2017-2018学年高中数学常用逻辑用语阶段质量检测B卷(含解析)

阶段质量检测(四) 模块综合检测 (时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b2．t ，s ∈R ＋，A ＝t ＋s 7＋s ＋t ，B ＝s 7＋s ＋t 7＋t ，则A 与B 的关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．不确定3．已知函数f (x )、g (x )，设不等式|f (x )|＋|g (x )|<a (a >0)的解集是M ，不等式|f (x )＋g (x )|<a (a >0)的解集为N ，则集合M 与N 的关系是( )A ．N MB ．M ＝NC ．M ⊆ND ．M N4．已知θ∈R ，则42＋sin 2θ＋2cos θ的最大值是( ) A ．23 B ．3 6 C.63D. 65．不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为( ) A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)6．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．则下列不等式成立的是( ) A ．(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θB ．(a ＋b )2≥a 2cos 2θ＋b 2sin 2θC ．a 2＋b 2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θD ．(a ＋b )2<a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ7．(安徽高考)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或88．当x >1时，不等式a ≤x ＋1x －1恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]9．若实数x 、y 满足1x 2＋1y 2＝1，则x 2＋2y 2有( )A ．最大值3＋22B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值610．若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．非上述情况二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)11．若x ，y ，z 是正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )·(y ＋z )的最小值为________． 12．(广东高考)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________________．13．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________________．14．设正数a ，b ，c 的乘积abc ＝1，1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )的最小值为________．三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)已知a ，b 是不相等的正实数． 求证：(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2.16．(本小题满分12分)若a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n ，求证：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b nn ≥a 1＋a 2＋…＋a n n ·b 1＋b 2＋…＋b n n.17．(本小题满分12分)(新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．18.(本小题满分14分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N ＋)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n . (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．答 案1．选C A 项中a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )， 由a <b 知a －b <0.但a ＋b 的符号不确定，故A 项错误． B 项中，ab 2－a 2b ＝ab (b －a )， 由a <b 知b －a >0，但ab 的符号不确定，故B 项错误． C 项中，1ab 2－1a 2b ＝1ab ⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝a －ba 2b 2，由a <b 知a －b <0，又已知a ，b 为非零实数， ∴1ab 2－1a 2b <0，即1ab 2<1a 2b. D 项中，b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab，由于a ＋bab的符号不确定，故D 项错误．2．选B B ＝s 7＋s ＋t 7＋t >s 7＋s ＋t ＋t7＋t ＋s ＝s ＋t 7＋s ＋t ＝A .3．选C 由绝对值不等式的性质知|f (x )＋g (x )|≤|f (x )|＋|g (x )|， ∴集合N 与集合M 成M ⊆N 关系．4．选B 由42＋sin 2θ＋2cos θ≤42＋(2)2·()2＋sin 2θ2＋cos 2θ＝3 6.当且仅当4cos θ＝2(2＋sin 2θ)，即sin θ＝±63，cos θ＝33时，等号成立，故选B.5．选D 由题意不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的几何意义为数轴上到1，－2两个点的距离之和大于等于5的点组成的集合，而－2,1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2,1的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．6．选A 设m ＝⎝⎛⎭⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)， 则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ≤⎝⎛⎭⎫a cos θ2＋⎝⎛⎭⎫b sin θ2·1＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ， 所以(a ＋b )2≤a 2cos 2＋b 2sin 2.7．选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a 2，如图1可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1 ＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a 2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，当x ＝－a 2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，答案为D.8．选D a ≤x ＋1x －1，由x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥3，即x ＋1x －1的最小值为3.9．选B 由题知，x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＝3＋2y 2x 2＋x 2y 2≥3＋22，当且仅当x 2y 2＝2y 2x2时，等号成立．10．选B y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16x ＋1x ≥216＝8，当且仅当x ＝2＋3时等号成立．11．解析：(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋y 2＋yz ＋zx ＝y (x ＋y ＋z )＋zx ≥2y (x ＋y ＋z )zx ＝2. 答案：212．解析：当x <－2时，原不等式即1－x －x －2≥5⇒x ≤－3，此时得到x ≤－3；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋x ＋2≥5，此时无解；当x >1时，原不等式即x －1＋x ＋2≥5⇒x ≥2，此时得到x ≥2.于是原不等式的解集为{x ≤－3或x ≥2}．答案：{x |x ≤－3或x ≥2}13．解析：由题得|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|，∴|a －2|≥1，解得a ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)14．解析：设a ＝1x ，b ＝1y ，c ＝1z ，则xyz ＝1，则1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )可化为xy ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ，不妨设x ≥y ≥z ，则1y ＋z ≥1z ＋x ≥1x ＋y ， 据排序不等式得x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ≥z ·1y ＋z ＋x ·1z ＋x ＋y ·1x ＋y ， x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ≥y ·1y ＋z ＋z ·1z ＋x ＋x ·1x ＋y ， 两式相加并化简可得2⎝⎛⎭⎫x y ＋z ＋y z ＋x ＋zx ＋y ≥3.即x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ≥32. 即1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )≥32.所以1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )的最小值为32.答案：3215．证明：因为a ，b 是正实数， 所以a 2b ＋a ＋b 2≥33a 2b ·a ·b 2＝3ab >0，当且仅当a 2b ＝a ＝b 2，即a ＝b ＝1时，等号成立；同理：ab 2＋a 2＋b ≥33ab 2·a 2·b ＝3ab >0， 当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )≥9a 2b 2， 当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．因为a ≠b ，所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2.16．证明：由题设和排序不等式，可知有以下n 组式子成立： a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ， a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1， ……a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1.将上述n 个不等式叠加后，两边同除以n 2，即得欲证的不等式．17．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2.当且仅当“a ＝1”时等号成立．所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.18．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，所以a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，所以a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，所以a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， 所以a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N ＋)．(2)当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．假设n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N ＋)时， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1. 所以2a k ＋1＝2＋a k ，所以a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立， 综上可得a n ＝2n －12n －1(n ∈N ＋)．。

第三章 概率(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列事件是随机事件的是( ) ①同种电荷，互相排斥； ②明天是晴天；③自由下落的物体作匀速直线运动；④函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)在定义域上是增函数． A ．①③ B ．①④ C ．②④D ．③④解析：选C ②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件．2．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1、P 2、P 3，则( ) A ．P 1＝P 2＜P 3 B ．P 1＜P 2＜P 3 C ．P 1＜P 2＝P 3D ．P 3＝P 2＜P 1解析：选B 先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个基本事件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P 1＜P 2＜P 3.3．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是( )A ．A 与C 互斥B ．任何两个均互斥C ．B 与C 互斥D ．任何两个均不互斥解析：选A 三件产品至少有一件次品包含三件产品全是次品，所以B 、C 不互斥，而A 与C 对立且互斥．4．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A ①概率指的是可能性，错误；②频率为37，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误．5．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( ) A.12 B ．13 C.14D ．18解析：选C 两枚硬币的情况如下：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．故出现两个正面朝上的概率P ＝14.6．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )A ．0.62B ．0.38C ．0.70D ．0.68解析：选B 记“取到质量小于4.8 g”为事件A ，“取到质量不小于4.85 g”为事件B ，“取到质量在[4.8,4.85)范围内”为事件C .易知事件A ，B ，C 互斥，且A ∪B ∪C 为必然事件．所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.3＋0.32＋P (C )＝1，即P (C )＝1－0.3－0.32＝0.38.7．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14 B ．13 C.12D ．23解析：选C 点E 为边CD 的中点，故所求的概率P ＝△ABE 的面积矩形ABCD 的面积＝12.8．(全国丙卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码就能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130解析：选C ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.9．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23 B ．25 C.35D ．910解析：选D 事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P ＝1－110＝910.10．在区间(0,1)内任取一个数a ，能使方程x 2＋2ax ＋12＝0有两个相异实根的概率为( )A.12 B ．14 C.22D ．2－22解析：选D 方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a )2－4×1×12＝4a 2－2>0，解得|a |>22，又a ∈(0,1)，所以22<a <1，区间(22，1)的长度为1－22，而区间(0,1)的长度为1，所以方程有两个相异实根的概率为1－221＝2－22. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以p ＝610＝35.答案：3512．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,179,149,172.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率为________．(用分数表示)解析：样本中有8人身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率为820＝25.答案：2513．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、b ∈{0,1,2，…，9}．若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________．解析：此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法．若|a －b |≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，∴P ＝24＋410×10＝725.答案：72514．随机向边长为2的正方形ABCD 中投一点M ，则点M 与A 的距离不小于1且使∠CMD 为锐角的概率是________．解析：如图所示，M 在阴影部分内，则P ＝22－14·π·12－12·π·1222＝1－3π16.答案：1－3π16三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在圆O ：x 2＋y 2＝1的某一直径上随机地取一点Q .试求过点Q 且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率．解：如图所示：记事件过点Q 且与该直径垂直的弦的长度超过1为A . 设EF ＝1则在Rt △OQE 中，OE 2＝OQ 2＋QE 2，1＝OQ 2＋14，∴OQ ＝32.由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.而过点Q 且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率为1－32. 16．(本小题满分12分)A 、B 两个箱子分别装有标号为0、1、2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示.(1)从A 、B 箱中各取1张卡片，用x 表示取出的2张卡片的数字之积，求x ＝2 的概率； (2)从A 、B 箱中各取1张卡片，用y 表示取出的2张卡片的数字之和，求x ＝0且y ＝2的概率．解：(1)记事件A ＝{从A 、B 箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}． 基本事件总个数为6×5＝30，事件A 包含基本事件的个数为5. 由古典概型的概率公式得P (A )＝530＝16.则x ＝2的概率为16.(2)记事件B ＝{从A 、B 箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}． 事件B 包含基本事件的个数为10.由古典概型的概率公式得P (B )＝1030＝13.则x ＝0且y ＝2的概率为13.17．(本小题满分12分)国家安全机关的监听录音记录了两名间谍的谈话，发现在30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段谈话内容包含两名间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了．该工作人员声称他完全是无意中按错了键，才使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉的概率有多少？解：包含两名间谍谈话录音的部分在30～40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉；当按错键的时刻在0～30 s 之间时，全部被擦掉．即在0～40 s 之间的时间段内任一时刻按错键时，含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉，而在0～30 min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的．所以按错键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段的长度有关，符合几何概型的条件．设事件A表示“按错键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉”，事件A 发生就是在 0～23 min 的时间段内按错键．所以μA ＝23 min ，μΩ＝30 min ，P (A )＝μA μΩ＝2330＝145. 18．(本小题满分14分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b . (1)求直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率；(2)将a ，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率． 解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b 包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．(1)∵直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切， ∴5a 2＋b2＝1，整理得：a 2＋b 2＝25.由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a ＝3，b ＝4，或a ＝4，b ＝3两种情况． ∴直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率是236＝118.(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形， ∴当a ＝1时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝2时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝3时，b ＝3,5，共2个基本事件； 当a ＝4时，b ＝4,5，共2个基本事件； 当a ＝5时，b ＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件； 当a ＝6时，b ＝5,6，共2个基本事件；∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个． ∴三条线段能围成等腰三角形的概率为1436＝718.。

第一章 计数原理一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．从甲地到乙地一天有汽车8班、火车3班、轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的方法种数为( )A ．13B ．16C ．24D ．48解析：选A 根据分类加法计数原理，不同方法的种数为8＋3＋2＝13.2．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( )A ．182B ．14C ．48D ．91解析：选C 由分步乘法计数原理，得不同取法的种数为6×8＝48. 3．若C 2m ＝28，则m 等于( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：选B C 2m ＝m m －2×1＝28(m >2，且m ∈N *)，解得m ＝8.4．(辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72D ．24解析：选D 剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A 34＝4×3×2＝24.5．从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28解析：选C 丙没有入选共C 39＝84种，其中甲乙都没有入选有C 37＝35种，故共84－35＝49种．6．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法总数共有( )A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种解析：选C 甲、乙捆绑看成一个元素，与丙、丁之外的1个元素共两个元素进行全排列，有A 22A 22种排法，再插空排入丙、丁，共有A 22A 22·A 23＝24种不同排法．7．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数为( ) A ．20 B ．40 C ．80D ．160解析：选D (x ＋2)6的展开式的通项为T k ＋1＝C k6·x6－k·2k ，要求含x 3的项的系数，只需令6－k ＝3，解得k ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36·23＝160.8．(江西高考)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x35展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40解析：选C T r ＋1＝C r5·(x 2)5－r·(－2x3)r ＝C r 5·(－2)r ·x 10－5r，令10－5r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 25×(－2)2＝40.9．8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有( )A ．C 38 B ．C 38A 83 C ．C 38A 22D ．3C 38解析：选C 从8人中任选3人有C 38种，3人位置全调有A 22种，故有C 38A 22种．故选C. 10．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同涂法有A.72种 种 C ．24种D ．12种解析：选A 涂A 共4种涂法，则B 有3种涂法，C 有2种涂法，D 有3种涂法．∴共有4×3×2×3＝72种涂法．11．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有( )A ．18种B ．36种C ．48种D ．60种解析：选D 第一步：先安排甲学生，他可以去B 或C 宿舍，共有2种安排方法；第二步：若甲在B 宿舍，B 宿舍可以不安排其他学生，那么其余4人平均安排在A 、C 宿舍有C 24C 22种；B 宿舍也可再安排一个学生有C 14种，其余3人安排在A 、C 宿舍，其中一个1人、一个2人，有C 13C 22＋C 23C 11种，所以共有C 14(C 13C 22＋C 23C 11)．综上两步有：2＝2×＝60种，故选D.12．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为( )A ．C 27A 55 B ．C 27A 22 C ．C 27A 25D ．C 27A 35解析：选C 从后排抽2人的方法种数是C 27；前排的排列方法种数是A 25，故由分步乘法计数原理知不同调整方法共有C 27A 25种．二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．(全国卷Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12.答案：1214．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法．解析：把编号为1,2,3,4,5的五个球，分成3组：①1,1,3分法，共有C 25＝10种；②1,2,2分法，共有C 15C 242＝15种，故共有25种方法；再放入编号为1,2,3的三个盒子中，有A 33＝6种方法，根据分步乘法计数原理，可得不同放法的总数是25×6＝150种．答案：15015．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________. 解析：a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n ， 又∵a ∶b ＝3∶1， ∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31， 即n n －n －6n n －＝3，解得n ＝11.答案：1116．为配制某种染色剂，需要加入3种有机染料、2种无机染料和2种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为________．(用数字作答)解析：先排无机染料和添加剂，有A 44种不同的排法，再排有机染料．因为它们不能相邻，所以用插空的方法排有机染料，有A 35种不同的排法．共有A 44A 35＝1 440种不同的试验方法．答案：1 440三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？解：∵前排中间3个座位不能坐，∴实际可坐的位置前排8个，后排12个． (1)两人一个前排，一个后排，方法数为C 18·C 112·A 22种； (2)两人均在后排左右不相邻，方法数为A 212－A 22·A 111＝A 211种； (3)两人均在前排，又分两类： ①两人一左一右，共C 14·C 14·A 22种； ②两人同左或同右，有2(A 24－A 13·A 22)种．综上，不同排法种数为C 18·C 112·A 22＋A 211＋C 14·C 14·A 22＋2(A 24－A 13·A 22)＝346种． 18．(本小题满分12分)已知m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n的展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解：由题设知m ＋n ＝19. 又m ，n ∈N *， ∴1≤m ≤18.x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171.∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156. 19．(本小题满分12分)10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A 48＝1 680(或C 48·A 44)(种)．(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A 26种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A 48种方法，共有A 26·A 48＝50 400(或C 48·A 66)(种)．20．(本小题满分12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式中的常数项，求：(1)展开式的二项式系数和； (2)展开式中a －1项的二项式系数．解：依题意，令a ＝1，得(3a －3a )n 展开式中各项系数和为(3－1)n ＝2n，(43b －15b)5展开式中的通项为T r ＋1＝C r 5(4 3b )5－r ⎝⎛⎭⎪⎫－15b r ＝(－1)r C r 545－r·5－r 2b 10－5r 6.若T r ＋1为常数项，则10－5r6＝0，即r ＝2，故常数项为T 3＝(－1)2C 25·43·5－1＝27， 于是有2n＝27，得n ＝7. (1)(3a－3a )n 展开式的二项式系数和为2n ＝27＝128. (2)(3a－3a )7的通项为 T r ＋1＝C r 7(3a)7－r·(－3a )r ＝C r 7(－1)r ·37－r·a 5r －216，令5r －216＝－1，得r ＝3， ∴所求a －1项的二项式系数为C 37＝35.21．(本小题满分12分)用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数．(1)如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？ (2)如果组成的四位数必须大于6 500，那么这样的四位数有多少个？解：(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2,4,6之一，所以有A 13种排法；第二步排千、百、十这三个数位上的数，有A 36种排法．根据分步乘法计数原理，适合条件的四位数的个数是A 13·A 36＝3×6×5×4＝360.故这样的四位数有360个．(2)因为组成的四位数要大于6 500，所以千位上的数字只能取7或6.排法可以分两类． 第一类：千位上排7，有A 36种不同的排法；第二类：千位上排6，则百位上可排7或5，十位和个位可以从余下的数字中取2个来排，共有A 12·A 25种不同的排法．根据分类加法计数原理，适合条件的四位数的个数是：A 36＋A 12·A 25＝160(个)．故这样的四位数有160个．22．(本小题满分12分)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n 展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，(1)求n ；(2)求展开式中含x 项的系数；(3)求展开式中所有含x 的有理项．解：(1)由已知得：4n －2n ＝240,2n＝16，n ＝4. (2)二项展开式的通项为： C r4(5x )4－r(－1x)r ＝C r 454－r(－1)rx 4－32r ，令4－32r ＝1⇒r ＝2所以含x 项的系数：C 2452(－1)2＝150.(3)由(2)得：4－32r ∈Z ，(r ＝0,1,2,3,4)，即r ＝0,2,4.所以展开式中所有含x 的有理项为： 第1项625x 4，第3项150x ，第5项x －2.。

第三章 数系的扩展与复数的引入(B 卷 能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下面三个命题： ①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立； ③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1. 其中，正确命题的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选A ①中实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有标明x ，y 是否是实数．2．已知复数z ＝2－i ，则z ·zA ．5 B. 5 C ．3 D. 3(2＋i)(2－i)＝4＋1＝5.为虚数单位)，则|z |＝( ) ，b ∈R)，则由z (1＋i)＝2i ，得(a ＋b i)·(1＋i)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝2，解得a ＝b ＝1，所以z法二：由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝－2＝i －i 2＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝2.4．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z ＝(1＋a i)·i 为“等部复数”，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A 由已知可得z ＝(1＋a i)·i＝－a ＋i ，所以－a ＝1，即a ＝－1.5．已知a ∈R ，且0<a <1，i 为虚数单位，则复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵0<a <1，∴a >0且a －1<0，故复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点(a ，a －1)位于第四象限．故选D.6．已知复数z ＝1＋3i1－i ，则z 的实部为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1解析：选D 因为z ＝1＋3i1－i ＝＋＋－＋＝－2＋4i 2＝－1＋2i ，故z 的实部为－1.7．已知a ，b 是实数，设i 是虚数单位，若a ＋b i 是( ) A ．2－i B ．2＋i C ．1＋2i D ．1－2i 解析：选C 因为a ＋i ＝b i1＋i，整理得：(a ＋i)(1＋i)＝b i ，∴(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i ，由复数相等的条件知：⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，即a ＋b i ＝1＋2i ，故选C.8．在复平面内，向量AB ―→对应的复数是2＋i ，向量CB ―→对应的复数是－1－3i ，则向量CA ―→对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：选D CA ―→＝CB ―→－AB ―→＝－1－3i －2－i ＝－3－4i ，故选D.9．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z －|＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z －|≥2x D ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D |z |＝x 2＋y 2≤x 2＋2|xy |＋y 2＝x |＋|y 2＝|x |＋|y |，D 正确． 10．已知f (x )＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数f＋3＋i对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选A 因为f＋3＋i ＝2i 3＋i ＝15＋35i ，所以选A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA ―→和OB ―→，其中O 为坐标原点，则|AB ―→|＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB ―→|＝－1－2＋－2＝2 2.答案：2 212．设复数z 满足i z ＝－3＋i(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：由i z ＝－3＋i ，得z ＝－3＋ii ＝－3＋－－＝1＋3i ，则z 的实部为1.答案：113．已知i 为虚数单位，复数z 1＝3－a i ，z 2＝1＋2i ，若z 1z 2复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为________．解析：z 1z 2＝3－a i 1＋2i＝－a－＋－＝3－2a 5－6＋a 5i ，因为z 1z 2复平面内对应的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，6＋a >0⇒－6<a <32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－6，32 14．对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1、y 1，x 2、y 2为实数)，定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2.设非零复数ω1、ω2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2，点O 为坐标原点．如果ω1⊙ω2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为________．解析：设OP ―→ 1＝x 1＋y 1i ，OP ―→2＝x 2＋y 2i(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)，∵ω1⊙ω2＝0，由定义知x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴OP ―→1⊥OP ―→2，∴∠P 1OP 2＝π2.答案：π2三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)复数z ＝＋3a ＋b1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限内，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝＋2＋1－i(a ＋b i)＝2i·i·(a ＋b i)＝－2a －2b i ，由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点， ∴|z |＝|z －z |，把z ＝－2a －2b i 代入化简，得|b |＝1.② 又∵点在第一象限内，∴a <0，b <0. 由①②，得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求a ＝－3，b ＝－1.16．(本小题满分12分)已知z ＝a －i1－i(a >0)，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω.＝a －i ×a ＋1a ＋a －－2i＝a ＋＋2a ＋12＋a a ＋2i ，a a ＋2－a ＋12＝＝2(a >0)，317．(本小题满分12分)已知z ＝i －1是方程z 2＋az ＋b ＝0的一个根． (1)求实数a ，b 的值；(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明． 解：(1)把z ＝i －1代入z 2＋az ＋b ＝0得 (－a ＋b )＋(a －2)i ＝0， ∴a ＝2，b ＝2.(2)设另一个根为x 2，由根与系数的关系，得i －1＋x 2＝－2，∴x 2＝－1－i.把x 2＝－1－i 代入方程左边得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i －2－2i ＋2＝0＝右边， ∴x 2＝－1－i 是方程的另一个根．18．(本小题满分14分)已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)有实数根b . (1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a ＋b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值？并求出|z |的最小值．解：(1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)的实根，∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b .解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由|z －3＋3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8， ∴Z 点的轨迹是以O 1(－1,1)为圆心，22为半径的圆．如图，当Z 点在直线OO 1上时， |z |有最大值或最小值． ∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值，且|z |min ＝ 2.。