多边形重心的作法

﹝例一﹞在图三的五边形ACBDE中：1.连EC， 例一﹞ 得∆EDC及四边形ABEC 2.分别作∆EDC及四边形ABEC的重心g1、g2 3.同理，连AD做∆AED及四边形ABCD的重心g3 、g4 4.连g1g2、g3g4，则两线段交点即为五边形 ACBDE的重心G
E A g3 g2 g4
G
g1 D
C B g3 A g2 G g1 D g4
图五
F E
杠杆法》 《杠杆法》连一条对角线，将此六边形切成两个 四边形，并分别找出重心及重心线。再利用形变 将两个四边形转为两个同底且与原来的四边形同 面积的三角形，最后用此两个三角形的高的反比 去分两个四边形的重心线，分点即为此六边形的 重心。 分析二】 【分析二】此方法大致上与五边形类似，只是五 边形的形变只是针对唯一一个四边形来做，而六 边形必须对两个由对角线切成的四边形各做一次 形变，才能利用两形变后的三角形的高之反比， 找出分重心线的比例而求出重心。
§四边形
B
B F A g1 E g2 G C
g3
G A g1 g2 C
D E'
g4
D
分割法
F'
杠杆法
分割法 重心线 大小 边数增加适用？ 2 小 是
杠杆法 1 大 不一定
§五边形
B
杠杆法
B
I A g2 G g1 C
J
F
E
g3
D
J'
g1 A G g2
C
g4
E
D
分割法
I'
重心线 大小 边数增加适用？
心 3.铅垂法是最好用的找重心方式，利用自然的地
球引力使物体平衡后找其两垂线交点，没有作 图的麻烦及复杂
4.标尺作图法有两种─分割法及杠杆法。感觉上 杠杆法是比较有技巧的，因其有利用到以一长度 代替左右两图形的质量比，使题目简化；而分割 法则是一小块一小块的切，再去找许多重心线的 最后一个交点，有点「暴力法」的味道。不过， 分割法不管在哪种多边形上均可采用，只是边数 越多越困难；而杠杆法则要再继续讨论如何利用 形变找出两线段比再去分一重心线 5. n边形杠杆法的重心线公式：n-2-1→可切成n边形杠杆法的重心线公式： 2个三角形，而重心线条数为三角形个数-1
方法展示
在参考过以上的重心找法后，我们试着自己 用标尺作图找出多边形的重心，以下是我们的 讨论：
§四边形
1.长方形、菱形、正方形、平行四边形的重 心均是两对角线的交点。
A
A
A B
B
A B
G
G
G
D
G
B
D C
D
C
D
C
C
2.任意四边形(包括鸢形、梯形)：
A D g2 B
g1
G
g1
g3
g4
B'
G
g2
C
D'
《分割法》连一条对角线将其切成两个三角形， 分割法》 分别找出重心，连两重心之线段(以下我们在本文 均统称为「重心线」)；再连另外一条对角线，画 出两个不同于上一次的三角形，也分别找出两个 三角形的重心，连重心线。则此两条重心线会交 于一点，此点即为重心。
【分析一】重心，可视为此图形的质量中心(p.s 分析一】 重心又称为「质心」)，因此，在作第一条三角形 重心连线时，我们可以确定此四边形的重心一定 会在此线段上。利用同样的思考再换个方向做一 次，则重心会同时在这两条重心在线，即为两重 心线的交点。 例一﹞ ﹝例一﹞以图一四边形ABCD中，
D E g1 a b g2 B F b' C D' a' B'
§任意五边形
分割法》 《分割法》连一条对角线，将其切成一个四边形 及一个三角形。分别用以上的方法找出重心后连 线；再换另外一条对角线，再画出一条两重心连 线，则此两线段的交点即是此五边形的重心。 【分析一】此想法与四边形类似，只是边数增加， 分析一】 画起图来比较复杂。
A
所以，综合上面的比例，我们不难了解：两三角 形重心的连线─也就是整支杠杆─，必须以b： a(a：b的反比)的比例来分，配合上两端质量a：b ，才可以符合杠杆原理：重量1X臂长1=重量2X臂长2。 例二﹞ ﹝例二﹞以图二中之四边形 ABCD：1.连AC得∆BAC、∆DAC 2.作∆ACD、∆ABC之重心g1、g2 G 3.作DF⊥AC于F，BE⊥AC于E 4.在g1g2上运用「平行线裁等比 例线段」的性质(取g2D’=DF， D’B’=BE，连g1B’再过D’做一直 图二 线平行于g1B’交g1g2于G，则 g2G：Gg1=DF：BE)，画出G点 即为四边形ABCD之重心
分割法 4 小 是
杠杆法 2 大 不一定
§六边形
B
杠杆法
C I g1
B C
D G
g1
A
g2
g3
D
E
G
g4 g2 A
H F I'
E
分割法
F
H'
分割法 重心线 大小 边数增加适用？ 10
杠杆法 3
小 是
大 不一定
结论
经由我们一连串对重心的探讨，我们做出了以 下的结论： 1.在平面上，重心可以是两条面积平分线(须为直 线)的交点，因其平分面积就等于平分质量 2.在圆形及正多边形中，两对称轴的交点即为重 在圆形及正多边形中，
﹝例二﹞在下图四的五边形ABCDE中：1.连AC，分别作 例二﹞ ∆ABC及四边形CDEA的重心g1、g2，并连重心线g1g2 2.连EC并延长射线AE，做一直线过D平行于EC，交射线AE 于F。∵等底(EC=EC)同高(两平行线中垂距相等)，∴∆ECF 的面积同于∆ECD B 3.做FI⊥AC，BJ⊥AC 4.连线段g1g2，在g1g2上运 A g1 I 用「平行线裁等比例线段」 J C G 的性质 (可将五边形ABCDE g2 E 视为四边形ABCF，但重心线 仍以五边形ABCDE为主) ─ 取g2J’=BJ，J’I’=FI，连g1I’再 J' D 过J’做一直线平行于g1I’交 F g1g2于G，则g2G：Gg1= BJ：IF，画出G点即为五边形 I' ABCDE的重心 图四
B
图三
C
杠杆法》 《杠杆法》连一条对角线，将此五边形切成一个三角 形与一个四边形，分别找出重心并做一重心线。利用 四边形做法二的想法，将四边形转化为一个同底(底 即为对角线)且面积相同的三角形，再用此两三角形 的高的反比去分重心线，则分点即为重心。 分析二】 【分析二】这种做法利用到四边形形变成等底等面积 三角形，而简化了原题。因为在同底的情况下，只有 三角形的高的比可以利用标尺作图在重心在线直接画 出反比例，四边形主要是由于它不能以某一线段比上 另一三角形的高代替质量、体积比例，因而需采取这 个较间接方式。不过，需注意的是刚开始所做的重心 线乃五边形一对角线所切成的一三角形与一四边形之 重心线，而不是四边形形变成三角形后与原三角形的 重心线。
※方法二─三角形的重心 方法二─
做法〉任两中线( 〈做法〉任两中线(连三角形任一边的中点至对 顶点的线段)的交点，即为此三角形之重心。 顶点的线段)的交点，即为此三角形之重心。 分析〉一中线可以平分此三角形的面积( 〈分析〉一中线可以平分此三角形的面积(等底 同高) 若此三角形是一张纸，厚度忽略不计， 同高)，若此三角形是一张纸，厚度忽略不计， 则中线也可平分重量。因此， 则中线也可平分重量。因此，两中线的交点便 是重量的平衡点─重心。 是重量的平衡点─重心。 课内教材， p.s 课内教材，不再多说
研究目的
1.搜集各种寻找平面图形的 重心的方法 2.利用标尺作图，找出多边 形的重心，并整理出最佳方 式
方法讨论─ 方法讨论─寻找重心的方法
※方法一─铅垂法 方法一─
〈做法〉假定有一块如右图所示 做法〉 般形状不规则的木板， 般形状不规则的木板，其重心在 点上。首先，用绳子穿过A G点上。首先，用绳子穿过A点而 将木板悬吊起来， 将木板悬吊起来，木板就会如图 般往右移动，直至重心G点在A 般往右移动，直至重心G点在A点 的正下方才稳定下来。此时， 的正下方才稳定下来。此时，如 果我们从A点画一条铅垂线， 果我们从A点画一条铅垂线，G点 必在这条铅垂线上。 必在这条铅垂线上。同样的我们 把绳子穿过B 把绳子穿过B点而将木板悬吊起 等到木板稳定下来， 来，等到木板稳定下来，自B点 引一条铅垂线，重心G仍会在这条铅垂线上。 引一条铅垂线，重心G仍会在这条铅垂线上。由A、B 二点分别所画的铅垂线的交点， 二点分别所画的铅垂线的交点，正是这块木板的重心 G。
﹝例二﹞在下图六的六边形 例二﹞ ABCDEF中：1.连BE，分别作 四边形ABEF、BCDE的重心 g1、g2，并做重心线g1g2 2.延长EF，并过A做一直线平 行于BF且交EF延长于H，则 三角形的面积等于四边形 ABEF的面积 3.延长ED，过C做一直线平行 于BD且交ED延长于I，则三角 形BIE的面积等于四边形 BCDE的面积 4.做HK、IJ垂直于BE 5.在重心线g1g2上运用「平行 线裁等比例线段」的性质，做 出一点G，使g1G：Gg2=JI： KH，则G点即为此六边形的重 心
C B
K A G
g2 g1
I
D
J F E
H
来自百度文库
J'
K'
图六
方法讨论
在这里，我们要针对任意四、五、六边形的主 要两种方法─分割法(以上的方法一)及杠杆法(以 上的方法二)做讨论。讨论项目分为：1.作图中所 需重心线条数 2.在相同大小的多边形上作图时， 哪一种方法所占空间较大 3.当多边形边数增加时， 是否可通用
※方法三─正多边形及圆形的重心 方法三─
做法〉 〈做法〉正多边形─取两条线对称轴的交点(奇数 边形之对称轴为点与对边中点的连线；偶数边形 的对称轴为点与对点的连线)，即为重心。圆形─ 圆心即为重心。 〈分析〉正多边形的线对称轴便是面积平分线， 分析〉 也就是质量平分线；圆形亦同。(同上) →感觉上，似乎在平面图形上找出两条可平分面 积(质量)的线，在找出其交点即可找到重心。
D
求做重心： 1.先连BD，得∆ABD、∆CBD 2.分别作∆ABD、∆CBD之重心g1 、g2 3.同理，连AC作出∆ACD、∆ACB 之重心g3、g4
C
A
g1
G
g3 B
g4 g2
(图一)
4.直线g1g2与直线g3g4之交点即 为四边形ABCD之重心
杠杆法》 《杠杆法》连一条对角线将其切成两个三角形，并分 别画出它们的高及重心。连两重心线段，以高的反比 平分此线段，则平分点即为重心。 分析二】 杠杆原理：重量1X臂长1= 【分析二】这用到了理化的杠杆原理 重量2X臂长2。用对角线切出来的三角形，它们有同底 的性质，所以面积比就会等于高的比；而面积比又会 等于其质量比，因此，两个三角形的重心连线，就可 以视为一个杠杆；而这个杠杆的两端─也就是两三角 形的重心，就可以视为两三角形的质量中心。又两三 角形的高的比等于面积比等于质量比，则若两三角形 的高之比为a：b，则两个三角形的质量比也就是a：b 。而重心是整个四边形的平衡点，就相当于杠杆上的 支点一样。
〈分析〉不管是什么样的形状，这个方法都适用。 分析〉不管是什么样的形状，这个方法都适用。 因为不管是通过A点或B点的铅垂线， 因为不管是通过A点或B点的铅垂线，当此木板在 悬吊并达到平衡(也就是不会晃动) 悬吊并达到平衡(也就是不会晃动)时，铅垂线左 右的重量必相同，才可达到平衡。而由A 右的重量必相同，才可达到平衡。而由A、B两点 所做的两条铅垂线的交点， 所做的两条铅垂线的交点，可使两组被铅垂线切 成两块的木板都达到平衡。因此交点G便是此木板 成两块的木板都达到平衡。因此交点G 的重心─顶着它可以达到平衡的点。 的重心─顶着它可以达到平衡的点。这是个较偏 向理化做法的方式。 向理化做法的方式。
台北市立敦化国民中学资源丙班
多边形的重心
218吴昀昕 218吴昀昕 222许晋婕 222许晋婕 223游凯婷 223游凯婷 指导老师：桂雪萍老师、 指导老师：桂雪萍老师、蔡芸兰老师
研究动机
在上了基本几何作图后， 桂老师向我们介绍了「重心」 这个概念。在课中同学间的讨 论及老师的讲解之后，我们决 定要利用这次独立研究的机会， 好好的探讨这个重心的延伸主 题─多边形的重心。
§任意六边形
分割法》 《分割法》连一对角线，将其切成两个四边形， 分别用四边形的重心找法找出重心并连线；再连 另外一条对角线，再画出一条两四边形的重心的 连线，则此两重心连线之交点即为此六边形的重 心。 【分析一】此方法的想法与四边形、五边形均同。 分析一】 找出两重心线的交点即为重心。
﹝例一﹞在下图五的六边形ABCDEF中：1.连BE 例一﹞ ，分别作四边形ABEF及BCDE的重心g1、g2(方法 请参考上面的说明)并连出重心线g1g2 2.连AD，分别作四边形ADEF及ABCD的重心g3、 g4并连出重心线g3g4 3.两重心线的交点G即 为此六边形的重心