实验三 用FFT 对信号进行频谱分析
一 实验目的
1 能够熟练掌握快速离散傅立叶变换的原理及应用FFT 进行频谱分析的基本方法; 2了解用FFT 进行频谱分析可能出现的分析误差及其原因;
二 实验原理
1、用DFT 对非周期序列进行谱分析
单位圆上的Z 变换就就是序列的傅里叶变换,即
()()j j z e X e X z ωω== (3-1)
()j X e ω就是ω的连续周期函数。对序列()x n 进行N 点DFT 得到()X k ,则()X k 就是在区间[]0,2π上对()j X e ω的N 点等间隔采样,频谱分辨率就就是采样间隔2N
π。因此序列的傅里叶变换可利用DFT(即FFT)来计算。
用FFT 对序列进行谱分析的误差主要来自于用FFT 作频谱分析时,得到的就是离散谱,而非周期序列的频谱就是连续谱,只有当N 较大时,离散谱的包络才能逼近连续谱,因此N 要适当选择大一些。
2、用DFT 对周期序列进行谱分析
已知周期为N 的离散序列)(n x ,它的离散傅里叶级数DFS 分别由式(3-2)与(3-3)
给出:
DFS: ∑-=-=1
2)(1N n kn N j k e n x N a π , n =0,1,2,…,N -1 (3-2) IDFS: ∑-==1
02)(N k kn N j k
e a n x π , n =0,1,2,…,N -1 (3-3) 对于长度为N 的有限长序列x (n )的DFT 对表达式分别由式(3-4)与(3-5)给出: DFT: ∑-=-=1
02)()(N n kn N j e n x k X π , n =0,1,2,…,N -1 (3-4)
IDFT: ∑-==1
02)(1)(N k kn N j e k X N n x π
, n =0,1,2,…,N -1 (3-5) FFT 为离散傅里叶变换DFT 的快速算法,对于周期为N 的离散序列x (n )的频谱分析便可由式(3-6)与(3-7)给出:
DTFS: 1*(())k a fft x n N
= (3-6) IDTFS: ()*()k x n N ifft a = (3-7)
周期信号的频谱就是离散谱,只有用整数倍周期的长度作FFT,得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。
3、 用DFT 对模拟周期信号进行谱分析
对模拟信号进行谱分析时,首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。对于模拟周期信号,也应该选取整数倍周期的长度,经采样后形成周期序列,按照周期序列的谱分析进行。如果不知道信号的周期,可以尽量选择信号的观察时间长一些。
三 实验内容
1、 对以下序列进行谱分析:
14()()x n R n =
2103()84700n n x n n
n thers +≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩
3403()3
4700n n x n n n thers
-≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩ 选择FFT 的变换区间N 为8与16两种情况进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线,并进行对比、分析与讨论。
2、 对以下周期序列进行谱分析:
4()cos()4
x n n π= 5()cos()cos()48
x n n n ππ
=+ 选择FFT 的变换区间N 为8与16两种情况进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线,并进行对比、分析与讨论。
3、 对模拟周期信号进行谱分析: 6()cos(8)cos(16)cos(20)x t t t t πππ=++
选择采样频率64s F Hz ,对变换区间N 分别取16、32、64三种情况进行谱分析。分别打印其幅频特性曲线,并进行对比、分析与讨论。
四 思考题
1、 对于周期序列,如果周期不知道,如何用FFT 进行谱分析？
2、 如何选择FFT 的变换区间？(包括非周期信号与周期信号)
3、 当N=8时,2()x n 与3()x n 的幅频特性会相同不？为什么？N=16呢？
五 实验报告及要求
1、 完成各个实验任务与要求,附上程序清单与有关曲线。
2、 简要回答思考题。
程序代码:
%用FFT对信号作频谱分析clear all;
close all;
%实验(1)
x1n=[ones(1,4)]; %产生序列向量R4(n)
M=8;xa=1:(M/2);xb=(M/2):-1:1;
x2n=[xa,xb]; %产生长度为8的三角波序列x2(n)、x3(n)
x3n=[xb,xa];
X1k8=fft(x1n,8); %计算x1n的8点DFT
X1k16=fft(x1n,16); %计算x1n的16点DFT
X2k8=fft(x2n,8); %计算x2n的8点DFT
X2k16=fft(x2n,16); %计算x2n的16点DFT
X3k8=fft(x3n,8); %计算x3n的8点DFT
X3k16=fft(x3n,16); %计算x3n的16点DFT
%幅频特性曲线
N=8;wk=2/N*(0:N-1);
subplot(3,2,1);stem(wk,abs(X1k8),'、'); %绘制8点DFT的幅频特性图title('(1a) 8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
subplot(3,2,3);stem(wk,abs(X2k8),'、');
title('(2a) 8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
subplot(3,2,5);stem(wk,abs(X3k8),'、');
title('(3a) 8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
N=16;wk=2/N*(0:N-1);
subplot(3,2,2);stem(wk,abs(X1k16),'、'); %绘制16点DFT的幅频特性图title('(1b) 16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
subplot(3,2,4);stem(wk,abs(X2k16),'、');
title('(2b) 16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
subplot(3,2,6);stem(wk,abs(X3k16),'、');
title('(3b) 16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
%实验2对周期序列作频谱分析
clear all;
close all;
N=8;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=8
x4n=cos(pi*n/4);
x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);
X4k8=fft(x4n); %计算x4n的8点DFT
X5k8=fft(x5n); %计算x5n的8点DFT
N=16;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=16
x4n=cos(pi*n/4);
x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);
X4k16=fft(x4n); %计算x4n的16点DFT
X5k16=fft(x5n); %计算x5n的16点DFT
N=8;w1k=2/N*(0:N-1);
subplot(2,2,1);stem(w1k,abs(X4k8),'、'); %绘制8点DFT的幅频特性图title('(4a) 8点DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
axis([0,2,0,1、2*max(abs(X4k8))]);
subplot(2,2,3);stem(w1k,abs(X5k8),'、'); %绘制8点DFT的幅频特性图title('(5a)8点DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');
