数学中考专题二次函数与一元二次方程的关系

课题15 二次函数与一元二次方程的关系

A组 基础题组

一、选择题

1.(2018沧州模拟)下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是( )

A.没有交点

B.只有一个交点,且它位于y轴右侧

C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧

D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧

2.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为( )

A.x1=0,x2=6 B.x1=1,x2=7

C.x1=1,x2=-7 D.x1=-1,x2=7

3.(2018石家庄赞皇模拟)根据下列表格中的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的自变量x与函数y的对应值,判断ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为( )

x 1.43 1.44 1.45 1.46

y=ax2+bx+c -0.095 -0.046 0.003 0.052

A.1.40

C.1.44

4.(2017邯郸模拟)已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示,其中抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),若y<0,则x的取值范围是( )

A.-1

C.x<-1或x>4 D.．．x<-1或x>3

5.抛物线y=2x2-2 x+1与坐标轴的交点个数是( )

A.0 B.1

C.2 D.3

6.(2018邢台宁晋模拟)若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1,x2=2,那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线( )

A.x=1 B.x=2

C.x=

D.x=-

7.(2017唐山模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x=1,下列结论正确的是( ) A.b2>4ac

B.ac>0

C.a-b+c>0

D.4a+2b+c<0

二、填空题

8.(2018廊坊模拟)二次函数y=

x2-x-2的图象如图所示,那么关于x的方程

x2-x-2=0的近似解为

.(精确到0.1)

9.(2018邯郸邯山模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为 .

10.(2017保定莲池一模)已知抛物线y=ax2-4ax与x轴交于点A,B,顶点C的纵坐标是-2,那么a= .

11.(2018孝感中考)如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 .

三、解答题

12.(2018杭州中考)设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).

(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数,说明理由.

(2)若该二次函数图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.

(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.

B组 提升题组

一、选择题

1.(2018陕西中考)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2.(2017浙江杭州中考)设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴,设x=m,下列说法正确的是( )

A.若m>1,则(m-1)a+b>0

B.若m>1,则(m-1)a+b<0

C.若m<1,则(m+1)a+b>0

D.若m<1,则(m+1)a+b<0

3.(2018唐山丰南二模)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m,n(m

A.m

C.a

二、填空题

4.(2018廊坊模拟)根据下列表格的对应值,判断ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的近似值是 (精确到0.1).

x 3.23 3.24 3.25 3.26

ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09

5.(2018张家口模拟)已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,4),B(8,2).如图所示,则能使y1>y2成立的x的取值范围是 .

6.(2018湖州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是 .

三、解答题

7.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为

m,到墙边OA的距离分别为

m,

m.

(1)求该抛物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;

(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案?

答案精解精析

A组 基础题组

一、选择题

1.D 当y=0时,ax2-2ax+1=0,∵a>1,∴Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)>0,则ax2-2ax+1=0有两个根. ∵

>0,且--

=1,∴方程的两根均为正,即函数图象与有两个交点且交点均位于y轴右侧.

2.D ∵二次函数y=x2+mx的对称轴是直线x=3,∴-

=3,解得m=-6,∴关于x的方程x2+mx=7即为x2-6x-7=0,即(x+1)(x-7)=0,解得x1=-1,x2=7.

3.C 由表可以看出,当x取1.44与1.45之间的某个数时,y=0,即这个数是ax2+bx+c=0的一个根.∴ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.44

4.B 由图象知,抛物线与x轴交于(-1,0),对称轴为x=1,∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0).∵y<0时,函数的图象位于x轴的下方,且当-1

5.C 6.C

7.A 由题图知抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确;∵抛物线开口向下,∴a<0,因抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,则ac<0,B错误;∵抛物线过点A(3,0),对称轴是直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),则a-b+c=0,C错误;易知当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,D错误.

二、填空题

8.答案 x1=-1.4,x2=4.4

解析 观察函数图象,可知

x2-x-2 =0的两个根分别在-2与-1、4与5之间,解得

-

利用计算器进一步计算,可得x1在-1.37与-1.38之间,x2在4.37与4.38之间,∴方程

x2-x-2=0的两个近似根是4.4或-1.4.

9.答案 2

解析 ∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,∴-

=1,则-

=2,∴关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为-

=2.

10.答案

解析 y=ax2-4ax=a(x2-4x+4)-4a=a(x-2)2-4a,则顶点坐标是(2,-4a),∴-4a=-2,解得a=

.

11.答案 x1=-2,x2=1

解析 ∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),∴方程组

的解为

即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2,x2=1,∴方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1.

三、解答题

12.解析 (1)根据题意,Δ=b2-4·a[-(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2,

∵(2a+b)2≥0一定成立,

∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个.

(2)对于二次函数y=ax2+bx-(a+b),∵当x=1时,y=a+b-(a+b)=0,

∴抛物线y=ax2+bx-(a+b)不经过点C,而一定经过点A,B.

把点A(-1,4),B(0,-1)分别代入,得

- -

解得

∴抛物线解析式为y=3x2-2x-1. (3)当x=2时,m=4a+2b-(a+b)=3a+b>0①;

∵a+b<0,∴-a-b>0②.

①②相加,得:2a>0.

∴a>0.

B组 提升题组

一、选择题

1.C 把x=1,y>0代入解析式,得:a+2a-1+a-3>0,解得a>1.

∴抛物线的顶点的横坐标为x=-

<0,纵坐标为

=- -

<0,∴这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.

2.C ∵直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象的对称轴,

∴当x=1时,函数取得最大值,且ymax=a+b+c.

∵当x=m(m≠1)时,y=am2+bm+c,

∴a+b+c>am2+bm+c,

即a(m2-1)+b(m-1)<0,整理得(m-1)[(m+1)a+b]<0,

∴当m<1时,(m+1)a+b>0;

当m>1时,(m+1)a+b<0.

故选C.

3.A ∵m,n(m

将y=(x-a)(x-b)-1的图象往上平移一个单位可得二次函数y=(x-a)(x-b)的图象,二次函数y=(x-a)(x-b)的图象与x轴交于点