第一部分 定积分的计算
一、定积分的计算
例1 用定积分定义求极限.
)0(21lim 1>++++∞→a n
n a a a a n . 解 原式=⎰∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim a
a
n
i n x n n i dx =a a x a +=++1111
1.
例2 求极限 ⎰
+∞→10
2
1lim x
x n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知n
n x x x ≤+≤
2
10，于是⎰
+≤1
2
10x x n ⎰≤1
n x dx dx .
而⎰1
0n
x ()∞→→+=+=+n n n x dx n 01111
01，由夹逼准则得⎰+∞→1021lim x
x n n dx =0.
解法2 利用广义积分中值定理
()()x g x f b
a
⎰
()()⎰=b
a
x g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号），
().101111
2
1
2
≤≤+=
+⎰
⎰
n n n
n dx x dx x
x ξξ
由于11102≤+≤
n
ξ
，即
211n
ξ
+有界，
()∞→→+=⎰n n dx x n
0111
0，故⎰+∞→1021lim x x n
n dx =0. 注 （1）当被积函数为(
)22,x a x R +或()
22,a x x R -型可作相应变换.
如对积分()
⎰++3
1
2
2
112x
x
dx
，可设t x tan =；
对积分
()0220
2>-⎰
a dx x ax x a
，由于()
2
222a x a x a x --=-，可设
t a a x s i n =-.
对积分dx e x ⎰
--2ln 0
21，可设.sin t e x =-
（2）()0,cos sin cos sin 2
≠++=⎰d c dt t
d t c t
b t a I π
的积分一般方法如下：
将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]'，可求出2
2d c bd
ac A ++=
，
2
2d
c ad
bc B +-=
. 则积分 ()2
20
cos sin ln 2
cos sin cos sin π
π
πt
d t c B A dt t
d t c t d t c B A I ++=
+'
++=⎰
.ln
2
d
c B A +=
π
例3 求定积分()
dx x x x ⎰-1
2
1
1arcsin
分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()
dx
x x x ⎰-1
2
1
1arcsin 2
t x x
t ==12
1212
11
2
1
2
arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2t
t d t dt t
t ==-⎰⎰
.16
32
π= 解法2 ()dx x x x
⎰-1
2
1
1arcsin .16
3cos sin cos sin 2sin 2
24
22
4
2
πππ
ππ==⋅=⎰u du u u u
u u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：
（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；
（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.
例4 计算下列定积分
（1）⎰+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx x
x x I ⎰+=2032cos sin cos π
； （2）.
1cos 22
6
dx e x
x ⎰--+π
π
解 （1）⎰
+=20
31cos sin sin π
x
x xdx
I
)(sin cos cos 20
23du u
u u
u x -+-=⎰ππ
=.sin cos cos 2
23⎰=+π
I dx x
x x
故dx x
x x
x I I ⎰++==203321cos sin cos sin 21π
=()
4
1cos cos sin sin 21202
2-=+-⎰ππ
dx x x x x . （2）=I .1cos 22
6
dx e x
x ⎰--+π
π
()dx
e x
du e u
u x x u ⎰⎰--+=-+-=22
6
22
61cos 1cos π
π
π
π
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++=⎰⎰--2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x
x
.32
5
2214365cos cos 21
206226πππ
ππ=⨯⨯⨯=
==⎰⎰-xdx
xdx
这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：
dx xdx n n
⎰
⎰=20
20
cos sin π
π
()()()()()()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=⋅⨯-⨯--=⨯-⨯--=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22
421331,
1322
431π
小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为[0，a]时，设x a u =-;积分区间为[-a,a]时，设x u =-。可使新的积分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。 （2）利用例10.6(2)中同样的方法易得
