2.1.1 等式的性质与方程的解集
教学课时：1课时
教学目标：
1、 使学生学会用量词和逻辑语言呈现等式的性质；
2、 训练学生掌握用集合呈现方程的解集；
3、 使学生学会用“十字相乘法”分解因式；
4、 让学生体会用符号语言表述，训练学生数学抽象.数学运算的学科素养.
教学重点：
从量词和逻辑的角度呈现等式的性质；从集合的角度呈现方程的解集.
教学难点：
熟练使用“十字相乘法”分解因式.
教学过程：
一、复习回顾：
【学生活动1】
1.自己阅读书P42 —《本章导语》；
2.再举出两个描述相等关系和不等关系的例子.
【设计意图】
使学生体会到相等关系与不等关系是数量关系中的两种重要的类型，它们分别对应的等式与不等式，是代数基础知识的重要组成部分.除了汇总学生所举出的实例外，也可以补充些数学中的实例，如：
（1） 勾股定理：222c a b =+；
（2） 费马大定理：(2,n n n x y z n n +=>且为整数）没有正整数解；
（3） 三角形两边之和大于第三边：,,a c b a b c b c a +>+>+>；
（4） 任何实数的平方非负：20x ≥.
【学生活动2】
3.回忆初中学习过哪些等式的性质；
4.用第一章学习过的量词和符号语言表达上述性质吗；
5.与同伴进行交流.
【设计意图】
回顾等式性质，为后面类比学习不等式性质做铺垫；复习第一章所学知识，学会自然语言与符号语言之间的转换；体会数学表达的简洁美.
二、讲授新课：
（一）等式的性质：
【学生活动3】
6.回答书中P43 — “尝试与发现”中的问题；
7.与同伴交流分类的标准.
【设计意图】
分类的标准可以有很多，可以帮助学生从多种角度认识等式；可以从量词的角度对等式进行分类.
（二）恒等式
含有字母的等式中，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称这样的等式为恒等式，也称等式两边恒等.
1、 平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
2、 两数和的完全平方公式：222()2a b a ab b +=++
【学生活动4】
8.计算：2()a b -和2()a b c ++；
9.思考上面两个等式是恒等式吗？运算结果与222()2a b a ab b +=++ 的关系是什么？
10.用发现的结论继续完成下面的计算：
（1）2()a b c -+；（2）2()a b c --；（3）2
()a b c +-
【设计意图】
借助恒等式教学，复习和介绍一些常用的乘法公式，并从量词的角度帮助学生认识和记忆公式.事实上，在恒等式222()2a b a ab b +=++中，
用b -替换b ，有：222()2a b a ab b -=-+
用b c +替换b ：222222()2()()222a b c a a b c b c a b c ab ac bc ++=++++=+++++ 例1 化简22(21)(1)x x +--．
解 （方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即 22(21)(1)x x +--
22441(21)x x x x =++--+
236x x =+．
（方法二）可以将21x +和1x -分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即
22(21)(1)x x +--
[(21)(1)][(21)(1)]x x x x =++-+--
23(2)36x x x x =+=+．
【设计意图】引导学生对比两种方法的优劣，培养学生选取适当方法进行运算的数学素养. 例2 （1）计算：(6)(1)x x -+
（2）分解因式：256x x ++
【设计意图】对比恒等式两个方向的运算差别；讲解“十字相乘法”分解因式.
【练习1】（1）计算：(2)(3)x x --
（2）分解因式：2
56x x +-
答案：例2（1）256x x --；（2）(2)(3)x x ++
练习1（1）256x x -+；（2）(6)(1)x x +-
（三）方程的解集
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（或根）.
一个方程所有的解所组成的集合叫做这个方程的解集.
例3 求方程2560x x ++=的解集．
解 因为256(2)(3)x x x x ++=++，
所以原方程可以化为(2)(3)0x x ++=，
从而可知20x +=或30x +=，
即2x =-或3x =-，
因此方程的解集为{2,3}--
【设计意图】练习“十字相乘法”；复习集合的表达，可以让学生比较“描述法”与“列举法”的不同表达.
【练习2】求下列方程的解集：
（1）2560x x -+=；（2）2120x x --=；（3）2210x x -+=
答案：（1）{2,3}（2）{4,3}-（3）{1}
【设计意图】巩固“十字相乘法”；熟练解集的表达；可根据学生情况增加适当的练习. 例4 求关于x 的方程2ax =的解集，其中a 是常数．
解 当0a ≠时，在等式2ax =两边同时乘以1a ，得2x a =，此时解集为2a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
． 当0a =时，方程变为02x =，这个方程无解，此时解集为∅．
综上，当0a ≠时，解集为2a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
；当0a =时，解集为∅．
【设计意图】此题可根据学生情况选做；熟悉分类讨论的方法；学会无解的表达为空集.
三、归纳总结：
1.等式的性质
2.恒等式
3.十字相乘法分解因式
4.方程的解集
