高中数学 5.2 含有绝对值的不等式 5.2.2 含有绝对值的不等式的证明知识导航学案 苏教版选修45
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5.2.2 含有绝对值的不等式的证明
自主整理
1.对于任意两个实数a、b,设它们在数轴上的对应点分别为A、B,那么|a-b|的几何意义是
____
_________________________________________,即线段AB的____________.
2.绝对值不等式的性质.
(1)|a+b|______________|a|+|b|,当且仅当______________时取“=”.
(2)|a|-|b|______________|a+b|,当且仅当______________时取“=”.
(3)|a-b|______________|a|+|b|,当且仅当______________时取“=”.
(4)|a-b|______________|a|-|b|,当且仅当______________时取“=”.
3.三个实数的绝对值不等式.
|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当______________时取“=”.
高手笔记
1.含有绝对值的不等式的性质定理推广:
(1)|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|;
(2)|a1+a2+a3+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.
2.在应用含有绝对值的不等式求某些函数的最值时,一定要注意等号成立的条件.
名师解惑
对绝对值不等式的几何意义的理解.
剖析:绝对值不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的实质是两个实数的和、差的绝对值与绝对
值的和、差的关系.用向量a、b替换实数a、b时,问题就从一维扩展到二维.当向量a、b
不共线时,a+b、a、b构成三角形,有|a+b|＜|a|+|b|.当向量a、b共线时,若a、b同向(相
当于ab≥0),|a+b|=|a|+|b|;若a、b异向(相当于ab＜0),|a+b|＜|a|+|b|.这些都是利用三
角形的性质定理,如两边之和大于第三边等.这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式,
更易于记忆和利于定理的应用.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的
“尺度”还要仔细把握,如不等式|a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|也成立,因为
|a|-|b|不一定是正数.
讲练互动
【例1】若a＜b＜0,则下列结论中正确的是( )
A.不等式a1＞b1和||1||1ba均不成立
B.不等式ba1＞a1和||1a＞||1b均不成立
C.不等式ba1＞a1和(a+b1)2＞(b+a1)2均不成立
D.不等式||1a＞||1b和(a+b1)2＞(b+a1)2均不成立
解析:∵a＜b＜0,∴a1＞b1成立.
∴|a|＞|b|.∴||1a＜||1b,
即||1a＞||1b不成立.故A错.
由a＜b＜0,得-b＞0,∴a-b＞a.
又∵a-b＜0,a＜0,
∴ba1＜a1,即ba1＞a1不成立.故B正确.
由a＜b＜0,得b1＜a1＜0,
∴a+b1＜b+a1＜0.
∴|a+b1|＞|b+a1|,即(a+b1)2＞(b+a1)2.
故、D错.
答案:B
绿色通道
本题利用不等式的基本性质及绝对值的定义进行推导判断.
变式训练
1.设ab＞0,下列四个不等式:①|a+b|＞|a|,②|a+b|＜|b|,③|a+b|＜|a-b|,④|a+b|＞
|a|-|b|中正确的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
答案:C
【例2】设m等于|a|、|b|和1中最大的一个,当|x|＞m时,求证:|2xbxa|＜2.
分析:本题的关键是如何使用“m等于|a|、|b|和1中最大的一个”这一条件,而|a|、|b|、
1哪一个最大,会有三种不同的情况,较复杂,但不管谁最大,总有m≥|a|,m≥|b|,m≥1成立,
而|xa+2xb|≤|xa|+|2xb|,只需比较|a|与|x|的大小和|b|与|x2|的大小关系即可.
证明:由题意,知m≥|a|,m≥|b|,m≥1,
又∵|x|＞m,∴|x|＞|a|.∴|xa|＜1.
∵|x|＞m≥|b|,∴|xb|＜1.
∵|x|＞m≥1,∴||1x＜1.
∴|xa+2xb|≤|xa|+|2xb|=|xa|+|xb|·||1x＜1+1=2成立.
绿色通道
分析题目时,题目中的语言文字是我们解题的信息来源与依据.而解题时的数学符号语
言也往往需要从文字语言中“翻译”转化过来,准确地理解题目中的文字语言,适当地进行
转化也就成了解题的关键.如本题题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|和1中最大的一
个”转化为符号语言“m≥|a|、|m|≥|b|、m≥1”是证明本题的关键,但如果分情况讨论就
太麻烦了.
变式训练
2.已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)的定义域为［-1,1］.
(1)设|f(x)|的最大值为m,求证:m≥21;
(2)在(1)中,当m=21时,求f(x)的表达式.
(1)证明:∵f(x)=x2+ax+b,x∈［-1,1］且|f(x)|≤m,
∴m≥|f(-1)|,m≥|f(1)|,m≥|f(0)|.
∴4m≥2|f(0)|+|f(1)|+|f(-1)|
-a+b|
≥|(1+a+b)+(1-a+b)-2b|=2.
∴m≥21.
(2)解:由m=21,得|f(0)|=|b|≤21,
∴-21≤b≤21.
①
同理,-21≤1+a+b≤21,-21≤1-a+b≤21.
两式相加,得-1≤2+2b≤1,
∴-23≤b≤-21.
②
由①②得b=-21.
当b=-21时,由-21≤1+a+b≤21,得-1≤a≤0;
③
由-21≤1-a+b≤21,得0≤a≤1.
④
由③④得a=0.
∴f(x)=x2-21.
【例3】已知a、b∈R,a≠0,求证:||2||22aba≥2||2||ba.
分析:本题要证的不等式包含|a+b|、|a-b|、|a|-|b|和2|a|.因而需要利用绝对值不等式的
性质将2|a|化为|a+b+a-b|≤|a+b|+|a-b|,这是一种常用的拼凑法.其次,观察不等式的右
边含有|a|-|b|,而|a|-|b|可能为正值,也可能为负值,需分情况进行讨论.
证明:(1)若|a|≥|b|,左边=||||||||2||||babababaababa≥||||||||babababa=
||1||11baba
,
∵||1ba≤||||1ba,||1ba≤||||1ba,
∴||1ba+||1ba≤||||2ba.
∴左边≥2||||ba=右边.
(2)若|a|＜|b|,左边＞0,右边＜0,
∴原不等式成立.综上可知,原不等式成立.
绿色通道
分析所要证的不等式的结构,抓住特点进行构造,运用绝对值不等式的性质进行适当的
放缩变换,从而证出.
变式训练
3.已知ε＞0,|x-a|＜ε,|y-b|＜ε,求证:|2x-3y+3b-2a|＜5ε.
证明:∵|2x-3y+3b-2a|
=|2(x-a)-3(y-b)|
＜|2(x-a)|+|3(y-b)|
=2|x-a|+3|y-b|＜2ε+3ε=5ε.
【例4】设f(x)=x2-x+3,若|x-a|＜1,求证:|f(x)-f(a)|＜2|a|+2.
分析:本题为函数与不等式的综合问题,实质是用函数表述的不等式,可将不等式的左边代入
“翻译”,再根据绝对值不等式的性质进行变换.
证
明:∵f(x)=x2-x+3,∴|f(x)-f(a)|=|x2-x+3-(a2-a+3)|=|(x2-a2)-(x-a)|=|(x-a)(x+a-1)|=|
x-a|·|x+a-1|.
∵|x-a|＜1,∴|f(x)-f(a)|＜|x+a-1|=|(x-a) +(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1|＜
1+|2a-1|≤1+|2a|+1=2|a|+2成立.
绿色通道
不等式常与函数相结合,将所涉及的函数值“翻译”出来,并逐步变形,构造出能用绝对
值不等式性质的新不等式.本题中,由|x+a-1|改写为|(x-a)+(2a-1)|这是关键的一步变形,
这是因为|x+a-1|中含有x,而不等式的右边为2|a|+2不含x,而有x的信息只有|x-a|＜1,
所以“变形”“构造”在解本题时是关键.
变式训练
4.函数f(x)的定义域为［0,1］,且f(0)=f(1),当x1、x2∈［0,1］,且x1≠x2时,都有
|f(x2)-f(x1)|＜|x2-x1|,求证:|f(x2)-f(x1)|＜21.
证明:不妨设0≤x1＜x2≤1,
若x2-x1≤21,则|f(x2)-f(x1)|＜|x2-x1|≤21,
∴|f(x2)-f(x1)|＜21成立.
若x2-x1＞21,
∵f(0)=f(1),
∴|f(x2)-f(x1)|=|f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)|
≤|f(x2)-f(1)|+|f(x1)-f(0)|
≤(1-x2)+(x1-0)=1-(x2-x1)＜1-21=21.
故|f(x2)-f(x1)|＜21成立.
