一元二次方程讲义绝对经典实用

一元二次方程根与系数的关系经典讲义（第1课时）【学习目标】掌握一元二次方程根与系数的关系；能运用一元二次方程根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数； 会求一元二次方程两根的倒数和与平方数、两根之差．【知识回顾】【新知讲解】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么12b x x a +=-，12cx x a=．此定理又叫做韦达定理．在使用根与系数的关系时，应注意： 1.不是一般式的要先化成一般式；2.在使用12bx x a +=-时，注意“-”不要漏写；3.能用韦达定理的前提条件是240b ac ∆=-≥.★一元二次方程根的分布对于一元二次方程根的分布的讨论，通常有以下几种情况： 1.有两个正根的条件：00ba ca⎧⎪∆≥⎪⎪->⎨⎪⎪>⎪⎩（当a>0时，简化为000b c ∆≥⎧⎪<⎨⎪>⎩）；2.有两个负根的条件：00ba ca⎧⎪∆≥⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎪⎩（当a>0时，简化为000b c ∆≥⎧⎪>⎨⎪>⎩）； 3.两根异号的条件：0ca<（当a>0时，简化为c>0）； 4.两根异号，且正根绝对值大的条件：00b ac a⎧->⎪⎪⎨⎪<⎪⎩（当a>0时，简化为00b c <⎧⎨<⎩）； 5.两根异号，且负根绝对值大的条件：00b ac a⎧-<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩（当a>0时，简化为00b c >⎧⎨<⎩）． 【典例探究】1．不解方程求两个根之和与积【例1】不解方程，求方程3x 2+2=1﹣4x 两根的和与积．分析：先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解． 解答：解：设x 1，x 2是方程的两实数根，方程化为一般式为3x 2+4x+1=0， 根据题意得，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．点评：本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=，x 1x 2=．总结：在使用根与系数的关系时，应注意： 1.不是一般式的要先化成一般式；2.前提条件是240b ac ∆=-≥；3.在使用12bx x a +=-时，注意“-”不要漏掉．练1．（2014•碑林区校级模拟）方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，则x1+x2和x1x2的值分别是（）A．﹣3和﹣ B．﹣3和 C．3和 D．3和分析：根据根与系数关系，已知方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2．x1+x2=；x1x2=即可．解答：解：已知方程为2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，根据根与系数的关系：x1+x2==3；x1x2==．故选D．点评：本题主要考查根与系数关系，已知系数确定根的相关问题，属于基础题，关键熟练掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．2．已知一元二次方程的两根求系数【例2】（2014春•富阳市校级期末）关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3，求p和q的值．分析：根据根与系数的关系得到0﹣3=p，0×（﹣3）=q，然后解两个方程即可．解答：解：根据题意得0﹣3=p，0×（﹣3）=q，所以p=﹣3，q=0．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．总结：对于含有字母系数的一元二次方程，已知两根的值求字母系数的值，通常根据一元二次方程根与系数的关系求解，并用根的判别式进行检验．此方法要比直接将根代入求系数方便快捷得多．练2．（2015•枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定分析：根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，解得：m=﹣2，n=﹣8，∴m+n=﹣10，故选A．点评：本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．3．已知一元二次方程的一个根求另一个根【例3】（2015•北塘区二模）已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为．分析：设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=6，然后解一次方程即可．解答：解：设方程另一根为t，根据题意得2+t=6，解得t=4．故答案为4．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．总结：已知含字母系数的一元二次方程的一根求另一根，一般有两种方法：把已知根代入方程，求得字母的值，解一元二次方程求出另一根；（2） 根据方程系数中的已知数，利用根与系数的关系，选用两根之和或两根之积，直接求另一根．练3．（2014秋•秭归县校级期中）已知2﹣是一元二次方程x 2﹣4x ﹣c=0的一个根，求另一个根及c 的值．分析：设方程另一个根为x 1，先利用两根之和计算出x 1，然后利用两根之积求出c 的值． 解答：解：设方程另一个根为x 1，根据题意得x 1+2﹣=4，x 1•（2﹣）=c ， ∴x 1=2+， ∴c=（2﹣）（2+）=4﹣3=1．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．4．根据一元二次方程的系数判断两根的正负【例4】（2008•南汇区二模）方程2x 2+3x ﹣5=0的两根的符号（ ） A ．同号 B ．异号 C ．两根都为正 D ．两根都为负分析：根据一元二次方程根与系数的关系，得到方程的两根之和与两根之积，再进一步结合有理数的运算法则进行分析．解答：解：设方程的两根是a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系，得 a+b=＞0，ab=﹣＜0，根据两数的积为负数，则两数必异号，则a ，b 异号． 故选B ．点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，同时能够结合有理数的运算法则判断方程的两根的符号．总结：不解方程判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定； 首先计算判别式，看是大于0还是等于0，如果是等于0，则两根相等，同号； 如果判别式大于0，则计算12x x 的值，如果120x x <，可判断方程的根为一正一负；如果120x x >，再计算12x x +的值，若为正，则两根同为正，若为负，则两根同为负．练4．（2014秋•夷陵区校级月考）方程ax 2+bx ﹣c=0（a ＞0、b ＞0、c ＞0）的两个根的符号为（ ）分析：首先由△=b 2+4ac ＞0，可知方程有两个不等的实数根，再由x 1x 2=﹣＜0可知两根异号． 解答：解：∵ax 2+bx ﹣c=0（a ＞0、b ＞0、c ＞0），∴△=b 2+4ac ＞0，∴方程有两个不等的实数根，设方程ax 2+bx ﹣c=0（a ＞0、b ＞0、c ＞0）的两个根为x 1，x 2， ∵x 1x 2=﹣＜0， ∴两根异号． 故选B ．点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．同时考查了根的判别式．【课后练习】一、选择题1．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）A． B．﹣ C．﹣ D．2．（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣33．（2014•浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，则（）A．x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣1 B．x1+x2=﹣3，x1•x2=1C．x1+x2=3，x1•x2=﹣1 D．x1+x2=3，x1•x2=14．（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣35．（2015•广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=06．（2015•平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（）A．2 B．1 C．1或﹣1 D．﹣17．（2015•东西湖区校级模拟）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（）A．2 B．3 C．4 D．88．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述正确的是（）A．无解 B．有两正根C．有两负根 D．有一正根及一负根二、填空题9．（2015•滨湖区一模）已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为．10．（2015•南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是．11．（2015春•遂宁校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn= ，m+n= ．三、解答题12．（2015•东莞模拟）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．13．（2014秋•番禺区校级月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．14．（2013•防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．课后小测答案：一、选择题1．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）A． B．﹣ C．﹣ D．解：根据题意得x1+x2=﹣=．故选D．2．（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3解：x1•x2=﹣3．故选D．3．（2014•浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，则（）A．x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣1 B．x1+x2=﹣3，x1•x2=1C．x1+x2=3，x1•x2=﹣1 D．x1+x2=3，x1•x2=1解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1．故选A．4．（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选A．5．（2015•广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，故选：A．6．（2015•平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（）A．2 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1解：∵一元二次方程x2+px=2，即x2+px﹣2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，又x1=﹣2x2，∴x2=±1，当x2=1时，x1=﹣2，p=1；当x2=﹣1时，x1=2，p=﹣1．故选C．7．（2015•东西湖区校级模拟）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（）A．2 B．3 C．4 D．8解：设关于x的方程x2﹣6x+m=0的另一个根是t，由根与系数的关系得出：t+2=6，则t=4．故选：C．8．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述正确的是（）A．无解 B．有两正根C．有两负根 D．有一正根及一负根解：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根，又由根与系数的关系，知x1+x2=﹣=2＞0，x1•x2==﹣＜0，所以有一正根及一负根．故选D．二、填空题9．（2015•滨湖区一模）已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为 5 ．解：∵方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，∴x1+x2=5，故答案为：5．10．（2015•南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 3 ，m的值是﹣4 ．解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，解得：m=﹣4，a=3．故答案是：3，﹣4．11．（2015春•遂宁校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn= 2 ，m+n= 4 ．解：∵m和n是方程x2﹣4x+2=0的两个根，∴m+n=4，mn=2．故答案为：2，4．三、解答题12．（2015•东莞模拟）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．证明：∵a=1，b=p，c=q∴△=p2﹣4q∴x=即x1=，x2=，∴x1+x2=+=﹣p，x1•x2=.=q．13．（2014秋•番禺区校级月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．解：设方程另一根为x2，由题意得2•x2=﹣6，解得x2=﹣3，∵2+（﹣3）=k，∴k=﹣1．即它的另一个根为﹣3，k的值为﹣1．14．（2013•防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，∴，解得，，即m，n的值分别是1、﹣2．。

九年级数学 一元二次方程第1讲 一元二次方程的解法目标 理解一元二次方程及其有关概念，会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 一元二次方程的判定，求根公式，一元二次方程的解法与应用考点要求1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ，其中 叫做二次项，a 为二次项系数， 叫做一次项，b 为一次项系数， 叫做常数项注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数,二次项系数不为0；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

一元二次方程定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

例1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）Ａ．()()12132+=+x x Ｂ．02112=-+x xＣ．02=++c bx ax Ｄ．1222-=+x x x练习 1．方程(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ）Ａ．2m =± Ｂ．2m = Ｃ．2m =- Ｄ．2m ≠±2．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根为0，则a 的值为（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．1或1- Ｄ．21⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

例3、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a练习：1、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。

2、若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。

3、方程()()02=-+-+-ac x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -三种方法求解一元二次方程（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

（2）方法：①（配方法）直接开方法；②公式法；③因式分解法例1、（1）()()2221619+=-x x （2）11162492=+-x x例2、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。

例3、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。

一元二次方程讲义(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。