2018_2019学年高中数学第一章三角函数3蝗制学案北师大版必修420180814262

§3 弧度制

学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度

制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式

和面积公式.

知识点一 角度制与弧度制

思考 1 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？

1

答案 周角的 等于 1度.

360

思考 2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？

答案 在单位圆中，长度为 1的弧所对的圆心角称为 1弧度角，用符号 rad表示.

思考 3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？

答案 在半径为 1的圆中，1弧度的角为长度为 1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样

的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故 1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关.

梳理 (1)角度制和弧度制

1

角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定 1度的角等于周角的

360

在单位圆中，长度为 1的弧所对的圆心角称为 1弧度角.它的单位符号是

rad， 弧度制

读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制

(2)角的弧度数的计算

1l

设 r

是圆的半径，l

是圆心角 α

所对的弧长，则角 α

的弧度数的绝对值满足|α

|＝ .

r

知识点二 角度制与弧度制的换算

思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？

π 180°

答案 利用 1°＝ rad和 1 rad＝ 进行弧度与角度的换算.

180 π

梳理 (1)角度与弧度的互化

角度化弧度 弧度化角度

360°＝2π rad 2π rad＝360°

180°＝π rad π rad＝180°

π

1°＝ rad≈0.017 45

180 180°

1 rad＝ ≈57.30°＝

π

rad 57°18′

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

120 135 150 180 270 360

度 0° 1° 30° 45° 60° 90°

° ° ° ° ° °

弧

度

0 π

180 π 6 π

4 π 3 π

2 2π 3 3π

4 5π 6

π 3π

2

2π

知识点三 扇形的弧长及面积公式

思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？

1 答案 设扇

形的半径为 r

，弧长为 l

，α

为其圆心角的弧度数，则 S

＝ lr

，l

＝αr

.

2

梳理

α

为度数 α

为弧度数

α

πr

扇形的弧长 l

＝

180

l

＝αr

扇形的面积 α

πr

2

S

＝

360 1 1

S

＝ lr

＝

2 2

αr

2

1.1 rad的角和 1°的角大小相等.( × )

π

提示 1 rad的角和 1°的角大小不相等，1°＝ rad.

180

2.用弧度来表示的角都是正角.( × )

提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数.

23.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.( √ )

提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径

大小无关.

类型一 角度与弧度的互化

例 1 将下列角度与弧度进行互化.

7π 11π

(1)20°；(2)－15°；(3) ；(4)－ .

12 5

考点 弧度制

题点 角度与弧度的互化

20π π

解 (1)20°＝ ＝ .

180 9

15π π

(2)－15°＝－ ＝－ .

180 12

7π 7

(3) ＝ ×180°＝105°.

12 12

11π 11

(4)－ ＝－ ×180°＝－396°.

5 5

反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 π rad＝180°

180° 即可

求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以 即可.

π

跟踪训练 1 (1)把 112°30′化成弧度；

5π

(2)把－ 化成度.

12

考点 弧度制

题点 角度与弧度的互化

225 225 π 5π

解 (1)112°30′

＝(

2 )

°＝ × ＝ .

2 180 8

5π 5π 180

(2)

－ 12

＝－(

°＝－75°.

×

π

)

12

类型二 用弧度制表示终边相同的角

例 2 把下列各角化成 2k

π＋α

(0≤α

<2π，k

∈Z)的形式，并指出是第几象限角.

23π

(1)－1 500°；(2) ；(3)－4.

6

考点 弧度制的应用 题点 弧度制的应用

解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.

5π

∴－1 500°可化成－10π＋ ，是第四象限角.

3

23π 11π

(2)∵ ＝2π＋ ，

6 6

23π 11π

∴ 与 终边相同，是第四象限角.

6 6

π

(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)， ＜2π－4＜π.

2

∴－4与 2π－4终边相同，是第二象限角.

反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角 2k

π＋α

(k

∈Z)时，其中 2k

π 是 π 的偶数倍，而

不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.

跟踪训练 2 (1)把－1 480°写成 α

＋2k

π(k

∈Z)的形式，其中 0≤α

≤2π；

2π

(2)在[0°，720°]内找出与 角终边相同的角.

5

考点 弧度制的应用

题点 用弧度制表示终边相同的角

π 74π

解 (1)∵－1 480°＝－1 480× ＝－ ，

180 9

74π 16π 16π

而－ ＝－10π＋ ，且 0≤α

≤2π，∴α

＝ .

9 9 9

16π

∴－1 480°＝ ＋2×(－5)π.

9

2π 2π 180

(2)∵ ＝ × °＝72°，

5 (

π

)

5

2π

∴终边与 角的终边相同的角为 θ

＝72°＋k

·360°(k

∈Z)，

5

当 k

＝0时，θ

＝72°；当 k

＝1时，θ

＝432°.

2π

∴在[0°，720°]内与 角终边相同的角为 72°，432°.

5

类型三 扇形的弧长及面积公式的应用

例 3 (1)若扇形的中心角为 120°，半径为 3，则此扇形的面积为( )

5π 3π 2 3π

A.π B. C. D.

4 3 9

(2)如果 2弧度的圆心角所对的弦长为 4，那么这个圆心角所对的弧长为( )

2 4

A.2 B. C.2sin 1 D.

sin 1 sin 1

考点 扇形的弧长及面积 题点 扇形的弧长及面积公式的应用

答案 (1)A (2)D

2π

解析 (1)扇形的中心角为 120°＝ ，半径为 3，

3

1 1 2π

所以 S

扇形＝ |α

|r

2＝ × ×( 3)

2＝π.

2 2 3

(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角

2

形，半弦长为 2，其所对的圆心角也为 2，故半径长为 .

sin 1

2 4

这个圆心角所对的弧长为 2× ＝ .

sin 1 sin 1

1 1

反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是 S

＝ lr

＝ |α

|r

2，二是 l

＝

2 2

|α

|r

，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度，再计算.

跟踪训练 3 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求圆心角的弧度数.

考点 扇形的弧长及面积 题点 扇形的弧长及面积公式的应用 解 设扇形的半径为 R

，

弧长为 l

，则 2R

＋l

＝4，

1 ∴l

＝

4－2R

，根据扇形面积公式 S

＝ lR

，

2

1

得 1＝ (4－2R

)·R

，

2

l

2

∴R

＝1，∴l

＝2，∴α

＝ ＝ ＝2，

R

1

即扇形的圆心角为 2 rad.

1.下列说法中，错误的是( )

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

1 1

B.1°的角是周角的 ，1 rad的角是周角的

360 2π

C.1 rad的角比 1°的角要大

D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关

考点 弧度制

题点 对弧度制概念的理解

答案 D

解析 根据 1度、1弧度的定义可知只有 D是错误的，故选 D.

5