如图：连接AO 并延长交O 于点D ，连接BD ，30P ∠=︒，30D P ∴∠=∠=︒，∵AD 是O 的直径，6AD =，90ABD ∠=︒，132AB AD ∴==． 故答案为A ．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角为直角是解答本题的关键．3．B解析：B【分析】连接BC ，作AB ，BC 的垂直平分线，交点为点O ，连接OB ，OC ，根据垂直平分线可得AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x ，则OE=16-x ，再根据OB=OC 即可列出方程求得x=7，最后再根据圆的面积公式计算即可．【详解】解：如图，连接BC ，作AB ，BC 的垂直平分线，交点为点O ，连接OB ，OC ，则OB=OC ，AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x ，则OE=16-x ，∵OB=OC ，∴OB 2=OC 2，∴22+(16-x) 2=62+x 2，解得x=7，∴r 2=OB 2=22+92=85，∴圆的面积S=πr 2=85π，故选：B ．【点睛】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用，圆的面积公式，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．4．D解析：D【分析】连接OE ，交AC 于点F ，由勾股定理结合垂径定理求出AF 的长，即可得到结论．【详解】解：连接OE ，交AC 于点F ，∵E 为AEC 的中点，∴OE AC ⊥，F 为AC 的中点，∵12AB =∴6OE AO ==设EF x =，则6OF x =-∵F 为AC 的中点，D 为半圆ADC 的中点，∴DF AC ⊥，DF AF =∵2DE =，∴2DF x AF =+=在Rt △AOF 中，222OA OF AF =+即2226(6)(2)x x =-++， ∴122x =+，222x =-∴2(2)822AC x =+=+或822-∵6AC > ∴822AC =+故选：D【点睛】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，运用勾股定理求出AF 是解题的关键． 5．A解析：A【分析】连接OD 、OE ，根据三角形内切圆证得四边形DBEO 是正方形，在根据勾股定理即可得解；【详解】连接OD 、OE ，如图，O 的半径为r ，∵△ABC 的内切圆O 分别于AB 、BC 、AC 相切与点D 、E 、F ，∴⊥OD AB ，OE BC ⊥，AF=AD=x ，CE=CF=10-x ，易得四边形DBEO 是正方形，∴DB BE OD r ===，∵()()2△1110101022ABC S r AB BC AC r x r r x r r =++=+++-+=+，∵222AB BC AC +=，∴()()2221010x r x r ++-+=， ∴221010r r x x +=-+， ∴()2210525S x x x =-+=--+（0＜x ＜10）． 故答案选A ．【点睛】本题主要考查了切线的性质，三角形的内切圆与圆心，函数图像，准确分析判断是解题的关键．6．B解析：B【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝10，若设半径为r，则OD＝r﹣5，OA＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．【详解】解：∵OC⊥AB，AB＝20，∴AD＝DB＝10，在Rt AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣5）2+102，解得：r＝12.5，∴这段弯路的半径为12.5，故选：B．【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OA的长度．7．C解析：C【分析】设点（-3，4）为点P，原点为点O，先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．【详解】解：∵设点（-3，4）为点P，原点为点O，∴OP5，而⊙P的半径为5，∴OP等于圆的半径，∴点O在⊙P上．故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．8．C解析：C【分析】连接BC，求出∠B＝65°，根据翻折的性质，得到∠ADC+∠B＝180°，进而得到∠BDC=∠B ＝65°．解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°，根据翻折的性质，AC所对的圆周角为∠B，ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠BDC=∠B＝65°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，根据题意添加适当辅助线是解题关键．9．D解析：D【分析】连结BC，则由已知可以求得∠BCD与∠CBD的度数，最后由三角形的内角和定理可以得到∠D的度数．【详解】解：如图，连结BC，则由弦切角定理可知：∠ABC=∠ACE=35°，∵DB与⊙O相切，∴∠CBD=90°-∠ABC=90°-35°=55°，∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=180°-∠ACE-∠90°=55°，∴∠D=180°-∠BCD-∠CBD=70°，故选D ．【点睛】本题考查圆的应用，灵活运用直线与圆相切的性质求解是解题关键．10．D解析：D根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理一一判断即可．【详解】解：A 、任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆，不符合题意；B 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，错误，不符合题意；C 、平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，不符合题意；D 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．C解析：C【分析】过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，由垂径定理得DM ＝3，在Rt △PMD 中，由勾股定理可求得PM 为5即可．【详解】解：过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，如图所示：∵⊙P 与y 轴交于M （0，−4），N （0，−10）两点，∴OM ＝4，ON ＝10，∴MN ＝6，∵PD ⊥MN ，∴DM ＝DN ＝12MN ＝3， ∴OD ＝7，∵点P 的横坐标为−4，即PD ＝4，∴PM 22PD DM +2243+5，即⊙P 的半径为5，故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．12．A解析：A【分析】圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而要先求扇形的弧长，根据扇形的面积公式2360n R S π=，可以求出扇形的半径，就可以求出弧长． 【详解】 解：根据扇形的面积公式2360n R S π=得到：2904360R ππ=； ∴R=4，则弧长9042180cm ππ⋅==， 设圆锥的底面半径为r ，则2π=2πr ；∴r=1cm ．故选：A ．【点睛】 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．二、填空题13．【分析】连接AB 并延长BO 交圆于C 连接ACPAPB 是⊙O 的切线由切线长定理知PA=PB ；又∠P=60°则等腰三角形APB 是等边三角形则有∠ABP=60°BC 是直径；由直径对的圆周角是直角得∠PBC=解析：【分析】连接AB ，并延长BO 交圆于C ，连接AC ，PA 、PB 是⊙O 的切线，由切线长定理知PA=PB ；又∠P=60°，则等腰三角形APB 是等边三角形，则有∠ABP=60°，BC 是直径；由直径对的圆周角是直角得∠PBC=90°，则在Rt △ABC 中，有∠ABC=30°，进而可知AB 的长．【详解】解：连接AB ，并延长BO 交圆于C ，连接AC ，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠P=60°，∴∠PBA=60°；又∵BC是圆的直径，∴CB⊥PB，∠BAC=90°，∴∠ABC=30°，而BC=4，∴在Rt△ABC中，cos30°=AB BC，∴AB=4×32=23．故答案为：23【点睛】本题利用了切线长定理，等边三角形的判定和性质，弦切角定理，直角三角形的性质，正弦的概念求解．注意本题的解法不唯一．掌握相关知识是解题的关键．14．70°【分析】根据题意可以求得∠OAP和∠OBP的度数然后根据∠BAC＝35°即可求得∠P的度数【详解】解：连接OB：∵PAPB是⊙O的两条切线AB是切点AC是⊙O的直径∴∠OAP＝∠OBP＝90°解析：70°【分析】根据题意可以求得∠OAP和∠OBP的度数，然后根据∠BAC＝35°，即可求得∠P的度数．【详解】解：连接OB：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠BAC ＝35°，OA ＝OB ，∴∠BAC ＝∠OBA ＝35°，∴∠PAB ＝∠PBA ＝55°，∴∠P ＝180°−∠PAB−∠PBA ＝70°，即∠P 的度数是70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查切线的性质，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用切线的性质解答问题．15．【分析】根据扇形的面积公式S 扇形=即可求得【详解】解：∵S 扇形=∴r2==3∴r=（负值舍去）故答案为：【点睛】本题主要考查扇形面积的计算解题的关键是掌握扇形面积的计算公式：S 扇形=【分析】根据扇形的面积公式S 扇形=2360n r π 即可求得． 【详解】解：∵S 扇形=2360n r π， ∴r 2=360360 120S n πππ==3， ∴（负值舍去），【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积的计算公式：S 扇形=2360n r π． 16．【分析】如图（见解析）先根据等边三角形的判定与性质可得再根据圆周角定理可得然后根据垂径定理勾股定理可得BC 的长从而可得AB 的长最后利用扇形的面积公式即可得【详解】如图连接OBOCBC 过点O 作于点D 由 解析：218cm π【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得AB BC =，再根据圆周角定理可得120BOC ∠=︒，然后根据垂径定理、勾股定理可得BC 的长，从而可得AB 的长，最后利用扇形的面积公式即可得．【详解】如图，连接OB 、OC 、BC ，过点O 作OD BC 于点D ，由题意得：,60,6AB AC A OB OC cm =∠=︒==，ABC ∴是等边三角形，AB BC ∴=，由圆周角定理得：2120BOC A ∠=∠=︒，OD BC ⊥， 160,22BOD BOC BC BD ∴∠=∠=︒=， 30OBD ∴∠=︒，在Rt BOD 中，2213,332OD OB cm BD OB OD cm ===-=， 263AB BC BD cm ∴===，则剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为()()22606318360cm ππ⨯=，故答案为：218cm π．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形的面积公式等知识点，通过作辅助线，利用到垂径定理是解题关键．17．3或5【分析】分类讨论：当点P 在当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切过P 作PE ⊥CD 与E 根据切线的性质得到PE=1cm 再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm 则⊙P 的圆心在直线AB 上解析：3或5【分析】分类讨论：当点P 在当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE ⊥CD 与E ，根据切线的性质得到PE=1cm ，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm ，则⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，即可得到⊙P 移动所用的时间；当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE ⊥CD 与F ，同前面一样易得到此时⊙P 移动所用的时间．【详解】当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE ⊥CD 与E ，∴PE=1cm ，∵∠AOC=30°，∴OP=2PE=2cm ，∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，∴⊙P 移动所用的时间=822-=3（秒）； 当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE ⊥CD 与F ，∴PF=1cm ，∵∠AOC=∠DOB=30°，∴OP=2PF=2cm ，∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8+2）cm 后与CD 相切，∴⊙P 移动所用的时间=822+=5（秒）． 故答案为3或5．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质. 18．或【分析】由的半径为厘米弦的长为厘米可得等边三角形因此再利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求出弦所对的圆周角注意所对的圆周角有两种情形【详解】解：如图为等边三角形则设弦所对的圆周角为当点在弦所对的优 解析：30或150︒【分析】由O 的半径为r 厘米，弦AB 的长为r 厘米，可得OAB 等边三角形，因此60AOB ∠=︒，再利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求出弦AB 所对的圆周角．注意AB 所对的圆周角有两种情形．【详解】解：如图，OA OB AB r ===，ABO ∴为等边三角形，则60AOB ∠=︒．设弦AB 所对的圆周角为ACB ∠，当点C 在弦AB 所对的优弧上，则60230ACB ∠=︒÷=︒；当点C 在弦AB 所对的劣弧上，则18030150ACB ∠=︒-︒=︒．所以弦AB 所对的圆周角为30或150︒，故答案为：30或150︒．【点睛】本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等，并且等于它所对的圆心角的一半．同时考查了圆内接四边形的对角互补和等边三角形的性质．19．【分析】如图（见解析）先根据圆周角定理可得再根据圆内接四边形的性质即可得【详解】如图在优弧上取一点E 连接BEDE 由圆内接四边形的性质得：故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理圆内接四边形的性质熟练掌 解析：110︒【分析】如图（见解析），先根据圆周角定理可得70BED ∠=︒，再根据圆内接四边形的性质即可得．【详解】如图，在优弧BD 上取一点E ，连接BE 、DE ，140BOD ∠=︒， 1702BED BOD ∠∴∠==︒， 由圆内接四边形的性质得：180110BC ED D B ∠=︒-∠=︒，故答案为：110︒．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 20．或【分析】首先根据题意画出图形然后在优弧上取点C 连接ACBC 在劣弧上取点D 连接ADBD 易得是等边三角形再利用圆周角定理即可得出答案【详解】解：如图在优弧上取点C 连接ACBC 在劣弧上取点D 连接ADBD 解析：30或150︒【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C ，连接AC 、BC ，在劣弧上取点D ，连接AD 、BD ，易得OAB 是等边三角形，再利用圆周角定理，即可得出答案．【详解】解：如图，在优弧上取点C ，连接AC 、BC ，在劣弧上取点D ，连接AD 、BD ，4,4OA OB cm AB cm OA OB AB===∴== OAB ∴是等边三角形，601302180150AOB C AOB D C ∴∠=︒∴∠=∠=︒∴∠=︒-∠=︒∴所对的圆周角度数为：30或150︒故答案为：30或150︒．【点睛】本题考查圆周角定理及等边三角形的判定与性质，注意两种情况．三、解答题21．（1）25°；（2）①8；②259π 【分析】（1）由垂径定理，可知AD BD =，再由圆周角定理求得∠DEB 的度数．（2）①由勾股定理可得AC=4，由垂径定理可知，AC ＝BC ＝12AB ＝4，即可求解； ②根据弧长公式即可求得答案．【详解】解：（1）∵OD ⊥AB ，∴AD BD =，∴∠AOD ＝∠BOD∴∠DEB ＝12∠AOD ＝12×50°＝25°． （2）①∵OC ＝3，OA ＝5，∴AC ＝4，∵OD ⊥AB ，∴12AD BD AB ==， ∴AC ＝BC ＝12AB ＝4， ∴AB ＝8；②∵∠AOD ＝50°，AD BD =，∴∠AOB ＝100°，∵OA ＝5，∴AB 的长＝1005251801809n r πππ⨯==． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理，勾股定理及弧长公式．解答关键是应用垂径定理求得AC ＝BC ＝12AB ＝4． 22．BC ＝8，BD ＝52【详解】解：连接BD ，如图，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，∴BC 22AB AC -22106-8，即BC ＝8；∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠DCA ＝∠BCD ，∴AD BD =，∴AD＝BD，∴在Rt△ABD中，AD＝BDAB×10＝，即BD＝．【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是求出∠ACB=∠ADB=90°．23．（1）平行；（2）PO∥BC，理由见详解；（3）见详解．【分析】（1）由折叠的性质可得∠AOP=∠POC，则有∠AOC=2∠B，进而可得∠AOP=∠B，则问题可得；（2）由题意及折叠的性质可得∠APO=∠CPO，∠A=∠APO，则有∠A=∠PCB=∠CPO，进而问题可证；（3）由题意易得AD∥OC，则有∠APO=∠POC，由∠AOP=∠POC可得∠APO=∠AOP，进而可得△AOP是等边三角形，然后可得四边形AOCP是菱形，∠A=∠DPC=60°，最后根据含30°角的直角三角形的性质可求证．【详解】解：（1）由折叠的性质可得∠AOP=∠POC，∵OC=OB，∴∠B=∠OCB，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOP=∠B，∴PO∥BC，故答案为平行；（2）PO∥BC，理由如下：由折叠的性质可得∠APO=∠CPO，∵OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO，∵∠A=∠PCB，∴∠PCB=∠CPO，∴PO∥BC；（3）证明：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵CD⊥AP，∴AP∥OC，∴∠APO=∠POC，∵∠AOP=∠POC，∴∠APO=∠AOP，∴AP=AO=OP，∴△AOP是等边三角形，∴∠A=60°，AP=AO=OC=PC ，∴四边形AOCP 是菱形，∴∠DPC=∠A=60°，∴∠DCP=30°，∴2PC PD =，即2AO PD =，∵AB=2AO ，∴4AB PD =．【点睛】本题主要考查切线的性质定理及含30°角的直角三角形的性质、菱形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理及含30°角的直角三角形的性质、菱形的性质与判定是解题的关键． 24．证明见解析．【分析】主要是根据弧相等只需要证明弧所对的圆周角相等或者弧所对的圆心角相等即可证明．连接AC 或者OD 都可以证明．【详解】解：连接ACAD//OC∴∠DAC=∠OCAOA=OC∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠BAC∴CD BC =．【点睛】主要是考察学生对圆周角定理的内容的掌握．同时角相等和弧相等之间的转化． 25．（1）ACPPCD ∆∆；（2）210CP =3）6 【分析】（1）根据已知条件证明△ACP ∽△PCD 即可求解；（2）根据等腰直角△ABC 求出2，设QD=x ，得到DP=2x,QP=3x=CQ ，利用勾股定理求出PC ，CD ，代入2=CP CD CA ⋅求出x 即可求解；（3）根据题意可知△APC 的外接圆是以点Q 为圆心，PQ 为半径的圆，求出△AQQ ’、△CQQ’均为等边三角形，再分别求出APQ 的底和高，即可求解．【详解】（1）∵ABC 和CPQ 是等腰直角三角形∴∠A=∠CPQ=45°又∠ACP=∠PCD∴△ACP ∽△PCD ∴CP CD CA CP= ∴2=CP CD CA ⋅；（2）∵在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AB=12∴AB 2=AC 2+BC 2=2AC 2∴设QD=x ∵12QD DP = ∴DP=2x,QP=3x=CQ∴=，=∵2=CP CD CA ⋅∴()2⋅解得∴CP== （3）∵∠CAB=45°，△PCQ 是等腰直角三角形∴△APC 的外接圆是以点Q 为圆心，PQ 为半径的圆∵Q 关于直线AC 的对称点为Q '，∴QC=QQ’=QP=QA=Q’A=CQ’∴△AQQ’、△CQQ’均为等边三角形，故△AQC 为等腰三角形，设AC,QQ’交于H 点，AQ’，PQ 交于G 点根据对称性可知QQ’⊥AC,AQ’⊥PQ ，AH=12 ∵∠QAC=12（180°-120°）=30° ∴QH=12AQ ， ∴AQ 2=QH 2+AH 2=14AQ 2+AH 2解得 ∴=AQ’∵AG=12AQ’=6∴APQ的面积为12QP×AG=12×26×6=6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．26．（1）见解析；（2）①45°，②32．【分析】（1）由切线性质知OC⊥CD，结合AD⊥CD得AD∥OC，即可知∠DAC＝∠OCA＝∠OAC，从而得证；（2）①由AD∥OC知∠EOC＝∠DAO＝105°，结合∠E＝30°可得结果；②作OG⊥CE，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG＝FG＝OG，由OC＝2得出CG＝FG＝OG＝2，在Rt△OGE中，由∠E＝30°可得GE＝3【详解】（1）证明：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC．∴∠DAC＝∠OCA．∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC．∴∠OAC＝∠DAC．∴AC平分∠DAO．（2）①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°．∵∠E＝30°，∴∠OCE＝180°－∠EOC－∠E ＝45°．②作OG⊥CE于点G，∵OC＝2∠OCE＝45°，∴CG＝OG＝2．∴FG＝2．在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝3∴EF＝GE−FG＝32 ．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理等知识，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理是解题的关键．。

微专题之圆周角定理填空题专项：2021年中考数学分类专题提分训练（四）1．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆周上，∠CBD＝20°，则∠A的度数为．2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于D，且AB＝10，则AD 的长为．3．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠AEB的度数为．4．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为．5．如图，已知圆周角∠ACB＝130°，则圆心角∠AOB＝．6．如图，在平面直角坐标系中，半径为3的⊙A经过坐标原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则sin B的值为．7．已知：如图，AB是⊙O的直径，BD＝OB，∠CAB＝30°．请根据已知条件和所给图形，写出2个正确结论（除AO＝OB＝BD外）：．8．如图，在⊙O中，点A在上，∠BOC＝100°．则∠BAC＝°．9．如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠A＝30°，则∠D＝．10．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠AOD等于．11．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝25°，则∠AOD的度数为．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠C＝110°，点E在上，则∠E＝°．13．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0），B在⊙A上，BD是⊙A的一条弦．则sin ∠OBD＝．14．圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是．15．如图点A，B在⊙O上，CD是它的直径，若∠B＝25°，则∠ADC＝度．16．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，点C在弦AB上，且AC＝，点D在弧AB 上，且CD∥OB，则CD＝．17．如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝120°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP＝AC，PD＝2，求AP的长为．18．如图，半径为10的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD．已知DE＝12，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC等于．19．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连结AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是5，BD＝8，则sin∠ACD的值是．20．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD＝°．21．如图，⊙O内有一条弦BC，A为⊙O内一点、其中OA＝3，AB＝4，∠A＝∠B＝60°，则弦BC的长为．22．在半径为1的⊙O中，弦AB的长为，弦AC的长为1，则∠CAB的度数为．23．如图，▱BCDE的顶点B、C、D在半圆O上，顶点E在直径AB上，连接AD，若∠CDE＝68°，则∠ADE的度数为°．24．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结BC．若AB＝2，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为．25．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D．若∠A＝60°，∠ADC＝88°，则∠C的度数是．参考答案1．解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠CBD＝20°，∴∠D＝70°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A＝∠D＝70°（同弧所对的圆周角相等）；故答案是：70°．2．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD＝AB＝10×＝5．故答案为5．3．解：∵∠B＝∠C＝50°，且∠A＝70°，∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．故答案为：60°．4．解：∵A是⊙O上一点，BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，即BC2＝22+42＝20，∵点D在⊙O上且平分，∴BD＝DC，∴在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝20，解得：DC＝，故答案为：．5．解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，如图所示：∵∠ACB＝130°，∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ADB＝100°．故答案为：100°．6．解：⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，如图，∵∠COD＝90°，∴CD为⊙A的直径，∴CD＝6，∵点C（0，2），∴OC＝2，在Rt△OCD中，sin D＝＝＝，∵∠B＝∠D，∴sin B＝．故答案为．7．解：连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝∠CBO＝60°，∴△OBC是等边三角形，∵BD＝OB，∴BD＝OB＝BC＝OC，∴∠D＝∠BCD＝∠CBO＝30°，∴∠A＝∠D，∠OCD＝90°，即OC⊥CD，∴AC＝DC，CD是⊙O的切线．故答案为：此题答案不唯一，如AC＝DC，CD是⊙O的切线等．8．解：如图，在优弧BC上取一点D，且异于B，C，连接BD，CD，则四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠BAC＝180°．∵∠BOC＝100°，∴∠D＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°＝130°，故答案为：130．9．解：∵⊙O的直径CD⊥AB，∠A＝30°，∴＝，∠AOC＝90°﹣∠A＝60°，∴∠D＝∠AOC＝30°．故答案为：30°．10．解：∵CD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝2∠CAB＝2×20°＝40°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣40°＝140°．故答案为140°．11．解：∵∠BCD＝25°，∴∠BOD＝50°，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．故答案为130°．12．解：∵∠BAD+∠C＝180°，而∠C＝110°，∴∠BAD＝180°﹣110°＝70°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣70°）＝55°，∵∠ABD+∠E＝180°，∴∠E＝180°﹣55°＝125°．故答案为125．13．解：∵D（0，3），C（4，0），∴OD＝3，OC＝4，∴CD＝5，连接CD，∵∠OBD＝∠OCD，∴sin∠OBD＝sin∠OCD＝＝．故答案为：．14．解：如图，AB为⊙O的弦，且AB＝OA，则△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠P＝30°，∴∠P′＝180°﹣∠P＝180°﹣30°＝150°．∠P、∠P′都是弦AB所对的圆周角．所以圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是30°或150°．故答案为30°或150°．15．解：∵∠B＝25°，∴∠C＝25°，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°．故答案为65．16．解：延长DC交AO于点E，连接OD，∵CD∥OB，∴∠AEC＝∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝45°，∵AC＝，∴AE＝CE＝1，∴EO＝4﹣1＝3，∵OD＝4，∴由勾股定理可知：DE＝，∴CD＝﹣1，故答案为：﹣117．解：连接AD、OA，∵∠B＝120°，∴∠ADC＝60°，∴∠ACD＝30°，又AP＝AC，∴∠P＝30°，∠DAP＝30°，∴AD＝PD＝2，则CD＝4，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADC＝60°，∴∠OAP＝90°，∴PA是⊙O的切线，∴PA2＝PD•PC＝12，则AP＝2，故答案为：2．18．解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝12，∵AH⊥BC，∴CH＝BH，∵CA＝AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH＝BF＝6．∴BH＝＝＝8，∴BC＝2BH＝16．故答案为：16．19．解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝6，∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝＝，故答案为．20．解：连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝55°，∴∠A＝90°﹣55°＝35°，∴∠BCD＝∠A＝35°，故答案为35°．21．解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°，∴△ADB为等边三角形，∴BD＝AD＝AB＝4，∵OA＝3，∴OD＝1，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD＝，∴BE＝3.5，∴BC＝2BE＝7，故答案为：7．22．解：作OD⊥AB于D，连接OC、OA、OB，如图，则AD＝BD＝AB＝，在Rt△OAD中，∵cos∠OAD＝＝，∴∠OAD＝30°，∵OA＝AC＝OC＝1，∴△OAC为等边三角形，∴∠OAC＝60°，当AC和AB在OA的两侧时，∠CAB＝∠OAC+∠OAB＝60°+30°＝90°；当AC和AB在OA的同侧时，∠CAB＝∠OAC﹣∠OAB＝60°﹣30°＝30°；综上所述，∠CAB的度数为30°或90°．故答案为30°或90°．23．解：∵四边形BCDE为平行四边形，∴∠B＝∠CDE＝68°，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣68°＝112°，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝112°﹣68°＝44°．故答案为44．24．解：连接OB，如图所示：∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOE＝2∠BCD＝45°，∵直径CD⊥弦AB，AB＝2，∴BE＝AB＝1，∠OEB＝90°，∴OB＝BE＝，即⊙O的半径为．故答案为：．25．解：∵∠ADC＝∠A+∠B，∠A＝60°，∠ADC＝88°，∴∠B＝28°，∴∠AOC＝2∠B＝56°，∵∠ADC＝∠AOC+∠C，∴∠C＝88°﹣56°＝32°．故答案为：32°．。