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2011北大自主招生

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2011年北约等十三校联考自主招生数学试卷
1. 已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长.
解一 (引理) 平行四边形的对角线平方和等于四边的平方和. 另一对角线长为

222
2(35)642

.

解二 如图, 设3AB, 5AD, 6BD, 则据余弦定理有
222
2cos2ABADAABADBD
, 于是

222
2cosACDCADDCADCDA

22
352cosABADA
32

, 从而42AC.

2. 求过抛物线2221yxx和2523yxx的交点的直线方程.
解 由上述两方程消去二次项可得6710xy, 此即为过两抛物线交点的直线方程.
3. 在等差数列{}na中，3713,3aa，数列{}na的前n项和为nS，求数列{}nS的最小
项，并指出其值为何？
解 由734aad可得公差4d, 从而121a. 令214(1)0x得6.25x, 故

{}na从第7项开始为正, 所以{}nS的最小项为666S
.

4. 在ABC中，2abc，求证：060C.
证 根据正弦定理有sinsin2sinABC, 从而有
2sincos4sincos2222ABABCC  sincos2sincos2222CABCC
,

导出11sincos2222CAB, 注意到C, 则有26C, 从而3C.
5. 是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？
解 设这四个正实数为1234,,,xxxx, 由于两两乘积互不相等, 因此这四个数也互不相等. 不

妨设1234xxxx, 则有

122xx, 13
3xx

2
3

2

3xx

24
10xx
, 3416xx  2358xx.

故这样的正实数不存在

A
B
C
D
6. 设1F和2F是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与1F，2F都相切，
则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由.
解 设圆1F,2F和C的半径分别为1R,2R和r，圆1F和2F圆心间的距离为d. 圆C的圆心到

1F和2F的距离分别为1d和2
d
. 下面分情况讨论:

1) 若12RRR.
a) 当圆1F和2F相离时, 即2dR. 若圆C和两定圆外切, 则12drRd, 若两定
圆内切于圆C, 则12drRd,C的轨迹是12FF中垂线. 若圆C和两定圆一个外切, 一
个内切(必为定圆内切于圆C),则有12||2ddR,C的轨迹是以1F和2F为焦点的双曲线.
b) 当圆1F和2F相切时, 即2dR. 若圆C和两定圆外切或内切, 则有12dd, C的
轨迹是12FF中垂线. 若圆C和两定圆一个外切, 一个内切, 则有12||2ddR或

12
2ddR
, C的轨迹是直线12FF.

c) 当圆1F和2F相交时, 即02dR. 若圆C和两定圆外切或内切, 则有12dd,
C
的轨迹是12FF中垂线. 若圆C和两定圆一个外切, 一个内切, 则有122ddR, C的轨迹
是以1F和2F为焦点的椭圆.
2) 若12RR, 不防21RR.
a) 当圆1F和2F相离时, 即12dRR. 若圆C和两定圆外切或内切, 则有12||dd

21
RR
, C的轨迹是以1F和2F为焦点的双曲线. 若圆C和两定圆一个外切, 一个内切(必

为定圆内切于圆C), 则有1212||ddRR, C的轨迹是以1F和2F为焦点的双曲线.
b) 当圆1F和2F相外切时, 即12dRR. 若圆C和两定圆外切或内切, 则有
12||dd 21RR, C的轨迹是以1F和2
F
为焦点的双曲线. 若圆C和两定圆一个外切,

一个内切, 则有1212||ddRR或1212ddRR, C的轨迹是直线12FF.
c) 当圆1F和2F相交时, 即2112RRdRR. 若圆C和两定圆外切或内切, 则有

12||dd21RR, C的轨迹是以1F和2
F
为焦点的双曲线. 若圆C和两定圆一个外切, 一
个内切, 则有1212ddRR, C的轨迹是以1F和2F为焦点的椭圆.
d) 当圆1F和2F相内切时, 即21dRR. 若圆C和两定圆外切或内切, 则有

12||dd21RR或1221ddRR, C的轨迹是直线12
FF
. 若圆C和两定圆一个外切,

一个内切, 则有1212ddRR, C的轨迹是以1F和2F为焦点的椭圆.
e) 当圆1F内含于2F时, 即210dRR, 则圆C和两定圆一个外切, 一个内切, 此时

1212ddRR或21
RR
, C的轨迹是以1F和2F为焦点的两个椭圆.

f) 当圆1F和2F圆心重合时, 即0d, 则圆C和两定圆一个外切, 一个内切, 此时
12122RRdd或21
2

RR
, C的轨迹是以1F为圆心的两个圆.

7. 求函数()121...20111fxxxx的最小值.
分析 ()fx可表示成分段函数, 其分段点为1xk (1,2,...,2011k). 在每个分段区间内,
显见()fx为x的线性函数, 其最值在区间端点取得, 因此()fx的最值必在1xk处取得.
解 当1,2,...,2011k时,
11212201111...111...1kkkfkkkkkkk







121122011......kkkkkkkkk







1(2011)(2012)20111006201222kkkkkk


由于函数20111006xx在区间(0,20111006)单调下降, 在(20111006,)单调
增加, 且201110061422.3, 故1fk的最小值在1422k或1423取到. 由于
1592043832.690581422711f, 11184919
832.6907914231423f





,

所以min15920431422711ff.

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北大清华自招报名启动：北大增3专业清华重特长

北大清华自招报名启动：北大增3专业清华重特长

北大清华自招报名启动：北大增3专业清华重特长随着北大清华自主招生简章的公布，2016年的高考大幕也随之拉开。

与往年相比，今年两校的自主招生政策都有调整。

在志愿填报上，清华今年只允许每个考生填报2个与本人特长相关的专业，与去年的“最多可填报3个专业类，每个专业类最多可填5个专业”相比，数量大幅减少，更加强调专业与学生特长的匹配。

北大今年则增加了3个专业向考生开放申请，并且将医学类专业的限定条件放宽，更多考生可以报考。

北大：新增3个专业开放申请北大招办负责人表示，今年北大自主招生涉及校本部15个院系的19个专业，以及医学部的8个专业。

记者注意到，与去年相比，北大自主招生开放申请的专业有所调整。

普通类专业中，元培学院的理科试验班类和文科实验班类合并招生，新增了城乡规划和环境科学与工程类两个专业。

此外，艺术学院的招生专业也发生了变化，从艺术学理论类改为人文科学试验班。

医学部专业中，新增了英语(生物医学英语，五年制)。

同时，医学类专业今年的招生条件也有所调整，面向更多考生开放。

去年的招生简章中，北大招办将普通类专业和医学类专业的报名条件分别列出，今年则将二者的报名条件合并，要求一致，同时将医学类专业的报名条件(理科生、对医学有浓厚兴趣、身体条件符合要求)单独列出。

记者注意到，去年北大对于报考医学类专业的考生仅限于“在高中阶段参加全国中学生学科奥林匹克竞赛(数学、物理、化学、生物学)全国决赛获奖”的考生，今年则同时向“有发明创造或参加科技类、人文社科类竞赛全国决赛或国际比赛获得优异成绩者”和“在北大自主招生专业范围内有相关学科特长、创新潜质，并在国内外相关专业学习实践活动中取得优异成绩者”开放申请。

在招生优惠上，北大招办负责人表示，为了进一步提高选拔的科学性和有效性，北大今年增加了降20分录取的优惠档次，医学类专业的降分幅度不变，仍为降20分至40分录取。

同时，北大还明确了降分幅度为高考总分750分制省份执行标准，高考总分非750分制省份降分幅度按比例折算。

清华北大自主招生测评试题物理自主招生物理测评试题.docx

清华北大自主招生测评试题物理自主招生物理测评试题.docx

清华北大自主招生测评试题物理自主招生物理测评试题（考试时间： 90 分钟，总分 100 分）试题说明： 1 、考试中不准使用计算器2 、计算中，重力加速度一律取g10m / s23 、考试时间 90 分钟，试题满分100 分一、选择题（每小题 4 分，共 48 分。

每个小题的四个选项中，至少有一个正确选项。

全部选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得0分）1、如图所示，电源内阻不能忽略，开关闭合后，灯泡 A 、B 均发光。

现将滑动触头向右移动，下列说法正确的是（A）A 灯变亮、 B 灯变暗（B ）A 灯变暗、 B 灯变亮（C）电源路端一定电压增大（D ）电源的输出功率一定增大2 、如图所示，质量为m1和 m2的两个小球固定在长为2l 的轻杆两端，m1m2。

杆的中点是一水平转轴O ，系统可在竖直面内无摩擦转动，空气阻力不计。

若从杆处于水平位臵由静止释放系统，系统转过900的过程中，以下说法正确的是（重力加速度已知）（A）该过程中系统机械能守恒（B ）球m1的机械能守恒（C）可以求出杆竖直时两球的速率（D ）可以求出杆竖直时轴O 对杆的作用力大小第2题图第3题图3、如图所示，不计重力的正电粒子以一定的水平初速度射入平行金属板间竖直的匀强电场中，则下列说法正确的是（以下各情况，粒子均能穿过电场）（A）增大初速度大小，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位移变大（B ）滑动触头向上移动，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位移变大（C）适当增大两板间距离，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位移变大（D ）适当增大两板间距离，其他条件不变，粒子穿过电场的时间变大4、粗糙水平面上一物体以一定初速度向前滑行，从开始滑行到停止，物体的运动位移为S，运动时间为t ，运动过程中的加速度大小为a，则下列说法正确的是（A）运动位移 S 随初速度增大而增大，随质量增大而减小（B ）运动时间 t 随初速度增大而增大，与质量无关（C）加速度大小 a 随质量增大而减小（D ）位移 S、运动时间 t 、加速度大小 a 都随初速度增大而增大5 、如图所示 ,直角三角形框架ABC（角 C 为直角）固定在水平面上，已知 AC 与水平方向的夹角为300。

“签约”进北大清华的16次鲜为人知的考试机会(高一高二家长老师必看)

“签约”进北大清华的16次鲜为人知的考试机会(高一高二家长老师必看)

“签约〞进北大清华的 16 次鲜为人知的考试时机〔高一高二家长、老师必看〕几乎所有优秀的高中生家长、百强重点高中的老师都非常希望自己的孩子能考入清华和北大。

但是，又有多少家长和高中学校真的了解过清华北大本科招生的高二高三就存在的签约时机呢？当然除了高考这条通道以外，优秀的家长、老师也知道在高三下学期可以报名参加清华北大自主招生、博雅领军方案，知道拼裸考进清北的几率接近于 0；要命的是只有极少数特别优秀的家长和极少数特别优秀的老师才知道清华北大选拔好苗子、给予自主招生博雅领军资格从高二就已经提上日程开始选拔了，而不是在高三下学期报名的时候。

一、竞赛生的北清签约之路〔竞赛签约〕竞赛签约面向的是竞赛省一等奖、或者多科省一获得者、或者奥赛省队选手，对学生的竞赛水平要求非常高。

竞赛营的签约考试难度都在国决冬令营难度，签约的效果可以直接降分之用，后期走形式上的自主招生流程。

数学竞赛营〔三次〕第一次是在每年的 7、8 月份由北大清华官方组织的北清数学竞赛暑期营。

北大叫数学科学夏令营，清华大学叫丘成桐中学生数学夏令营.。

大家不要被名字迷惑，本质上是竞赛高手的对决。

一般浙江、湖南、湖北等强省的高手都在这个暑期营上签走了。

第二次是在每年的10 月份由北大清华官方组织的北清数学竞赛金秋营北大叫金秋营，清华叫物理体验营。

本质是数学竞赛营。

一般签附条件的降分约。

第三次每年 11 月份国决冬令营，不是由北大清华组织，是由中国数学会主办，清华北大招生人员会去现场抢约。

根本上都是签直接降分约，一本约，幅度非常大。

物理竞赛营〔三次〕与数学竞赛营类似，物理竞赛营也是有三次。

第一次是每年的 7、8 月份北大叫物理科学营，清华叫全国优秀中学生物理学夏令营。

一般浙江、湖南、湖北等强省的高手都在这个暑期营上签走了。

第二次每年的 10 月份北清物理竞赛金秋营北大叫金秋营，清华叫物理体验营。

本质是物理竞赛营。

因为有一批顶级高手在暑期竞赛营被欠走了，所以金秋竞赛营的竞争相对没有暑期竞赛营那么剧烈。

北大自考本科难吗

北大自考本科难吗

北大自考本科难吗北大自考本科难度如何？北大自考是指北京大学自主招生的本科学历教育项目，是一种通过自学和考试的方式获得本科学历的途径。

北大自考本科固然具有一定的难度，但相对于传统的在校学习方式，也有其自身的优势。

首先，北大自考的确具有一定的难度。

北大作为一所国内顶尖的大学，其自考本科课程设置和教学质量都是非常高的。

自考的课程安排涵盖了与在校学习的本科课程相同的知识内容，因此需要学员具备较高的自学能力和学习能力。

对于非在校的学生来说，没有教师的指导和监督，需要更强的自觉性和自律性，才能够保证学习的质量和效果。

其次，北大自考的学习内容较为广泛和深入。

北大自考的本科课程设有六个学科门类，包括文学、法学、经济学、管理学、教育学和理学，在每一个学科门类下还有进一步的专业细分。

这些学科门类涵盖了人文、社会科学和自然科学的各个方面，要求学员全面掌握各个学科领域的知识。

这就要求学员在学习的过程中需要有较强的知识储备和综合分析能力，以便更好地应对复杂和多元的考试内容。

然而，与传统的校内学习相比，北大自考本科也有其相对的优势。

首先，北大自考具有时间和空间上的自由度。

学员可以根据自身的时间安排和学习进度进行自主学习，无需考虑上课时间和班级安排的限制，同时也允许学员在全国范围内参加考试。

这就使得学员可以将自己的学习与其他工作和生活需求相协调，更好地实现个人发展和提高。

其次，北大自考本科的学费较低。

相比于传统的在校学习，北大自考本科只需要支付相对较低的学费和考试费用。

这为想要获得本科学历但受经济条件所限的学员提供了一种更为经济和实惠的学习途径，使得教育资源的公平性得到一定的改善。

综上所述，北大自考本科的确具有一定的难度，但相对于传统的在校学习方式，也有其自身的优势。

对于有较强的自觉性和自律性的学员来说，北大自考本科是一种获取高质量本科学历的有效途径。

所以，北大自考本科的难度是相对的，在克服自己的学习问题上就好了。