概率公式整理
1．随机事件及其概率吸收律：A
AB A A
A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)(
A
B A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-
反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=
n
i i
n
i i
A A 1
1
=== n
i i
n
i i
A A 1
1
===
2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒ 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-
加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃
)()
1()()
()()(211
111
1
n n n
n
k j i k
j
i
n
j i j
i
n
i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++
-
=∑∑∑
3．条件概率 ()=A B P
)
()
(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()()
)
0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P
全概率公式∑==n
i i AB P A P 1
)()( )()(1
i n
i i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )
()
(A P AB P k =
∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1
)
()()()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算
)
()()
()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<
5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k
(2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k
k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞
→λn n np 有
,2,1,0!)
1(lim ==---∞
→k k e
p p C k
k
n n k n
k
n n λλ
(3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!
)(===-k k e
k X P k
λλ
6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=1
,,
0)(a b a
x x F
(2) 指数分布 )(λE ⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00
,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x
λ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 ) +∞<<∞-=--x e x f x 2
22)(21
)(σμσ
π ⎰
∞
---
=
x
t t e
x F d 21)(2
22)(σμσ
π
*N (0,1) — 标准正态分布
+∞<<∞-=-x e
x x 2
221
)(π
ϕ
+∞<<∞-=
Φ⎰
∞
--
x t
e
x x
t d 21
)(2
2π
7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰
∞-∞
-=x y
dvdu v u f y x F ),(),(
边缘分布函数与边缘密度函数 ⎰
⎰
∞-+∞
∞
-=x
X dvdu v u f x F ),()( ⎰
+∞
∞
-=dv v x f x f X ),()(
⎰
⎰
∞-+∞
∞
-=y Y dudv v u f y F ),()( ⎰
+∞
∞
-=du y u f y f Y ),()(
8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,
0),(,1
),(G
y x A y x f
(2)二维正态分布 +∞
<<-∞+∞<<∞-⨯-=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡-+------
y x e
y x f y y x x ,121
),(222
2212121212)())((2)()1(212
2
1σμσσμμρσμρρ
σπσ
9. 二维随机变量的 条件分布0)()
()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()
()(>=y f y x f y f Y Y X Y
⎰
⎰
+∞
∞
-+∞∞
-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰
⎰+∞
∞
-+∞∞
-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()(
)(y x f Y X )(),(y f y x f Y =
)()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )()
,(x f y x f X = )()()(x f y f y x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征 数学期望∑+∞
==1
)(k k k p x X E ⎰+∞
∞
-=dx x xf X E )()(
随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )(k X E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|k X E
X 的 k 阶中心矩 )))(((k X E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ()l k Y E Y X E X E ))(())((-- X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --
X ,Y 的相关系数 XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--)()())())((( X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -= 协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -=
())()()(2
1
Y D X D Y X D --±±=
相关系数
)
()()
,cov(Y D X D Y X XY =ρ
1.排列数、组合数中n≥m ，n≥1，m≥0，n 、m ∈N 。
(1)排列数公式
(2)组合数公式
