选择压轴题之几何图形最值问题
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题型二 选择压轴题之几何图形最值问题
类型一 线段最值问题
1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为( )
A.1.2 B. 1.3 C.1.4
D. 2.4
第1题图 第2题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是( )
A.125 B. 4 C.245 D. 5
3. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是( )
A.3 B. 2 C.4
D. 5
第3题图 第4题图
4. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则12PB＋PC的最小值是( )
A.3 B. 332 C.3 D. 32＋3
5. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为( )
A.4 B. 5 C.6 D. 7
第5题图 第6题图
6. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为( )
A.25 B. 45 C.23 D.
43
7. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，AD＝4，点M，点N分别在边BC，CD上，则△AMN周长的最小值为( )
A.37 B. 47 C.27＋6
D. 11
第7题图 第8题图
8. 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，5)和(4，0)，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是( )
A.(0，1) B. (0，2) C.(0，3) D. (0，4)
9. 如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为( )
A.43 B. 10 C.87
D. 20
第9题图 第10题图
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP＋12BP的最小值为( )
A.37 B. 6 C.217 D. 4
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，动点F在边BC上运动，连接AF，过点C作CD⊥AF于点D，交AB于点E，则B、D两点之间距离的最小值为( )
A.2 B. 4 C.213－3 D. 213－4
第11题图 第12题图
12. 如图，在等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )
A.30° B. 45° C.60° D. 90°
13. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为A(3，0)、B(33，0)、C(0，5)，点D在第一象限内，且∠ADB＝60°，则线段CD的长的最小值是( )
A.23－2 B. 25－2 C.27－2 D. 210－2
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是( )
A.3 B. 65 C.35
D. 2
第14题图 第15题图 第16题图
15. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边BC、CD的延长线上的动点，且CE＝DF，连接AE、BF，交于点G，连接DG，则DG的最小值为( )
A.3－1 B. 5－1 C.3 D. 5
16. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为( ) A.8 B. 7 C.6 D. 5
类型二 面积最值问题(拓展)
1. 如图，点E为边长为4的等边△ABC的BC边上一动点(点E不与B、C重合)，以AE为边作等边△AEF，则△AEF面积的最小值是( )
A.2 B. 4 C.3 D. 33
第1题图 第2题图
2. (2017合肥蜀山区模拟)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是( )
A.2 B. 4 C.22 D. 42
3. 如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E、F分别是BC、DC上的点，且CE＋CF＝8，若sin∠ABD＝45，BD＝20，则△AEF的面积的最小值为( )
A.24 B. 46 C.64
D. 96
第3题图 第4题图
4. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝135°，AB＝42，点P是菱形ABCD内或边上的一点，且∠DAP＋∠CBP＝90°，连接DP，CP，则△DCP面积的最小值为( )
A.42 B. 8－523 C.4－22 D. 82－8
类型一 线段最值问题
1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. B 7. B 8. D 9. D 10. A
11. D 12. D 13. C 14. B 15. B 16. B
类型二 面积最值问题(拓展)
1. D 2. D几何图形中的最值问题
★1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3.若点D是AB边上任意一点，且不与点A、B重合，连接CD.将△BCD沿着CD所在的直线翻折，使得点B落在点B′处，连接AB′，则AB′的最小值为________．
第1题图
1 【解析】在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：AC＝AB2－BC2＝52－32＝4，由对称性可知：BC＝B′C＝3，∵B′C的长度固定，∴当AB′＋B′C的值最小时，AB′的值最小，根据“两点之间，线段最短”可知当A、B′、C三点共线时，AB′最小，∴AB′＝AC－B′C＝4－3＝1.
★2.如图，在菱形ABCD中，AB＝43，∠ABC＝60°，点M、N分别是BC、CD上任意一点，点P是BD上一点，连接PM、PN，则PM＋PN的最小值为________． 参考答案
第2题图 第2题解图
6 【解析】如解图，作点N关于BD对称的点N′，根据菱形的对称性可知点N′在AD上，又由两平行线之间，垂线段最短，过点N′作N′M⊥BC于点M，故MN′与BD的交点P即满足PM＋PN的值最小，故MN′＝AB·sin∠ABC＝43×32＝6.
★3.如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为________．
第3题图 第3题解图
6 【解析】如解图，作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，∵在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点E是BC中点，∴BE＝CE＝CE′＝6，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴CE′BE′＝CFAB，即612＋6＝CF9，解得CF＝3，∴DF＝CD－CF＝9－3＝6.
★4.如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AO＋BO＝5，延长AO到C，使OC＝3，延长BO到D，使OD＝4，连接BC、CD、DA，则四边形ABCD面积的最大值为________．
第4题图
18 【解析】设OA＝x，OB＝y，∵AO＋BO＝5，∴x＋y＝5，∵延长AO到C，OC＝3，延长BO到D，OD＝4，连接BC、CD、DA，∠AOB＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝12AC·OD＋12AC·OB＝12AC·(OD＋OB)＝12AC·BD＝12(x＋3)(y＋4)，∵x＋y＝5，∴S四边形ABCD＝12(x＋3)(5－x＋4)＝12(x＋3)(9－x)＝－12(x－3)2＋18. ∴四边形ABCD的最大面积为18.
★5.如图，已知四边形ABCD，∠BAD＝120°，CB⊥AB，CD⊥AD，且AB＝AD＝3，点E、F分别是BC、CD边上的动点，那么△AEF周长的最小值是________．
第5题图 第5题解图
63 【解析】如解图，延长AB至点M，使BM＝AB，延长AD至点N，使DN＝AD，连接MN，交BC于点E，交DC于点F.∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴BC、CD是AM、AN的垂直平分线，∴AE＝ME，AF＝FN.∵△AEF的周长＝AE＋EF＋AF＝ME＋EF＋FN＝MN，∴此时△AEF的周长为线段MN的长．∵AB＝AD＝3，∴AM＝AN＝6，∵∠BAD＝120°，∴∠M＝∠N＝30°，∴MN＝2AM·cos30°＝12×32＝63.
