专题复习二 中考数学开放探索题

专题复习二 开放探索题一、知识系统网络为了进行创新教育,培养创造性人才,在近几年的中考命题中,•出现了越来越多的开放探索题.开放探索题的出现,对初中数学教学产生了积极的导向作用,•且有利于落实素质教育.开放探索题主要有三种表示形式:①条件的开放与探索;•②结论的开放与探索;③解题方法的开放与探索.二、中考题型例析1.条件的开放与探索例1 (2004·四川)如图3,已知点C 是∠AOB 平分线上一点,点P 、P•′分别在边OA 、OB 上.如果要得到OP=OP ′,要添加以下条件中的某一个即可,请你写出所有可能结果的序号为:_____ . ①∠OCP=∠OCP ′;②∠OPC=∠OP ′C;③PC=P ′C; ④PP ′⊥OC.解析:本题主要是三角形全等的判定,所添加的条件能使△OPC ≌△OP ′C. 答案:①或②或④.例2 (2003·四川)多项式9x 2+1加上一个单项式后,•使它能成为一个整式的完全平方,那么加上的单项式可以是_________.(填上一个你认为正确的即可) 解析:本题主要考查完全平方公式,按完全平方式得9x 2+1+6x=(3x+1)2,•或9x 2+1-6x=(3x -1)2;还会得到9x 2+1-9x 2=12,9x 2+1-1=(3x)2,9x 2+1+814x 4=(92x 2+1)2. 答案:±6x 或-9x 2或-1或814x 4. 2.结论的开放与探索例3 (2004·北京)我们学习过反比例函数.例如,当矩形面积S 一定时,长a•是宽b 的反比例函数,其函数关系式可以写为a=Sb(S 为常数,S ≠0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例,并写出它的函数关系式.实例:________________;函数关系式:_______________.解析:本题主要考查反比例函数的定义.在现实生活有很多反比例函数的模型,•如:当路程s 一定时,速度v 与时间t 成反比例;当压力F 一定时,压强P 与受力面积S 成反比例等. 答案:当路程s 一定时,速度v 是时间t 的反比例函数;v=st(s 为常数,s ≠0). 例4 (2003·北京)如图,在ABCD 中,点E 、F 在对角线AC 上,且AE=CF.•请你以F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,•猜想并证明它和图中已有的某条线段相等(只需证明一组线段相等即可).(1)连结__________. (2)猜想:________=________.(3)证明:_________.P 'B OF A D E C B O分析:本题立足于一个常见的基本图形,把传统的几何证明题,•改造成一个要求学生发生、猜想、证明的几何题,对于平面几何的教学改革有着重要的指导作用. 答案1:(1)连结BF. (2)猜想:BF=DE.(3)证法1:∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴AD=BC,AD ∥BC. ∴∠DAE=∠BCF. 在△BCF 和△DAE 中,,,,CB AD BCF DAE CF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCF ≌△DAE. ∴BF=DE.证法2:如图,连结DB 、DF,设DB 、AC 交于点O. ∵四边形ABCD 为平行四边形. ∴AO=OC,DO=OB. ∵AE=FC, ∴AO-AE=OC-FC.∴EO=OF.∴四边形EBFD 为平行四边形.∴BF=DE.答案2:(1)连结DF. (2)猜想:DF=BE. (3)证明:略3.解题方法的开放与探索 例5 (2004·桂林)小华为班级设计了一个班徽,图中有一菱形.为了检验小华所画的菱形是否准确,请你以带有刻度的三角尺为工作,•帮小华设计一个检验的方案:_____ __.解析:本题主要考查菱形的判定,可以根据四条边都相等或对角线互相垂直平分来判定四边形是否为菱形.答案:用三角尺测量四边形是否相等或测量对角线是否垂直平分. 例6 (2004·山西)某服装厂里有大量剩余的等腰直角三角形边角布料,•现找出其中一种,测得∠C=90°,AC=BC(如图),•现要从这种三角形中剪出几种不同的扇形,做成不同形状的玩具,要求使扇形的半径恰好在△ABC 的边上,且扇形的弧与△ABC 的其他边相切.请你在下图备用的等腰直角三角形中,设计出所有符合要求的不同的方案示意图.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).C BCB CB CB CB分析:此题是一道立意很新的运用几何知识进行裁剪设计的应用题,且具有开放性和探索性.题目要求以画示意图的方法作答,解答的关键是确定扇形的圆心,•可从圆心在△ABC 的三个顶点上和圆心在△ABC 的三边上两个角度来考虑. 解:如图3-2-6.A B A C B A C BACB例7 (2003·江西)甲、乙两同学做“投球进筐”游戏.商定:每人玩5局,每局在指定线外将一个皮球投往筐中,一次未进可再投第二次,以此类推,但最多只能投6次,当投进后,该局结束,并记下投球次数;当6次都未投进时,该局也结束,•并记为“×”.两人五局投球情况如下:(1)为了计算得分,双方约定:“×”的表示该局得0分,•其他局得分的计算方法要满足以下两个条件:①投球次数越多,得分越低;②得分为正数.请你按约定的要求,用公式、表格、语言叙述等方式,选取其中一种写出一个将其他局的投球次数n 换算成得分M•的具体方案; (2)请根据上述约定和你写出的方案,计算甲、乙两人的每局得分,•填入牌上的表格中,并从平均分的角度来判断谁投得更好.分析:本题文字较多,要求学生具有一定的阅读理解能力,•综合考查了函数的思想、表示方法、数学建模的能力及平均数的意义.本题的开放性及解法的多样化,为学生的探索创造了一个广阔的空间.有许多方案,这里只给出三种.解法1:(1)其他局投球次数n 换算成该局得分M 的公式为M=7-n. (2)M 甲=255=(分).M 乙=053501355++++=(分).故以此方案来判断:乙投得更好.解法2:(1)其他局投球次数n 换算成该局得分M 的公式为M=60n. (2)M 甲=55=(分).M 乙=030153007555++++=(分).故以此方案来判断:甲投得更好.解法3:(1)其他局投球次数n 换算成该局得分M 的方案如下表 (2)M 甲=55=(分).M 乙=053501355++++=(分). 故以此方案来判断:乙投得更好.专题训练一、填空题 1.(2003·长沙)如图1,若AC 、BD 、EF 两两互相平分于点O,•请写出图中的一对全等三角形(只需写一对即可)_________.F AD ECB O DFA21NMEBDAC(1) (2) (3)2.(2003·广州)如图2,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN ≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论是______.(注:将你认为正确的结论都填上) 3.(2004·甘肃)若抛物线过点(1,0),且其解析式中二次项系数为1,•则它的解析式为___________.(任写一个).4.(2004·呼和浩特)如图3,已知AC=DB,要使△ABC ≌△DCB,•只需增加的一个条件是_________或_________.5.(2004·安徽)写出一个当x>0时,y 随x 的增大而增大的函数解析式________.6.(2003·新疆)在△ABC 和△ADC 中,下列三个论断:①AB=AD,②∠BAC=∠DAC,③BC=•DC,将其中的两个论断作条件,另一个论断作为结论写出一个真命题__________.7.(2004·长沙)请用“如果……,那么……”的形式写一个命题:__________________. 8.(2004·南宁)写出一个图象位于一、三象限的反比例函数表示式_________. 9.(2004·潍坊)如图,请写出等腰梯形ABCD(AB ∥CD)特有而一般梯形不具有的三个特征:_________,_________,__________. 二、解答题 1.(2004·南宁)如图,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).①AE=AD ②AB=AC ③OB=OC ④∠B=∠C.DAE CBO2.(2004·江西)如图,已知△ABC 、△DCE 、△FEG•是三个全等的等腰三角形,底边BC 、CE 、EG 在同一直线上,且连结BF,分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、R. (1)求证:△BFG ∽△FEG,并求出BF 的长.(2)观察图形,请你提出一个与点P 相关的问题,并进行解答.DFQ RAP GEC BD A C B3.(2004·大连)阅读材料,解答问题:材料:“小聪设计的一个电子游戏是:一电子跳蚤从P1(-3,9)开始,按点的横坐标依次增加1的规律,在抛物线y=x2上向右跳动,得到点P2、P3、P4、P5…(如图①•所示),过P1、P2、P3分别作P1H2、P2H2、P3H3垂直于x轴,垂足为H1、H2、H3,则S△P1P2P3=S梯形P1H1H3P3-S梯形P1H1H2P2-S梯形P2H2H3P3=12(9+1)×2-12(9+4)×1-12(4+1)×1=1.,即△P1P2P3的面积为1”问题:(1)•求四边形P1P2P3P4•和四边形P2P3P4P5的面积(要求:写出其中一个四边形面积的求解过程,另一个直接写出答案);(2)猜想四边形P n-1P n P n+1P n+2的面积,并说明理由(利用图②).(3)若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2+bx+c,其他条件不变,猜想四边形P n-1P n P n+1P n+2的面积(直接写出答案).①②4.(2004·吉林)如图,梯形ABCD,AB ∥DC,AD=DC=CB,AD 、BC•的延长线相交于G,CE ⊥AG 于E,CF ⊥AB 于F.(1)请写出图中4组相等的线段(已知的相等线段除外);(2)选择(1)中你所写出的一组相等线段,说明它们相等的理由.DF AG ECB答案：一、1.△DOF≌△BOE2.①②③3.y=x2-1或y=x2-2x+1等4.AB=DC,∠ACB=•∠DBC5.y=x或y=-1x或y=x2等6.已知:AB=AD,∠BAC=∠DAC,求证:BC=DC.或已知:AB=AD,BC=DC, 求证:∠BAC=∠DAC.7.略8.y=kx,其中k>0.9.∠A=∠B,∠D=∠C,AD=BC 二、1.已知:①,AE ADAB AC=⎧⎨=⎩或②,AB ACB C=⎧⎨∠=∠⎩或③,AE ADB C=⎧⎨∠=∠⎩求证:①∠B=∠C,或②AE=AD,或③AB=AC.证明:①,,.AE ADA BAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⇒△ABE≌△ACD⇒∠B=∠C;或②,,.AB ACB CA A=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩⇒△ABE≌△ACD⇒AE=AD;或③,,.B CAD AEA A∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩⇒△ABE≌△ACD⇒AB=AC.2.(1)证明:∵△ABC≌△DCE≌△FEG,∴BC=CE=EG=13BG=1,即BG=3.D FQ R A P GEC∴∴FG BG EG FG ==又∠BGF=∠FGE,∴△BFG ∽△FEG.∵△FEG 是等腰三角形,∴△BFG 是等腰三角形. ∴BF=BG=3.(2)A 层问题(较浅显的,仅用到了1个知识点).例如:①求证:∠PCB=∠REC(或问∠PCB 与∠REC 是否相等?)等; ②求证:PC ∥RE.(或问线段PC 与RE 是否平行?)等.B 层问题(有一定思考的,用到了2～3个知识点).例如:①求证:∠BPC=∠BFG 等,•求证:BP=PR 等.②求证:△ABP ∽△CQP 等,求证:△BPC ∽△BRE 等; ③求证:△APB ∽△DQR 等;④求BP:PF 的值等.C 层问题(有深刻思考的,用到了4个或4个以上知识点或用到了(1)中结论).例如:①求证:△APB ≌△ERF;②求证:PQ=RQ 等;③求证:△BPC 是等腰三角形;• ④求证:△PCQ ≌△RDQ 等;⑤求AP:PC 的值等;⑥求BP 的长;⑦求证:PC=3(或求PC 的长)等.A 层解答举例. 求证:PC ∥RE.证明:∵△ABC ≌△DCE, ∴∠PCB=∠REB. ∴PC ∥RE. B 层解答举例. 求证:BP=PR.证明:∵∠ACB=∠REC,∴AC ∥DE. 又∵BC=CE,∴BP=PR.C 层解答举例. 求AP:PC 的值.解:∵AC ∥FG,∴13PC BC FG BG ==,∴. ∵∴∴AP:PC=2. 3.解:(1)如图,由题意知:P1(-3,9),P2(-2,4),P3(-1,1),P4(0,0).S四边形P1P2P3P4=S△P1H1P4-S梯形P1H1H2P2-S梯形P2H2H3P3-S△P3H3P4=12×9×3-12×(9+4)×1-12×(4+1)×-12×1×1=4.S四边形P2P3P4P5=4.(2)四边形P n-1P n P n+1P n+2的面积为4.理由:过点P n-1、P n、P n+1、P n+2分别作P n-1H n-1、P n H n、P n+1H n+1、P n+2H n+2垂直于x轴,垂足分别为H n-1、H n、H n+1、H n+2.设P n-1、P n、P n+1、P n+2四点的横坐标依次为x-1,x,x+1,x+2,•则这两个点的纵坐标分别为(x-1)2,x2,(x+1)2,(x+2)2.所以四边形P n-1P n P n+1P n+2的面积=梯形P n-1H n-1H n+1P n+2的面积-梯形P n-1H n-1H n P n的面积-•梯形P n H n H n+1P n+1-梯形P n+1H n+1H n+2P n+2的面积=32[(x-1)2+(x+2)2]-12[(x-1)2+x2]-12·[x2+(x+1)2]-12[(x+1)2+(x+2)2]=(x-1)2+(x+2)2-x2-(x+1)2=4.(3)四边形P n-1P n P n+1P n+2的面积为4.4.(1)DG=CG;DE=BF;CF=CE;AF=AE;AG=BG.(2)举例说明AG=BG.∵在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC,∴梯形ABCD为等腰梯形.∴∠GAB=∠GBA.∴AG=BG.。