书人2012期末复习题（1-40题）解答
1、有一个自然数，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数是多少？【解】：ak=N，a+N=123，a（k+1）=123，a=41，k+1=3，k=2；
N=82，
2、a、b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a和b。【解】：12=2×2×3；可以形成1、2、
3、
4、6、12这6个约数。
8=4×2=（3+1）×（1+1）
9=3×3=（2+1）×（2+1）
a=2^3×3=24；b=2^2×3^2=36
3、求具有15个约数的最小自然数N，并求这个自然数15个约数的和。【解】：15=5×3=（4+1）×（2+1）
N=24×32=16×9=144
(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)×(3^0+3^1+3^2)
=(1+2+4+8+16)×(1+3+9)=31×13=403
1、2、3、4、6、8、9、12、16、18、24、36、48、72、144
4、如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那
么，1000以内最大的“希望数”是多少？
【解】：本题就是求“完全平方数”
302=900，312=961，322=1024
所以，最大希望数=961
5、一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积，这个数有许多约数是两
位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少？
【解】：N=25×33×56×7
100以内最大约数=25×3=32×3=96
6、一个数的约数中，将所有的约数两两求和分别是3、5、6、
7、9、11、12、
14、15、21、22、24、25、30，这个数是多少？
【解】：这个数的约数有1、2、4、5、10、20；所以这个数是20；
7、甲乙两个数都含有2、3、5这三个质因数，它们的最大公约数是60，已知甲
有18个约数，乙有16个约数，且甲大于200，则甲乙分别是多少？【解】：60=2×2×3×5
（a+2+1）（b+1）（c+1）=18=2×3×3
a=0，b=1，c=2；甲=2×2×3×5×5=300；
a=0，b=2，c=1；甲=2×2×3×3×5=180；
因为，甲>200，所以，甲=300；
（a+2+1）（b+1）（c+1）=16=4×2×2
a=1，b=1，c=1；乙=2×2×2×3×5=120；
8、有一个整数，个位是0，它共有8个约数，这个数最小是多少？
【解】：8=2×4=（1+1）（3+1）=(1+1)(1+1)(1+1)
因为个位为0，所以有因数2、5；
N=23×5=40；N min=2×3×5=30
9、已知a（自然数）有3个约数，那么4a有多少个约数？
【解】：4a=22×a；当a=4时，4a有5个约数；
当a≠4时，（2+1）×3=9；4a有9个约数；
10、若A为质数，且AAAAAA的所有约数个数为48，则AAAAAA所有约数的和
是多少？
【解】：AAAAAA=A×111111=A×3×7×11×13×37
48=（a+1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）
=3×2×2×2×2
所以，当A=3时，
约数和=（3^0+3^1+3^2）（7^0+7^1）（11^0+11^1）（13^0+13^1）（37^0+37^1）=13×8×12×14×38=663936
当A=7时，
约数和=（3^0+3^1）（7^0+7^1+7^2）（11^0+11^1）（13^0+13^1）（37^0+37^1）=4×57×12×14×38=1455552
11、某自然数是3和4的倍数，包括1和本身在内共有10个约数，那么这个自
然数是多少？
【解】：倍数4=22、3
10=2×5=（a+2+1）（b+1）；a=2，b=1
N=2^4×3=48
约数为：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
12、有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是多少？【解】：1111=11×101=（1+2+3+5）×101
13、一个自然数的3次方恰好有100个约数，那么这个自然数本身最少有几个
约数？
【解】：当自然数有1个因数时，（3a+1）=100，a=33；
当自然数有2个因数时，（a×3+1）（b×3+1）=100，
a=8，b=1或a=3，b=3；
（a+1）（b+1）=18或（a+1）（b+1）=16
所以，这个自然数本身最少有16个约数
14、已知abc是一个质数，abcabc全部约数的和是137088，则abc等于多少？
【解】137088=（abc^0+abc^1）×（11^0+11^1）×（13^0+13^1）×（7^0+7^1）=(1+abc)×12×14×8
（1+abc）=102；abc=101
15、A为质数，问AAAAAA有多少个约数？
【解】：当A<10，且A=3、7时，AAAAAA=A ×111111=A×3×7×11×13×37，2^4×3=48；
当A<10，且A≠3、7时AAAAAA=A ×111111=A×3×7×11×13×37，2^5=64；
16、已知一个数的最小的两个约数的和是8，最大的两个约数和是1144，求这
个数是多少？
【解】：因为最小的约数是1，所以8=1+7；1144÷8=143，N=143×7=1001
17、求具有15个约数的最小自然数N，并求这个自然数15个约数的和。【解】：同第3题，N=144，约数和=403
18、含有6个约数的两位数有几个？
【解】：6=（5+1）=（1+1）（2+1）
2^5=32、
2×3^2=18、2×5^2=50、2×7^2=98、
2^2×3=12、2^2×5=20、2^2×7=28、2^2×11=44、2^2×13=52、2^2×17=68、2^2×19=76、2^2×23=92、
3×5^2=75，3^2×5=45、3^2×7=63、3^2×11=99，
共16个；
19、写出360到630的自然数中，有奇数个约数的数
【解】：361=19^2，400=20^2，441=21^2，484=22^2，529=23^2，576=24^2，625=25^2；
20、在一个数的约数中，将所有不同的约数两两求和，所有的和中，最小的是
4，最大的是2012，求这个数是多少？
【解】：4=1+3，2012÷4=503；N=503×3=1509
21、A、B两个数只含有质因数2和5，它们的最大公约数是100，且A有15个
