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最新高等数学二试题及完全解析(Word版)

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精品文档 精品文档 2018年全国硕士研究生入学统一考试

数学二考研真题与全面解析（Word版） 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

1. 若2120lim1xxxeaxbx，则 （ ） （A）1,12ab （B）1,12ab （C）1,12ab （D）1,12ab 【答案】(B) 【解析】由重要极限可得



22

222220112200111lim2101limlim1(1)lim1(1)xx

xxxxxxxxeaxbxeaxbxxxeaxbxxxeaxbxeaxbxeaxbxe



•



，

因此， 222222001()12lim0lim0xxxxxaxbxxeaxbxxx 22201()(1)()12lim00,102xaxbxxabx



或用“洛必达”：2(1)200012212lim0limlim0222xxxbxxxeaxbxeaxbeaaxx， 故 1,12ab，选（B）. 2. 下列函数中在0x处不可导的是（ ） （A）()sinfxxx （B）()sinfxxx （C）()cosfxx （D）()cosfxx 【答案】(D) 精品文档 精品文档 【解析】根据导数定义，A. 000sin()(0)limlimlim0xxxxxxxfxfxxxg ，可导； B. 000sin()(0)limlimlim0xxxxxxxfxfxxxg, 可导； C. 20001cos1()(0)2limlimlim0xxxxxfxfxxx ，可导； D. 200011cos122limlimlimxxxxxxxxx ，极限不存在。故选（D）. 3. 设函数1,0()1,0xfxx，2,1(),10,0axxgxxxxbx ，若()()fxgx在R上连续，则（ ）. （A）3,1ab （B）3,2ab （C）3,1ab （D）3,2ab 【答案】（D）

【解析】 令1,1()()()1,101,0axxFxfxgxxxxbx ， 则 (1)1,(0)1,FaFb (10)2,(00)1,FF 因为函数连续，所以极限值等于函数值，即12,113,2abab， 故选 （D）. 4. 设函数()fx在[0,1]上二阶可导。且10()0fxdx，则 （ ）

（A）当()0fx时，1()02f （B）当()0fx时，1()02f （C）当()0fx时，1()02f （D）当()0fx时，1()02f 【答案】（D） 【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为012x 。

将函数()fx在012x处展开，有 精品文档 精品文档 2111()1()()()()()2222!2ffxffxx，其中12x。

两边积分，得 1112

000

111()10()()()()()2222!2ffxdxffxdxxdx

12

0

1()1()()22!2ffxdx，

由于 120()1()0()02!2ffxxdx ，所以1()02f，应选（D）. 【解析二】排除法。 （A）错误。令1()2fxx，易知10()0fxdx，()10fx，但是1()02f。

（B）错误。令21()3fxx，易知10()0fxdx，()20fx，但是1()02f。 （C）错误。令1()2fxx，易知10()0fxdx，()10fx，但是1()02f。 故选 （D）. 5. 设2222(1)1xMdxx，221xxNdxe，22(1cos)Kxdx，则（ ）

（A）MNK （B）MKN （C）KMN （D）KNM 【答案】（C） 【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。 22222222222

(1)122(1)111xxxxMdxdxdxxxx



，

2222(1cos)1Kxdxdx

g

，

令()1,(,)22xfxexx，则()1xfxe，当(,0)2x时，()0fx， 当(0,)2x时，()0fx，故 对(,)22x，有()(0)0fxf，因而 精品文档 精品文档 11xxe，22

22

11xxNdxdxeg

，故KMN。应选（C）.

6. 22021210(1)(1)xxxxdxxydydxxydy （ ） （A）53 （B）56 （C）73 （D）76 【答案】（C） 【解析】还原积分区域，如图所示：

积分区域D关于y轴对称，被积函数中xy关于x是奇函数，所以 22021210120(1)(1)7(1)(2)3xxxxDDdxxydydxxydyxydxdydxdyxxdx





，

故选（C）。 7. 下列矩阵中阵，与矩阵110011001相似的是（ ）

（A）111011001 （B）101011001 （C）111010001 （D）101010001 【答案】（A） 精品文档

精品文档 【解析】记矩阵110011001H，则秩()3rH，迹()3trH,特征值1 （三重）。观察,,,ABCD四个选项，它们与矩阵H的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：()2rEH,()2rEA，()1rEB ()1rEC, ()1rED。如果矩阵A与矩阵X相似，则必有kEA与kEX

相似（k为任意常数），从而()()rkEArkEX），故选（A）, 8. 设,AB是n阶矩阵，记()rX为矩阵X 的秩，(,)XY表示分块矩阵，则（ ） （A）(,)()rAABrA （B）(,)()rABArA （C）(,)max{(),()}rABrArB （D）(,)(,)TTrABrAB 【答案】（A） 【解析】把矩阵,AAB 按列分块，记1212(,,),(,,)nnAABLL，则向量组12,,nL 可以由向量组12,,nL线性表出，从而12,,nL与 12,,nL，12,,nL

，等价，于是(,)()rAABrA，故选（A）。

,二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9. 若2lim[arctan(1)arctan]xxxx 。 【答案】 1. 【解析】【方法一】 由拉格朗日中值定理可得

21arctan(1)arctan,1xx

 其中 1,0xxx，

可知 2221111(1)11xx，而 2222limlim11(1)1xxxxxx， 根据夹逼定理可得，222lim[arctan(1)arctan]lim11xxxxxx。 【方法二】0g型未定式的极限必须化成商式。 精品文档 精品文档 22arctan(1)arctanlim[arctan(1)arctan]limxxxxxxxx



32222

322111[1(1)(1)]1(1)1limlim22(1)[1(1)]xxxxxxxxxx







432212lim12(1)[1(1)]xxxxx



。

10. 曲线22lnyxx在其拐点处的切线方程为 。 【答案】43yx.

【解析】函数的定义域为(0,)，22yxx，222yx；34yx。 令 0y，解得 1x，而(1)0y，故点 (1,1)是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率 (1)4y，所以切线方程为 43yx。

11. 2543dxxx ； 【答案】1ln22。 【解析】 2555111131lnln243231212dxxdxxxxxx。 12. 曲线33cossinxtyt，在4t对应处的曲率 。 【答案】23。 【解析】有参数方程求导公式可知 223sincostan3cossindytttdxtt， 22222(tan)sec3cossin3cossindyttdxtttt



，

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高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)

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高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。

解：选D 。

()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。

成人高考成考高等数学(二)(专升本)试卷与参考答案

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成人高考成考高等数学(二)(专升本)自测试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))在区间[-2, 2] 上的最大值为：A、2B、4C、6D、82、已知函数(f(x)=e x lnx)，则该函数的定义域是：A.((0,+∞))B.((−∞,0))C.((0,1))D.((1,+∞))3、设函数f(x)=x3−3x2+2在区间[−1,3]上的最大值为M，最小值为m。

则M−m 的值是：A. 4B. 6C. 8D. 10)，则该函数的间断点是：4、设函数(f(x)=11+x2A.(x=0)B.(x=1)C.(x=−1)D.(x)无间断点5、设函数(f(x)=x3−3x+1)，则该函数在区间 [-2, 2] 上的最大值为：A、4B、3C、2D、16、设函数f(x)=x3−6x2+9x+1，则该函数的极值点为：A.x=1B.x=2C.x=3D.x=47、若函数(f(x)=ln(x2+1))，则(f(x))在(x=1)处的导数(f′(1))是：)A、(12B、1C、2)D、(238、设函数(f(x)=x3−6x2+9x+1)，则函数的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 39、设函数(f(x)=3x2−4x+5)，则该函数的对称轴为：A.(x=1))B.(x=−13)C.(x=23D.(x=2)10、在下列函数中，连续函数为：（）)（x∈R）A.(f(x)=1x3)（x∈R）B.(f(x)=√xC.$( f(x) =)$D.(f(x)=|x|)（x∈R）)，则(f′(0))的值为：11、已知函数(f(x)=1x2+1A. 0B. 1C. -1D. 不存在)，求(f′(x))。

12、设函数(f(x)=2x+3x−1)A.(2(x−1)2B.(2x2−1)C.(2(x+1)(x−1))D.(1x−1)二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数(f(x)=e ax+b)，其中(a,b)为常数，若(f(x))的单调递减区间为((−∞,1a))，则(a)的取值范围为______ 。

高等数学II试卷及答案

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06/07试卷（B ） （本试卷共 4 页）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0001sin 1sin ),(xy xy x y y x y x f ，则极限),(lim 00y x f y x →→= 。

(A)不存在(B)等于1 (C)等于零 (D)等于2 2、设函数221y x z +-=，则点(,)00是函数z 的（A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点3、设f (x ,y )为连续函数，则积分可交换积分次序为4、 级数 ()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1c o s 11n n n α （常数0>α）在极坐标系中先积r 后积θ的二次积分。

（要求：必须画出积分区域的图形）五、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 15 分 ） 1、（7分）判别级数∑∞=+1)]1[ln(1n n n 的敛散性。

2、（8分 ）求幂级数∑∞=+11n n nx的收敛域及和函数.六、解答下列各题（本大题共 3小题，总计 19分 ）1、（5分）求微分方程0)()(7='+''t x t x 的通解。

2、（7分） 求微分方程024)12(=+-'+-y e y x 的通解。

3、（7分）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎦⎤⎢⎣⎡++⋅⋅⋅++++++-=+∞→)!1(!3!21)1(lim 122n x x x x x y n n试证明y 是初始值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+==0d d 0x y y x x y 的解。

《高等数学Ⅱ》期末考试参考答案及评分标准三. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在大题末的表格中）（本大题共 6 小题，1、[]2222)()(),(),,(xy y x y x y x f f ++=ϕ。

2、312221-=-=-z y x 3、y =4、1[-1、 z x2、 n cos α(((,1,2,1,2,1,2z u y u x u ∂∂∂∂∂∂=n u ∂∂四、1、解 2⎰⎰D x412π= 7分 2、解=7 五、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 15 分 ）1、解法1 记[]0)1ln(1>+=n nn u 有（3分） 而()02ln 1lim =+∞→n n ，故10lim 1<=+∞→nn n u u （5分） 由比值判别法，原级数[]∑∞=+1)1ln(1n n n 收敛。

高等数学二考试题及答案

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高等数学二考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数为：A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：D4. 级数1+1/2+1/4+1/8+...的和为：A. 1B. 2C. 4D. 无穷大5. 曲线y=x^3在x=1处的切线斜率为：A. 1B. 3C. 9D. 27答案：B6. 函数f(x)=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. e^xC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C答案：A7. 以下哪个函数是周期函数：A. f(x) = xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B8. 曲线y=ln(x)在x=e处的切线方程为：A. y = 1B. y = x - 1C. y = xD. y = x + 1答案：A9. 以下哪个选项是二阶导数：B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)答案：B10. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点为：A. x = -1B. x = 1C. x = 0D. 无极值点答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的一阶导数为________。

答案：3x^22. 极限lim(x→∞) (1/x)的值为________。

答案：03. 曲线y=x^2-4x+4的顶点坐标为________。

答案：(2,0)4. 函数f(x)=sin(x)的不定积分为________。

答案：-cos(x) + C5. 曲线y=e^x与直线y=x相切的切点坐标为________。