第二讲 二次函数的顶点式
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1 第二讲 二次函数的顶点式
知识点1 二次函数四种顶点式的性质
1. 二次函数基本形式：2yax的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2yaxc的性质：
上加下减。
3. 2yaxh的性质：
左加右减。
4. 2yaxhk的性质：
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．
0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 0c， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．
0a 向下 0c， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．
0a 向下 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a 向上 hk， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．
0a 向下 hk， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． 2 知识点2 二次函数四种顶点式的平移规律
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；
⑵ 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：
向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
例题:
1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口 ；顶点坐标为_____________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．
2．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则m＝__________，n＝___________．
3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_____ ___．
4．根据右图发现解决下列问题：
⑴如图所示二次函数的图象中，分别对应的是：
①2axy；②2bxy；③2cxy；④2dxy，
则dcba、、、的大小关系是 （ ）
A．dcba B．cdba
C．dcab D．cdab
⑵在同坐标系中，图象与223yx的图象关于x轴对称的函数为（ ）
A．232yx B．2yx C．223yx D．232yx
5、已知二次函数kxy2)1(3的图象上有三个点A(1,2y)，B(2, 2y)，C(3,5y)，则321,,yyy的大小关系为 （ ）
A. 321yyy B. 312yyy C. 213yyy D. 123yyy 3 6、抛物线22xy向下平移1个单位长度再向右平移2个单位长度得到抛物线
7、抛物线22xy是由另一条抛物线先向上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度得到,则原抛物线为 .
8、对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状大小_________，只是_________不同．
9、已知抛物线kmxay2)(中，21||a，最高点的坐标是（25,1），求这条抛物线．
10、已知),(ba是抛物线2xy上的一点．甲同学说：“点),(ba一定也在2xy的图象上”．乙同学说：“我不但知道点),(ba在抛物线2xy上，而且我还知道点),(ba也一定在2xy的图象上”．你认为甲、乙两同学的说法正确吗？请发表你的看法．
提升练习:
1、填表
开口方向 顶点 对称轴
y＝x2＋1
y＝2 (x－3)2
y＝－ (x＋5)2－4
2、若A),413(1y、B),1(2y、C),35(3y为二次函数9)2(2xy的图象上的三点，则1y、2y、3y的大小关系是（ ）
A．1y＜2y＜3y B．3y＜2y＜1y C．3y＜1y＜2y D．2y＜1y＜3y
3、抛物线2)1(xy沿y轴方向向上或向下平移后，经过点（3，0），则所得抛物线的解析式为 ．
4、已知抛物线),,0()(2是常数nmanmxay开口向下，顶点在第二象限，则a
0，m 0，n 0（填“>”“=”、“<”）． 4
5、y＝6x2＋3与y＝6 (x－1)2＋10的____________相同，而__________不同．
6、若直线3yxm经过第一、三、四象限，则抛物线2()1yxm的顶点必在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围。
8．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝21x2相同的解析式为（ ）
A．y＝21(x－2)2＋3 B．y＝21(x＋2)2－3
C．y＝21(x＋2)2＋3 D．y＝－21(x＋2)2＋3
9．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．
10．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（ ）
A B C D
11．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．
12．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．
13．若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴的对称点A′的坐标为 ______________．
14.抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线
y＝x2－2x＋1，求：b与c的值。
15、已知二次函数212xy，（1）当32x时，求函数的最值.（2）当30x时，求函数的最值.
5 16、已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线2xy都相同，对称轴与抛物线2)2(xy相同，且顶点的纵坐标为－1．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求这条抛物线与1xy的两交点坐标及这两点的距离．
17、如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线213.55yx运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．
（1）球在空中运行的最大高度为多少米？
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？
18、已知抛物线y=a（x-t-1）2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的顶点A.
⑴判断点A否在抛物线y=x2-2x+1上,为什么?
⑵如果抛物线y=a（x-t-1）2+t2经过点B(B为抛物线y=x2-2x+1的顶点)
①求a的值;
②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
x y
O 3.05 6 19、如图所示，抛物线2)(mxy的顶点为A，直线l：mxy33与y 轴的交点为B，其中0m.
（1）写出抛物线对称轴及顶点A的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）证明点A在直线l上，并求出OAB的度数；
（3）动点Q在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由.
A y
x O l
