山东科技大学高等代数2004--2017年考研初试真题

1．若 W1 W2 , 则W2 W1 ； 2．当V是有限维时，若W1是 A 子空间，则 W1 是 A 子空间，其中A 是V上的任一正交变换。
为正定二次型 4．已知a1a2…as的秩为 r (r 0) ，证明：a1a2…as中任意r个线性 无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。 5．设T是R2的一个线性变换，向量
二、（20分） 1、设 f ( x) x 2 x 2 , A 为 n 阶方阵，且 f ( A) 0 ，证明矩阵 A 与矩阵 A 2 E 可逆，并求 ( A 2 E ) 1 （其中 E 为单位矩阵）。 2、将矩阵 A 的第 i 列与第 j 列交换得到矩阵 B ，试证矩阵 B 可 逆，并求 B 1 A . 三、（25分） 1、设向量组 1 , 2 , , m 可以由向量组 1 , 2 , , n 线性表示， 且二向量组有相同的秩，试证二向量组等价。 2、设 A, B 为 n 阶方阵，满足 ABA B 1 ，证明：
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科目代码：401
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山东科技大学2005年招收硕士学位研究生入学考试
高等代数试题
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一．（共70分，每小题14分） 1．试确定A，B，使得 x 1 是多少项式
二．（20分）设A是n级方阵，证明：存在一个n级方阵 B 0 使 AB 0 的 充分必要条件是 A 0 。 三．（20分） M n ( F ) 表示数域F上的全体n级方阵构成的线性空间，试证 ： 1．N级对称矩阵的集合W1和n级反对称矩阵的集合W2都是 MBaidu Nhomakorabean ( F ) 的 线性了空间； 2． M n ( F ) W1 W2 四．（20分）设
0
1、证明 A 2 E 可逆，并求 ( A 2 E ) （其中E为单位矩阵） 2、将矩阵A的第i与j列交换后得到矩阵B，证明B可逆，并求B-1A 三、（25分）当a取何值时下列方程组有唯一解；有无穷多解；无解？当有解时，请求之。 ax1 x 2 x3 1 (a 1) x1 (a 1) x 2 2 x3 2 (2a 1) x 3 x (a 2) x 3 1 2 3 四、（15分）设 A (aij ) 为n阶非零实方阵，并且 aij Aij , i, j 1,2, , n, 其中 Aij 为元素 aij 的代数余子式， 1、证明A可逆。 2、求 A
科目代码：401
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第1页 六、（15分）设 为线性空间V上的线性变换， a V ，若 k 1 (a ) 0 ，但 k (a ) 0 ，试证
山东科技大学2004年招收硕士学位研究生入学考试 高等代数试卷 （共2页）
一、（20分）设 f ( x) 、 g ( x) 、 h( x) 为三个多项式，并且 ( f ( x), g ( x)) 1 ， ( f ( x), h( x)) 1 证明： 1、 ( f ( x), g ( x)) 1 2、 ( f ( x) g ( x), f ( x) g ( x)) 1 二、（20分）假设 f ( x) x x 7 ，A为n阶方阵，且 f ( A) 0
1
2、 1 , 2 至少有一个公共特征微量 。 3、设A，B在 1 , 2 在同一组标准正交基下的矩阵，试证：存在正交矩阵Q，使得QTAQ与Q TBQ同时为对角形矩阵（QT为Q的转置矩阵）
x1 1 1 1 五、（20分）设 A 3 1 1 ， X x 2 ， x 3 3 1 3 T 1、求二次型 f X AX （XT为X的转置） 2、用正交换化二次型f为标准型 3、二次型f是否为正定二次型
rank ( E AB ) rank ( E AB ) n
其中 E 为 n 阶单位矩阵， rank ( ) 表示矩阵的秩。
四、（20分）当参数 取何值时下列方程组有唯一解？有无穷多解？ 无解？当有无穷多解时，请求之。
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 2 3 1
a1
Ta1
,a
0 1
0 1 2
2


2 1
在变换T下的像是
, Ta
1 0 2
2 3 ，试求：T在基
e1
,e
0 1 下的矩阵。
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山东科技大学2006年招收硕士学位研究生入学考 试 401高等代数
一、（10分）求下列行列式的值。
x1 a1 a1 a1 a2 x2 a2 a2 a3 an a3 an x3 an a3 xn
f ( x) Ax n 1 Bx n 1(n 1)
的二重因式。 2．证明方阵A的最小多项式是唯一的。 3．证明实二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 5 x12 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
1 4 2 A 0 3 4 0 4 3 k 求 A （其中k为正整数） 五．（20分）设V是欧氏空间，W1与W2是V的两上子空间试证：
2
, (a), , k 1 (a) 线性无关。
1 2 6 七、（20分）设 A 1 0 3 ，求矩阵A的各阶行列式因子，不变因子及初等因子，写 1 1 4 出矩阵A的Jordan标准形。
八、（15分） 1 , 2 为n维欧氏空间V上的对称变换，且 1 2 2 1 ，证明： 1、若 0 是 1 的特征值，则特征子空间 V 为 2 的不变子空间。