2023-2024学年北京市丰台区高一(上)期末数学试卷【答案版】

第1页（共15页） 2023-2024学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1≤x＜2}，则A∩B＝（ ）

A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}

2．下列函数在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）

A．y＝lnx B．y＝cosx C．y＝ex

D．y＝﹣|x|

3．若a＞b＞0，c＞d，则下列结论一定成立的是（ ）

A．a﹣b＜0 B．a+c＞b+c C．ac＞bc D．ac＞bd

4．已知𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝜋4)=2，则tanα的值为（ ）

A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣1

5．𝑙𝑔2+𝑙𝑔5−8−13+√(1−𝜋)

2

=（ ）

A．𝜋−1

2 B．π﹣2 C．4﹣π D．3

2−𝜋

6．函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥−𝜋

2)，则（ ）

A．f（x）是最小正周期为2π的奇函数 B．f（x）是最小正周期为2π的偶函数

C．f（x）是最小正周期为π的奇函数 D．f（x）是最小正周期为π的偶函数

7．函数f（x）＝2x

+x，g（x）＝log

2x+x，ℎ(𝑥)=

√𝑥+𝑥的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为

（ ）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b

8．若α，β都是第一象限角，则“sinα＞sinβ”是“tanα＞tanβ”成立的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”学习是日积月累的过程，每天

进步一点点，前进不止一小点．若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a，甲同学每天的“进步”率和

乙同学每天的“退步”率均为2%．n天后，甲同学的知识储备量为（1+2%）n

a，乙同学的知识储备量

为（1﹣2%）n

a，则甲、乙的知识储备量之比为2时需要经过的天数约为（ ）（参考数据：lg2≈0.3010，

lg102≈2.0086，lg98≈1.9912）

A．15 B．18 C．30 D．35

10．记R（A）为非空集合A中的元素个数，定义𝐴∗𝐵={𝑅(𝐴)−𝑅(𝐵)，

𝑅(𝐴)≥𝑅(𝐵)

𝑅(𝐵)−𝑅(𝐴)，

𝑅(𝐴)＜

𝑅(𝐵)．若A＝{1，2}，B第2页（共15页） ＝{x|（x2

+ax）（x2

+ax+5）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则R（S）等于

（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑔𝑥+

√4−𝑥的定义域为 ．

12．能说明“关于x的不等式x2

﹣ax+2a＞0在R上恒成立”为假命题的实数a的一个取值为 ．

13．已知函数𝑓(𝑥)={𝑙𝑜𝑔

2𝑥，

𝑥＞

0

𝑥3

+1，

𝑥≤0，若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范

围是 ．

14．已知f（x）＝2cos2

x﹣sinx，则𝑓(𝜋

6)= ，f（x）的最小值为 ．

15．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，基本的双曲函数有：双曲正弦函数𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑥)=𝑒𝑥

−𝑒−𝑥2，双曲

余弦函数𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)=𝑒𝑥

+𝑒−𝑥2，双曲正切函数𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑥)=𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑥)𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)．给出下列四个结论：

①函数y＝cosh（x）是偶函数，且最小值为2；

②函数y＝sinh（x）是奇函数，且在R上单调递增；

③函数y＝tanh（x）在R上单调递增，且值域为（﹣1，1）；

④若直线y＝t与函数y＝cosh（x）和y＝sinh（x）的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为x

1，

x

2，x

3，则𝑥

1+𝑥

2+𝑥

3＞

𝑙𝑛(1+

√

2)．

其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

16．（13分）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+10}，B＝{x|x2

﹣4x﹣21≤0}．

（Ⅰ）若a＝0，求∁

RA，A∪B；

（Ⅱ）若B⊆A，求实数a的取值范围．

17．（14分）已知函数f（x）＝2|

x|

．

（Ⅰ）画出函数f（x）的图象，并写出函数f（x）的值域及单调区间；

（Ⅱ）解不等式f（x）≥16；

（Ⅲ）若f（x）≥a2

﹣a+1恒成立，求实数a的取值范围． 第3页（共15页）

18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α和角β的顶点均与坐标原点O重合，始边均为x轴的非负半

轴，终边分别与单位圆交于P，Q两点，若P，Q两点关于y轴对称，点P位于第一象限，横坐标为3

5．

（Ⅰ）求cos（α﹣β）的值；

（Ⅱ）求𝑠𝑖𝑛(𝜋

2+𝛼)−𝑐𝑜𝑠(𝜋

2+𝛽)

𝑠𝑖𝑛(−𝛼)+𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝛽)的值．

19．（15分）已知函数𝑓(𝑥)=

√3𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥+𝑐𝑜𝑠2

𝜔𝑥−12，其中0＜ω＜2．从条件①、条件②、条件③

中选择一个条件，解决下列问题．

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅲ）若存在x

0∈[0，m]，使得f（x

0）＝﹣1，求实数m的取值范围．

条件①：𝑓(𝜋6)=1；

条件②：𝑓(5𝜋

12)=0；

条件③：f（x+π）＝f（x）．

20．（15分）2023年9月23日第十九届亚运会在杭州开幕，本届亚运会吉祥物是“琮琮”、“莲莲”、“宸

宸”．某商家成套出售吉祥物挂件，通过对销售情况统计发现：在某个月内（按30天计），每套吉祥物

挂件的日销售价格f（x）（单位：元）与第x天（1≤x≤30，x∈N）的函数关系满足𝑓(𝑥)=30+𝑘

𝑥（k为

常数，且k＞0），日销售量g（x）（单位：套）与第x天的部分数据如下表所示：

x 15 20 25 30

g（x） 650 645 650 655

设该月吉祥物挂件的日销售收入为M（x）（单位：元），已知第15天的日销售价格为32元．

（Ⅰ）求k的值； 第4页（共15页） （Ⅱ）根据上表中的数据，若用函数模型g（x）＝a|x﹣m|+b来描述该月日销售量g（x）与第x天的变

化关系，求函数g（x）的解析式；

（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的结论，求M（x）的最小值．

21．（14分）设n∈N*

，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“n﹣无和划分”：

①A∪B∪C＝{1，2，⋯，n}；

②A∩B＝∅，B∩C＝∅，A∩C＝∅；

③1∈A，且C中的最小元素大于B中的最小元素；

④∀x∈A，y∈B，z∈C，必有x+y∉C，y+z∉A，z+x∉B．

（Ⅰ）若A＝{1，3}，B＝{2，4}，C＝{5，6}，判断A，B，C是否是“6﹣无和划分”，并说明理由．

（Ⅱ）已知A，B，C是“n﹣无和划分”（n≥4）．

（i）证明：对于任意m，k∈C（m＜k），都有k﹣m≠1；

（ii）若存在i，j∈C，使得j＝i+2，记Ω＝A∪B∪C．证明：Ω中的所有奇数都属于A．

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参考答案与试题解析

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1≤x＜2}，则A∩B＝（ ）

A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}

解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1≤x＜2}，

∴既属于A，又属于B的元素x，满足不等式﹣1≤x＜1，即A∩B＝{x|﹣1≤x＜1}．

故选：B．

2．下列函数在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）

A．y＝lnx B．y＝cosx C．y＝ex

D．y＝﹣|x|

解：根据对数函数的性质可知，y＝lnx在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；

y＝cosx在（0，+∞）上不单调，不符合题意；

y＝ex

（0，+∞）上单调递增，不符合题意；

当x＞0时，y＝﹣|x|＝﹣x单调递减，符合题意．

故选：D．

3．若a＞b＞0，c＞d，则下列结论一定成立的是（ ）

A．a﹣b＜0 B．a+c＞b+c C．ac＞bc D．ac＞bd

解：对于A，因为a＞b＞0，所以a﹣b＞0，故A不正确；

对于B，在不等式a＞b的两边都加上c，可得a+c＞b+c，故B正确；

对于C，a＞b，当c为负数时，ac＜bc，故C不正确；

对于D，当a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣4时，满足a＞b＞0，c＞d，

此时ac＝bd＝﹣4，故ac＞bd不成立，D不正确．

故选：B．

4．已知𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝜋

4)=2，则tanα的值为（ ）

A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣1

解：∵已知tan（α−𝜋4）＝2，则tanα＝tan[（α−𝜋4）+𝜋4]=𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝜋4)+𝑡𝑎𝑛𝜋4

1−𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝜋4)𝑡𝑎𝑛𝜋

4=2+11−2×1=−3．

故选：C．

5．𝑙𝑔2+𝑙𝑔5−8−13+√(1−𝜋)

2

=（ ）

A．𝜋−12 B．π﹣2 C．4﹣π D．3

2−𝜋