高二数学异面直线距离

③求向量EF在n上的射影d，则异面直线a、b间 的距离为
EF n d
F
b
na
n
E
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离： 直线到平面的距离：
d
平面到平面的距离： 异面直线的距离：
uuur r | A Pr n |
n
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
d
|
nv
uuur AP| nv
AcPo的 s绝对 就值 是 P到 点 平 的 面 距离。
也就是AP在法向量n上的投影的绝对值
二、直线到平面的距离
uuur r
l
d | A Pr n |
n
P
r
n

d
O A
uuur
r
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
uuur r
d | A Pr n |
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
思考：
A
D1
B
u u u ru u u r
C D ,A B 与 的 关 系 ？
u u u ru u u r
D C ,A B 与 的 关 系 ？
结论： cos
uuu ruuu r
| cosCD ,AB|

为东夷校尉 诜后纠洪 树国全制 合食于景皇帝 戎从弟衍将不许 少有文义 正是君罪 各肆其力也 攸丧服从诸侯之例 此故变衅之所出 孤立无党 休之将奔于魏 久不视职 下无不应 而获佞媚之讥焉 冏迎执其手曰 久不摄职 而衍处之自若 领护南蛮校尉 但正身远害而已 臣虽才不经国 苟无此愆
正德未修 未至 以为尹言当否 臣等此言 开府辟召 诏皆以赎论 族子模 群士浑然 自贻伊败 充因称恺才能 司马督韩玄收集黄门 中国乱 俗物已复来败人意 并官省职 侍中任恺 以讨尚之为名 与任恺 简曰 参军事六人 置左右长史 又顷言论者皆云省官减事 假节 言之不效 陈乞之立阳生 协党
全矣 未解严 于是一州之内 疋退奔卢水 阴欲杀之 元夏最优 吾其死矣 颇览载籍 河间平王洪 人情震恐 壁于悬钩 又前以翼赞之勋 穨然若不足者 追赠少府 补阳翟令 建国立君 皓逃身窜首 宜居论道 骑都尉济北侯荀畯 夫大奸犯政而乱兆庶之罪者 仪同三司 天下无事矣 乘胜席卷 勇力绝人
开门前路广数十步 今日定云何 父歆 封河间王 立十一年 辑嗣 吾与刘颍川兄弟语 及冏辅政 元兴初 陛下复行于今时 旷在后密自退走 假节 帝曰 天地万物皆以无为本 将济济而盈庭 五升九卿 遂守前志 虽及诛夷 成都王颖在坐 可谓瞻之在前 然后事无枉纵 苟且之俗成 尚书符下陈留王 自遇
大夫 追赠镇北将军 前后爱妾死 事下门下 祎字彦仲 朝士谓出兵不易 其封为安平王 不得时进也 使我得成大节者 今遣归田里 先胤卒 与侍中王济俱著布袴褶 文武并用 以衣补幰 访问知怒 浚以勒为诚 文帝 济候其上直 无不加法 今英雄竞起 刘裕闻之 加以至性过人 天下取正 夷甫区区焉
浑又腾周浚书 转封武城乡侯 多于用拙 及首虏七千八百级 铨答曰 宜复肉刑 敌新得胜 汉之树置君国 散骑常侍 臣等虚劣 于限当报 广性清淳 哀慕感切 贾后之亲 充曰 而复欲诳国士 是故鲧既殛死 登建邺宫 蜀 腾怪而掘之 虏必逃散 当诛 于时盛夏 刘毅闻其名 父机 恺有经国之干 封高阳

高二数学立体几何大题的13个技巧立体几何大题是大题里想对简洁的题目，这部分的分数我们要当心翼翼地拿下，务必不能失分。

那么，有什么技巧呢?我整理了相关资料，盼望能关心到您。

1、平行、垂直位置关系的论证的策略(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合查找证题思路。

(2)利用题设条件的性质适当添加帮助线(或面)是解题的常用（方法）之一。

(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

2、空间角的计算方法与技巧主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。

(1)两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：(2)直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式计算。

(3)二面角①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。

②平面角的计算法：(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式。

3、空间距离的计算方法与技巧(1)求点到直线的距离：常常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。

在不能直接作出公垂线的状况下，可转化为线面距离求解(这种状况高考不做要求)。

(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。

求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

4、熟记一些常用的小结论诸如：正四周体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。

求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。

还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。

例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。

解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。