全等三角形常考题型及详细解答,很全面的保你满意
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一、补充条件型试题
[例1] (1)(06湖北宜昌课改)如图,AB=CD,AD 、BC 相交于点O ,要使△ABO ≌△DCO 。
应添加的条件为__________(添加一个条件即可)
∠A=∠B,∠A=∠C ,∠B=∠C ,∠B=∠D ,AB ∥CD
(2)(05重庆中考题) 如图,已知∠ACB=∠DBC ,要使△ABC ≌△DCB ,只需增加的
一个条件是__________。(只需填写一个你认为合适的条件即可)
BD=CA,∠ABD=∠ACD,∠ABC=∠DCB,
∠A=∠D ,S △ABO=S △CDO
(3)(06深圳中考题) 如图,已知,在△ABC 和△DCB 中,AC=DB,若不增加任何字母
与辅助线,要使△ABC ≌△DCB ,则还需要增加的一个条件是__________ AB=CD,或∠BCA=∠CBD
(4)(04四川中考)如图,D 在AB 上,E 在AC 上,且∠B=∠C ,那么补充下列一个
条件后,仍然无法判断△ABE ≌△ACD 的是( )
A.AD=AE
B.∠AEB=∠ADC
C.BE=CD
D.AB=AC 补充两个三角形中任意一组对应边相等即可,选B 二、组合条件型试题
[例2] (05杭州中考)如图,在△ABC 和△DEF 中,B 、E 、C 、F 在同一直线上,下面有
四个条件,请你在其中选3个座位题设,余下的一个作为结论,下一个真命题,加以证明:①AB=DE ②AC=DF ③∠ABC=∠DEF ④BE=CF
A
B
O
C
D
A D
B C
O A D B C A D
B E
C F
B
A
D
E C
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解析:若所选条件中含有③∠ABC=∠DEF ,则另外两个条件可选择①AB=DE ④BE=CF ,证明全
等的理由是边角边定理。此时的真命题是:在△ABC 和△DEF 中,B,E,C,F 在同一直线上,若∠ABC=∠DEF,AB=DE,BE=CF,则AC=DF.
若所选条件中不含有③∠ABC=∠DEF ,则另外三个条件也可构成一个真命题,此时证
明全等的理由是边边边定理。真命题是:在△ABC 和△DEF 中,B,E,C,F 在同一直线上,若AB=DE,BE=CF,AC=DF,则∠ABC=∠DEF 。
[例3](06湖北中考)如图,给出下列三个式子:①EC=BD; ②∠BDA=∠CEA;③AB=AC 请将
其中的两个式子作为题设,一个式子作为结论,构成一个真命题(形式:如果……,那么……),并给出证明
解析:当条件中含有②∠BDA=∠CEA ,由于∠A 共用,故无论选择①EC=BD 还是③AB=AC 其中
的一个作为条件,剩下的作为结论,均能构成真命题。真命题如下:
如果∠BDA=∠CEA ,EC=BD ,那么AB=AC 如果∠BDA=∠CEA ,AB=AC ,那么EC=BD
当条件中不含有②∠BDA=∠CEA 时,只能以①EC=BD ;③AB=AC 作为条件,不能证明△
ABD ≌△ACE,故不能得出②∠BDA=∠CEA 。此时没有真命题。
三、探索型试题
[例4](06北京课改)如图(1)所示,OP 是∠MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP
所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个做全等三角形的方法,解答下列问题:
(1) 如图(2),在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA
的平分线,AD,CE 相交于点F.请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系
(2) 如图(3),在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而(1)中的其他条件均不变,
请问,你在(1)中得到的结论是否仍然成立?若成立,请证明:若不成立,请
A
D C
B E
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说明理由。
解析:(1)FE=FD.证明:在AC 上取点M,使得AM=AE ,连接FM 。易证△AEF ≌△AMF,
△MCF ≌△DCF,故EF=FM=FD.
(2)在AC 上取点M,使得AM=AE,连接FM 。
∵∠BAD=∠CAD,AF=AF,AE=AM ∴△AEF ≌△AMF ∴EF=FM,∠AFE=∠AFM
∵∠BAD=∠CAD,∠BCE=∠ACE,∠B=60° ∴∠AFC=120°,∠AFE=60° ∴∠MFC=60°=∠DFC ∵∠BCE=∠ACE,CF=CF ∴△MFC ≌△DFC ∴DF=FM=EF
[例5] (2007年北京市中考题)我们知道,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,类似
地,我们定义,至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形。
O
M
N
P (1)
B
C D
A
E
(2) B
D
C A E
F
(3)
A
E
C
B
D
O
F
B
C
D
A
E
(2) M
B
D
C
A
E
F
(3)
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(1) 请写出一个你学过的特殊四边形中师等对边四边形的图形的名称;
(2) 如图,在△ABC 中,点D,E 分别在AB,AC 上,设CD,BE 相交于O ,若∠A=60°,∠DCB=
∠EBC=2
1
∠A,请你写出图中一个与∠A 相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;
(3) 在△ABC 中,如果∠A 是不等于60°的锐角,点D,E 分别在AB,AC 上,且∠DCB=∠EBC=
2
1∠A,探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论。 解析:(1)平行四边形,等腰梯形等等;
(2)与∠A 相等的角是∠BOD(或∠COE),四边形DBCE 是等对边四边形; (3)此时存在等对边四边形DBCE.
如图,作CG ⊥BE 于G 点,作BF ⊥CD 交CD 的延长线于F 点。 ∵∠DCB=∠EBC=
2
1
∠A,BC 为公共边 ∴△BCG ≌△CBF ∴BF=CG
∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A ∠GEC=∠ABE+∠A
∴∠BDF=∠GEC,∴△BDF ≌△CEG
∴BD=CE 故四边形BCED 为等对边四边形 四、借助角平分线造全等
[例6](06郑州中考)如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC,DG ⊥BC 且平分BC,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F.(1)说明BE=CF 的理由;(2)如果AB=a ,AC=b ,求AE,BE 的长。
A
C B
E
G
D
F
A
C
B
E
G D
F
A E
C B D
O
F
G