西南交通大学2002年全日制硕士研究生招生入学考试试卷 材料力学一、图示结构C 结点与滑块铰接，不计滑块与滑槽间摩擦力，滑块可沿滑槽上下自由移动，AC 与BC 两杆面积相同且均为钢制，面积A=100 2m m ，材料拉压弹性模量5100.2⨯=E MPa ，线性膨胀系数)/1(101206C -⨯=∂,求当BC 杆升温C 050,而AC 杆温度不变时C 处唯一值 。
（15分）A二、一拉杆接头如图所示，板厚t=10 mm ，一直板与铆钉材料允许剪应力[]MPa 120=τ，允许挤压应力[],340MPa c=∂允许拉应力[]MPa 160=∂，试设计铆钉直径d 以及板框b 的值。
(15分)P=90KNPP三、绘制如下图所示外伸梁的剪力、弯矩图。
（15分）P=3KNM e =3.6KN/m0.6m 0.6m 1.2m四、图示外伸梁上荷载P 可以沿梁水平移动，梁截面为槽形，47100.4mm I x ⨯=，材料允许拉应力[]MPa 35=∂拉，允许压应力为[]MPa 140=∂压，求该梁容许荷载p 值。
（15分）(mm)五、图示刚制圆轴受弯矩M 及扭矩T 联合作用，圆轴直径d=18mm ，线测得圆轴表面最低A 点处轴向性应变40100.5-⨯=ε，测得水平轴向切面B 点处450方向上线应变-4-10⨯-4.2=10⨯4.2=-4004545εε及，已知钢材弹性模量,100.25MPa E ⨯=ν=0.3，允许应力[]MPa 170=∂。
试求M 及T 值，并用第三强度理论校核该轴强度。
（15分）六、梁AB 为16#号工字钢，立柱CD 为两根6.3#等边角钢瓶装而成，立柱与梁联接处为铰接，立柱下端为固定端，已知材料弹性模量MPa E 5100.2⨯=，比例极限MPa p 190=σ，取稳定安全系数8.1=w n ，若不计CD 柱压缩模量，试校核CD 立柱稳定性。
（15分）ZyI Z =11.30×106mm 4WZ =141×103mm 3ZI Z =I y =13.17×104mm 4A=614.3mm 2L y =L Z =19.4mm七、用能量法（单位力法或卡式第二定理）求解图示超静定钢架反力，钢架抗弯刚度EI 已知，不考虑剪切与轴力的影响。
上海交通大学2003年硕士研究生入学考试试题高等代数 1. 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=012112001A ，求100A （15分）2. 以22×P表示数域P 上的2阶矩阵的集合，假设1a ，2a ，3a ，4a 为两两互异的数而且他们的和不等于零。
试证明⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=4121111a a a A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=4222221a a a A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=4323331a a a A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=4424441a a a A 是P 上线性空间22×P的一组基（15分）3. 证明：n 阶实对称矩阵A 的秩为r （n r ≤），当且仅当A 可以写成T CBC A =，其中B 为r n ×阶满秩矩阵，C 为r 阶可逆实对称矩阵。
（15分） 4. 假设)()()()()(25442033152210150x f x x f x x f x x xf x f ++++被1234++++x x x x 整除。
证明：)4,3,2,1,0)((=i x f i 被1−x 整除（15 分）5. 设A 为n 阶反对称矩阵，}....,{21n a a a diag B =，其中0>i a ，证明0>+B A （15分）6. n 阶方阵A 满足2A A =，当且仅当)()(A E r A r n −+=（15分） 7. 设A ，B 都是n 阶实方阵，并设λ为BA 的非零特征值。
以BAV λ表示BA关于λ的特征子空间。
证明：（1）λ也是BA 的特征值 （2）维数（BAV λ）＝维数（ABV λ）（20分）8. 设A ，B 都是n 阶正定矩阵，证明AB 的特征值为实数（20分） 9. 记nn P V ×=，P 为数域。
假设V A ∈有特征值i λ（i ＝1,2,….n ）但i λ−（i ＝1,2,….n ）均不是A 的特征值。
试证明：V 的变换X A XA X T +→:ψ为同构（20分）。
兰州大学2009年招收攻读硕士研究生考试试题注意：答案一律写在答题纸上，写在试题上无效 初试科目代码：801 初试科目名称：高等代数一、1、设1234n a a a a a 互不相同的数，证明：()()()()2222123()n f x x a x a x a x a =----在有理数域上不可约;2、证明：数域F 上的()n n o >次多项式()f x 能被它的微商()f x '整除的充分必要条件是(,)nf a b F ∈(x)=a(x-b)，；二、1）n x a a a a xaa Da axa a a a x -=----- 2）133332333333333n D n= 三、设,,,A B C D 均为n 阶实矩阵，且AC=CA 。
证明||A BAD CB C D=-；四、n 级矩阵A 为幂等矩阵（2A A =）充要条件为A A n r()+r(E-)=； 五、设n 级正交矩阵，其特征值均为实数，证明：A 是对称矩阵； 六、,AB 都是n 级正定矩阵，证明：1,A A B -+是正定矩阵； 七、设σ是n 维线性空间V 上的线性变换，()v σ的一组基为123s ββββ，i α是i β的原象，即123()(1,2,3),()i i n i s W L σαβαααα===，证明：1）1V=(0)W σ-⊕； 2）n σσ的秩+的零度=；八、已知矩阵1221002201022100A a B b-==--、问,a b 取何值时A B 与相似，并求可逆矩阵P 使得1A B -P P=参考答案一、证明：（1）设()f x 在有理数域上可约。
令x =q p 是有理根，（p ,q ）=1,且i qa p≠，1,2i n =由已知()f x 整数根为12,n a a a ,与i qa p≠矛盾 ()f x 不可约。
（2）（⇒）()()f x f x ' ∴可设 ()()'()nf x x b f x =-，两边对x 求导并整理得 (1)()()()n f x x b f x '''-=- (2)()()()n f x x b f x '''''-=- ……(1)()()()()n n f x x b f x -=- 其中()()n f x =!n a ，a 为()f x 的首项系数，以上各式相乘消去()f x '，()f x ''，……(1)()n f x -得!()()!n n f x x b n a =- ∴()()nf x a x b =- （⇐）()()n f x a x b =-则1'()()n f x na x b -=-，'()()f x f x ∴=二、解：1）令()n n x ya ya y a ya y x ya ya yy D ys a y a yx ya y a y a y a yx y++++-++++==+-+-+++-+-+-++D 其中y 与s 无关，则()()n n n a x a D as =-=+D （1） ()()nn n D a x a D as -=-=- （2）由（1）（2）得n D =()()2nn x a x a ++-2）n D =133333233333333333433333n=133332100020000200102003n --=(13)121002000(1)3201023n n +----=(21)2100103(1)23n n +--⨯-⨯-=6(1)(3)!n -⨯-⨯- =6(3)!n ⨯- 三、证明：①当A 可逆时，A B C D =1A B D D CA B--=1()A D CA B --=AD CB - ②当A 不可逆时，则01t ∃<<使A A tE =+可逆，由①可得A tE BAD CB C D+=-令0t →，则A BC D=AD CB -四、（⇒）2A A = ∴()A E A -=0 ∴()()r A r E A n +-≤又r A ()+r E A -()≥r A E A +-()=n ∴r A ()+r E A -()=n（⇐）()r A +()r E A -=n ∴当()r A =0时成立，即 A =0 ∴2A A =设()0r A > 由已知()r E A n -< ∴ ()A E A -=0 ∴ 2A A = 五、证明：设A 的特征值为12n d d d … 设∃正交矩阵T ，使得1100n d T AT d -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 则()1111100n d TAT T A T A d ----⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∴11100n d TA T d --⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭1A A -∴= 又因为1AA -'= 1A A A-'∴== ∴A 是对称矩阵。
