2018届高三数学二轮复习课时作业专题三第二讲 数列的综合应用

知能专练（十一） 数列的综合应用一、选择题1．(2018届高三·金华十校联考)已知 S n 为数列{a n }的前 n 项和，且满足 a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ，则 S 2 018＝( )A ．2×31 009－2B ．2×31 009 32 018－1 32 018＋1C. D.22解 析：选 A 由 a n ＋2＝3a n 可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以 S 2 018＝ 1－31 009 31－31 009(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝ ＋ ＝(－2)×(1－31 009)＝1－3 1－32×31 009－2.2．(2017·长沙质检)已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n ≥2 时，a n ＋2S n －1＝n ， 则 S 2 017的值为( )A ．2 017B ．2 016C ．1 009D ．1 008解 析：选 C 因为 a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以 a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，两式相减得 a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又 a 1＝1，所以 S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009.3．数列{a n }的通项公式为 a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前 100项之和 S 100＝( ) A ．200 B ．－200 C ．400D ．－400解析：选 B S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2) ＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两 步为：1 1 1 1第一步：构造数列 1，，，，…， .① 2 3 4 n第二步：将数列①的各项乘以 n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 则 a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝( ) A ．n 2 B ．(n －1)2 C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：选 C a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n n n n n n n ＝ · ＋ · ＋…＋ · 1 2 2 3 n －1 n111＝n 2[＋＋…＋n －1n]1 ×2 2 × 3- 1 -1 1 11 1 ＝n 2(1－－ ＋…＋ －＋ n)2 2 3n －1n －1＝n 2·＝n (n －1)． n1 n π5．设 a n ＝ sin ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在 S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( ) n 25 A ．25 B ．50 C ．75D ．100解 析：选 D 当 1≤n ≤24 时，a n >0，当 26≤n ≤49 时，a n <0，但其绝对值要小于 1≤n ≤24 时相应的值，当 51≤n ≤74 时，a n >0，当 76≤n ≤99 时，a n <0，但其绝对值要小于 51≤n ≤74 时相应的值，∴当 1≤n ≤100 时，均有 S n >0.6．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大 家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下 面数学问题的答案：已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是 20，接 下来的两项是 20,21，再接下来的三项是 20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N ：N >100且该数列的前 N 项和为 2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110解析：选 A 设第一项为第 1组，接下来的两项为第 2组，再接下来的三项为第 3组，依 n n ＋1此类推，则第 n 组的项数为 n ，前 n 组的项数和为.2n n ＋1 由题意可知，N >100，令>100， 2得 n ≥14，n ∈N *，即 N 出现在第 13组之后．1－2n 21－2n 易得第 n 组的所有项的和为 ＝2n －1，前 n 组的所有项的和为 －n ＝2n ＋1－1－2 1－2n －2.设满足条件的 N 在第 k ＋1(k ∈N *，k ≥13)组，且第 N 项为第 k ＋1组的第 t (t ∈N *)个数， 若要使前 N 项和为 2的整数幂，则第 k ＋1组的前 t 项的和 2t －1应与－2－k 互为相反数， 即 2t －1＝k ＋2，∴2t ＝k ＋3，∴t ＝log 2(k ＋3)， 13 × 13＋1∴当 t ＝4，k ＝13时，N ＝＋4＝95<100，不满足题意；229 × 29＋1 当 t ＝5，k ＝29时，N ＝ ＋5＝440；2 当 t >5时，N >440，故选 A.二、填空题- 2 -7．(2018届高三·浙江名校联考)数列{a n}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有a n＋1＝a1＋1 1 1a n＋n，则a n＝________，＋＋…＋＝________.a1 a2 a2 018解析：依题意a n＋1＝a n＋n＋1，故a n＋1－a n＝n＋1，故a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a n－a n－1＝n，n2＋n－2 n2＋n由累加法可得a n－a1＝，a n＝，2 21 2 1 1 1 1 1 故＝＝2 ，故＋＋…＋＝2n2＋n( －n＋1)a n n a1 a2 a2 0184 036(1－＋－＋…＋－)＝.2 019n2＋n 4 036答案：2 2 0198．对于数列{a n}，定义数列{a n＋1－a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1＝2，{a n}的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n＝________.解析：∵a n＋1－a n＝2n，∴当n≥2时，2－2na n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋1－22＝2n.当n＝1时，a1＝2也适合上式，2－2n＋1∴a n＝2n(n∈N*)．∴S n＝＝2n＋1－2.1－2答案：2n＋1－29．已知数列{－n·2n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，S n＋(n＋m)2n＋1<0恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：∵－S n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①－2S n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②21－2n①－②，得S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2.1－2∵S n＋(n＋m)2n＋1<0恒成立，∴2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1<0对任意的正整数n1 恒成立，∴m×2n＋1<2－2n＋1对任意的正整数n恒成立，即m< －1恒成立．2n1∵－1>－1，∴m≤－1，即m的取值范围是(－∞，－1]．2n答案：(－∞，－1]三、解答题- 3 -n10．已知数列{a n}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝，n∈N*.2(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝(2n－1)a n，求数列{b n}的前n项和S n.n解：(1)∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝，①2n－1 ∴当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝，②21 1 ①－②得，2n－1a n＝，∴a n＝(n≥2)，③2 2n1 1又∵a1＝也适合③式，∴a n＝(n∈N*)．2 2n1 (2)由(1)知b n＝(2n－1)·，2n1 1 1 1 ∴S n＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－1)·，④2 22 23 2n1 1 1 1 1S n＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－1)·，⑤2 22 23 24 2n＋1④－⑤得，1 1 1 1 1 1 1S n＝＋2 ＋…＋2n)－(2n－1)·2 (＋＋2 22 23 24 2n＋11 1 1 3 2n＋3＝＋1－－(2n－1)·＝－，2 2n－1 2n＋1 2 2n＋12n＋3∴S n＝3－.2n11．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋1.1(1)证明：{ 是等比数列，并求{a n}的通项公式；a n＋2}1 1 1 3(2)证明：＋＋…＋< .a1 a2 a n21 1证明：(1)由a n＋1＝3a n＋1得a n＋1＋2＝3(a n＋2)，1a n＋1＋2 1 1 3所以＝3，所以数列2}是首项为a1＋＝，公比为3的等比数列，{a n＋1 2 2a n＋21 3 3n－1所以a n＋＝·3n－1，解得a n＝.2 2 23n－1 1 2(2)由(1)知：a n＝，所以＝，2 a n3n－1因为当n≥1时，3n－1≥2·3n－1，- 4 -1 1 所以 ≤ ， 3n －1 2·3n －11 111131 3 1 1 1 3于是 ＋ ＋…＋ ≤1＋ ＋…＋＝2(3n )< ，所以 ＋ ＋…＋ < . 1－a 1 a 2a n3 3n－12 a 1 a 2 a n 212．已知正项数列{a n }，{b n }满足：对任意正整数 n ，都有 a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且 a 1＝10，a 2＝15.(1)求证：数列{ b n }是等差数列； (2)求数列{a n }，{b n }的通项公式；1 1 1 b n(3)设 S n ＝ ＋ ＋…＋ ，如果对任意正整数 n ，不等式 2aS n <2－ 恒成立，求实数 a 的a 1 a 2 a n a n 取值范围．解：(1)证明：由已知，得 2b n ＝a n ＋a n ＋1，①a n ＋21＝b n ·b n ＋1.②由②得 a n ＋1＝ b n b n ＋1.③将③代入①得，对任意 n ≥2，n ∈N *，有 2b n ＝ b n －1b n ＋ b n b n ＋1.即 2 b n ＝ b n －1＋ b n ＋1. ∴数列{ b n }是等差数列．(2)设数列{ b n }的公差为 d ，由 a 1＝10，a 2＝15. 25 5 2经计算，得 b 1＝ ，b 2＝18.∴ b 1＝ ， b 2＝3 2，2 2 5 2 2d ＝ b 2－ b 1＝3 2－ ＝ . 2 2 5 2 2 2∴ b n ＝ ＋(n －1)· ＝ (n ＋4)． 2 2 2n ＋42n ＋3n ＋4∴b n ＝，a n ＝. 2 21211(3)由(2)得＝n ＋3n ＋4＝2(－n ＋4).ann ＋31 11 11 1∴S n ＝2[(－6)－－5 )＋(＋…＋(n ＋4)]4 5n ＋311＝2(.－n ＋4)4b n11n ＋4不等式 2aS n <2－a n 化为 4a (<2－ .4n ＋3－n ＋4)即(a－1)n2＋(3a－6)n－8<0.设f(n)＝(a－1)n2＋3(a－2)n－8，则f(n)<0对任意正整数n恒成立．当a－1>0，即a>1时，不满足条件；当a－1＝0，即a＝1时，满足条件；- 5 -当a－1<0，即a<1时，3a－2f(n)的对称轴为x＝－<0，f(n)关于n递减，2a－115 因此，只需f(1)＝4a－15<0.解得a< ，∴a<1.4综上，实数a的取值范围为(－∞，1]．- 6 -。

(2)在各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0，Sn 是数列 {an}的前 n 项和，若对 n∈N*，不等式 an(λ－2Sn)≤27 恒成立，则实数 λ 的 取值范围为_(－__∞__，__1_7_]_.
∵a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0， ∴(an＋1＋an)(an＋1－3an)＝0， ∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝1， ∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1， Sn＝11－－33n＝32n－12， ∴不等式 an(λ－2Sn)≤27 即 λ≤2Sn＋2a7n＝3n＋32n－71－1 对 n∈N*恒成立，
所以 2an1
2an
＝4，
所以an＋1－an＝2，
所以数列{an}是公差为2的等差数列，
因为a2，a4，a7成等比数列，
所以 a24＝a2a7，
所以(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋12)， 解得a1＝6，
所以an＝6＋2(n－1)＝2n＋4， 因为Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项， 所以Sn＋1＝2bn， 当n≥2时，有Sn－1＋1＝2bn－1， 两式相减得bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1， 当n＝1时，有S1＋1＝b1＋1＝2b1， 所以b1＝1， 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝2n－1，
考向3 错位相减法
例3 (2022·上饶模拟)从①b5－b4＝18b2，②S5＝b4－2，③log3bn＋1－1＝ log3bn这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是正项等比数列，且2an＝an＋1＋ an－1(n≥2)，S3＝b3＝9，b4＝a14，________. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(2)若正项等比数列{bn}，满足 b2＝2,2b7＋b8＝b9，求 Tn＝a1b1 ＋a2b2＋„＋anbn； [解] 设数列{bn}的公比为 q，因为 2b7＋b8＝b9，所以
2＋q＝q2，解得 q＝－1(舍去)或 q＝2， 由 b2＝2，得 b1＝1，即 bn＝2n 1.
－
记 A＝a1b1＋a2b2＋„＋anbn＝1×1＋3×2＋5×22＋„＋ (2n－1)×2n 1，
－
则 2A＝1×2＋3×22＋5×23＋„＋(2n－1)×2n， 两式相减得－A＝1＋2(2＋22＋„＋2n 1)－(2n－1)×2n，
－
故 A＝(2n－1)×2n－1－2(2＋22＋„＋2n 1)＝(2n－1)×
－
2n－1－2(2n－2)＝(2n－3)×2n＋3 所以 Tn＝a1b1＋a2b2＋„＋anbn＝(2n－3)· 2n＋3.
[方法归纳] 1.数列与不等式的综合问题考查类型
1判断数列中的一些不等关系问题； 2以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； 3考查与数列问题有关的不等式的证明问题. 2.解决数列与不等式问题的两个注意点 1利用基本不等式或函数的单调性求解相关最值时，应注意 n 取正整数的限制条件. 2利用放缩法证明不等式、求解参数的范围时，尽量先求和、 后放缩，注意放缩的尺度，否则会出现范围扩大或缩小而得不到正 确的结果.
[变式训练] 已知数列{an}满足 a1＝6，a2＝20，且 an－1· an＋1＝a2 n－ 8an＋12(n ∈N*，n≥2)． (1)证明：数列{an＋1－an}为等差数列； n＋1an nan＋1 (2)令 cn＝ ＋ ，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，求证： nan＋1 n＋1an 2 2n<Tn<2n＋ . 3

P2
P1
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，
求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1
所围成的区域的面积Tn．
O
x 1 x2
x3
x4
x
已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2．
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1

，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝
xn＋1所围成的区域的面积Tn．
y
P4
P3
P2
P1
O
x1 x2
x3
x4
x
数列求和的
基本方法
01
公式法
02
分组求和法
03
错位相减法
04
倒序相加法
05
裂项相消法
考点2：数列与不等式综合问题
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1

，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，