导数中的分类讨论

专题伍破鞭式—分类讨论策略常言道，万丈高楼平地起．越是耸入云霄的摩天大楼，越需要深厚的地基，越是难以撼动的参天大树，越有深入地下的树根，根深才能枝繁叶茂．打牢基础，是解决数学问题的根本所在，而在函数中，单调性是函数最基础的性质，其重要性不言而喻．不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．本专题着重讨论单调性问题，作为函数千里长路最开始的“跬步”，一步步带领大家夯实基础，把最开始的步子迈得稳健，日后才能在函导的道路上越走越远，心生“风景这边独好”的愉悦．单调性讨论在历届高考中占据极其重要的比重，从选填题到压轴大题，单调性讨论的出现频率高，涉及范围广，题型丰富，如：求极值最值，比较函数值的大小等，都离不开单调性的讨论．本专题将详细介绍单调性讨论的策略，将单调性讨论分为含参数和不含参数两大类，简洁明了，选用真题新题讲解，定能拨云见日，MST 必将带你打开函数世界的大门！第一讲 不含参数单调性讨论注意定义域的间断情况 解题步骤：第一步:求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解;定义域需要注意是否是连续的区间); 第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分。

定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分);第三步:求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论);第四步：未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； 第五步:正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；第六步:一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶 导);求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.第七步:借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性,进而判断一阶导函数正负区间段) 第八步：综上所述得圆满.需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段.总之，单调性讨论的核心在于求解导函数的正负区间段，即探讨一阶导函数的图像与x 轴的位置关系，图像在x 轴上方则导函数为正，在下则为负。

ཧᥐ ཧ
【规范解答】（1）令 h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx+x+1﹣x2﹣2x＝lnx+1﹣x2﹣x．（x∈（0，
+∞））．
h′（x）
ᄖ ཧ
2x﹣1
ሺ ཧ ᄖ ሺཧᥐᄖ ．
ཧ
可知：当 x ᄖ时，函数 h（x）取得极大值，h（ᄖ）＝lnᄖ ᥐ1 ᄖ ᄖ
ln2ᥐ ᄖ．h（x）无
极小值．
（2）令 f（x）﹣mg（x）≤0 成立，g（x）＝x2+2x＞0．∴m
①当﹣1ᥐ ᄖ ᄖ 1 即 ᄖ a＜0 时，f（x）在[0，1]单调递增， f（0）＝0，此时 f（x）在区间[0，1]上有一个零点； ②当﹣1ᥐ ᄖ ᄖ＜1 即 a＜ ᄖ时，
若 f（1）＞0 即ᄖ 1＜a＜ ᄖ时，f（x）在[0，﹣1ᥐ ᄖ ᄖ）单调递增，在[﹣1ᥐ ᄖ ᄖ， 1]单调递减， f（0）＝0，此时 f（x）在区间[0，1]上有一个零点； 若 f（1）≤0 即 a ᄖ 1 时，f（x）在[0，﹣1ᥐ ᄖ ᄖ）单调递增，在[﹣1ᥐ ᄖ ᄖ，1] 单调递减， f（0）＝0，此时 f（x）在区间[0，1]上有零点 x＝0 和在区间[﹣1ᥐ ᄖ ᄖ，1]有一个零点 共两个零点； 综上：当 a ᄖ 1 时，f（x）在区间[0，1]上有 2 个零点； 当 a＞ ᄖ 1 时，f（x）在区间[0，1]上有 1 个零点．
②当 a＞1 时，令 f′（x）＝0，解得：x1＝﹣1 ᄖ ᄖ，x2＝﹣1ᥐ ᄖ ᄖ，
x，f′（x），f（x）的变化如下：
x
（﹣∞，x1）
x1
f′（x）
+
0
（x1，x2） x2
﹣
0
（x2，+∞） +
f（x）

导数小专题----单调性的分类讨论函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础，所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。

那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。

这类问题的难点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况。

以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）:第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4种情况（1）偶次根式，根号下整体大于0（2）分式，分母不等于0（3）对数函数，真数大于0（4）()tan ，（）整体不等于ππk +≠2第二步：求函数导数，令0)(,=x f ，解出它的根21,x x注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负第三步：如果两根，要考虑4种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根，也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性，从而得到最值。

（1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围（2）21x x =，得到参数取值范围 （3）21x x >，得到参数取值范围（4）21x x <得到参数取值范围第四步：判断21,x x 把定义域分得每个区域导数的正负，导数大于0，单调增，导数小于0，单调减。

判断导数正负有以下三种方法：（1）数轴穿根法：主要用于导数中只有单一的高次函数或单一的对数指数函数，用得最多（2）函数图像法：主要适用于导数中有高次函数和对数指数函数的混合相乘的式子（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负第五步：综述：把讨论情况单调性相同的合并在一起。

综述是很多人容易忽略的一步，没有这一步，是要扣分的【例题详解】例1.（2011，浙江高考改编）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，求)(x f 单调区间解：该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域） 令0)2)((2)(2'=+--=+-=x a x a x a x x a x f ，解得2,21a x a x -== （第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ）（1）当0>a 时，)(,0)(),,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,('x f x f a x <+∞∈单调减（第三步，1x 存在，2x 不存在得到0>a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当0<a 时，1x 不存在)(,0)(),2-,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,2-('x f x f a x <+∞∈单调减 （第三步，2x 存在，1x 不存在得到0<a 第四步数轴穿根或图像判断正负）（3）当0=a 时，)(,02)(),,0('x f x x f x <-=+∞∈单调减（第三步，21x x =得到0=a 第四步很显然-2x<0恒成立）综上可知：当0>a 时)(),,0(x f a x ∈单调增，)(),,(x f a x +∞∈ 单调减;当0<a )(),2-,0(x f a x ∈时,单调增，)(),,2-(x f a x +∞∈单调减；当0=a 时，)(),,0(x f x +∞∈单调减（第五步综述一定要有）小结：这是一道比较简单的分类讨论单调性，按照我们的步奏，就不会存在漏解的情况。

含参导数问题常见的分类讨论学生1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论:例1.(11全国Ⅱ文21)已知函数f(x)=x 3+3ax 2+(3-6a)x+12a-4 (a ∈R).(1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2):(2)若f(x)在x=x 0处取得极小值,x 0∈(1,3),求a 的取值范围.2.求导后,需要比较导数等于零的不同实根的大小,从而引发讨论:例2.(09辽理)已知函数f(x)=0.5x 2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性;（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--。

解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211(1)[(1)]()a x ax a x x a f x x a x x x--+----'=-+==--------------2分 （i ）若11a -=，即a=2，则2(1)()x f x x-'=，故()f x 在(0,)+∞上单调增加。

（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>。

故()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。

（iii ）若11a ->，即2a >， 同理可得()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。

-----------------6分（2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-， 由于15a <<，故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞上单调增加，从而当210x x <<时，有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--；当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---。