信息光学习题答案
第一章 线性系统分析
1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx
d
x g =
（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2
⎰
∞
∞
--=
αααd x h f x g
（5）
()()απξααd j f ⎰∞
∞
--2exp
解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛π
证明：左边＝∑∑∑∞
-∞
=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ
∑∑∑∑∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=∞
-∞=∞
-∞=∞
-∞
=∞
-∞
=--+-=
-+-=-+-=
+=n n
n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )
()
1()()
()exp()()
()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边
当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞
-∞
=-n n x )2(2δ
所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式
0)(,)
()
()]([1
≠''-=∑
=i n
i i i x h x h x x x h δδ
式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。于是
)()
()(sin x comb n x x n =-=∑∞
-∞
=π
δπ
ππδ
1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰
+-+=
-+-=
x
x x d x x g 10
36
12131)1)(1()(ααα
图题1.1
当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰
+-=
-+-=
1
36
12131)1)(1()(x
x x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它
,010,
612
1
3101,6121
31)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。 （1）⎪⎭⎫
⎝⎛-*-21)32(x rect x δ （2）⎪⎭
⎫ ⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121x rect x rect （3）)()(x rect x comb * 解：（1）⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫
⎝⎛-*-25.22121232121)32(x rect x rect x x rect x δδ
（2）设卷积为g(x)，当x ≤0时，如图题1.2(a)所示， 2)(2
+==
⎰
+x d x g x α
当0 < x 时，如图题1.2(b)所示
图题1.2
x d x g x
-==⎰2)(2
α
⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=0,2
10
,212)(x x
x x
x g
即 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∧=22)(x x g （3）1)()(=*x rect x comb
1.6 已知)ex p(2
x π-的傅立叶变换为)ex p(2
πξ-，试求 （1）(
){}?ex p 2
=-℘x
（2）(){}
?2/ex p 22
=-℘σx
解：设ξππ==z x y , 即 {
}
)ex p()ex p(22πξπ-=-℘y
由坐标缩放性质{}⎪⎭
⎫
⎝⎛=
℘b a F ab by ax f ηξ,1),( 得 （1）(){}{}
)ex p()ex p(/ex p(ex p 2222
2ξπππππ-=-=-℘=-℘z y
x
（2）(
){}(){}2
2
2
2
2/ex p 2/ex p πσ
σ
y
x -℘=-℘
)2ex p(2)2ex p(22222ξπσσππσσπ-=-=z
1.7 计算积分.（1）
()⎰∞
∞
-=?sin 4
dx x c
（2）
()⎰
∞
∞
-=?cos sin 2
xdx x c π 解：应用广义巴塞伐定理可得
（1）3
2)1()1()()()(sin )(sin 1
2
1
2
2
2
=
-++=ΛΛ=
⎰⎰⎰⎰
-∞
∞
-∞
∞-ξξξξξξξd d d dx x c x c （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛
-Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Λ=⎰⎰⎰∞∞
-∞∞-∞
∞-ξξδξξξδξπd d xdx x c 21)(21)(21cos )(sin 2
2
1212121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-Λ=
1.8 应用卷积定理求()()()x c x c x f 2sin sin =的傅里叶变换.
