21章数学活动
三角点阵中前n行的点数计算教学反思
本节课是一元二次方程的一节活动课，是本章内容的延伸和升华。在执教过后，我认为实现了预期的教学目标，是一堂扎实有效的数学活动课，我认为成功的地方主要有以下几方面：
1、以简单的探究问题为起点，保证所有学生的有效起步
作为学习起点的数学活动，必须是能够引起学生的学习兴趣，不用老师教，每个学生都能达到的学习水平。根据教材内容，我编写了一道规律简单三角点阵的例题，作为学生的学习起点和方向。让学生自主解决，探索规律，保证了每一位学生都能尝到成功的喜悦。为下面的学习做好知识上的、心理上的铺垫。学生在探究活动中，兴趣、爱好和个性特长会得以充分发挥，并进一步地提高了发现问题、解决问题的能力。
2、精心设计问题，有效引导学生
课堂上的提问是否有效往往决定着课堂的实效性。在每一个探索活动中，我都精心设计了符合学生学情的提问。如（1）“在探索活动一中，根据图中的三角点阵，从上往下有无数多行，（1）其中第一行有____个点，第二行有_____个点，第三行有_____个点，……”简单易答，提高学生的课堂参与效率，增强学生的探究信心和兴趣。（2）在探究活动二中，着重小组交流，“前n行的点数和是多少?”的问题正是学生的最近发展区，少数学生可以独立完成，大部分学生需要交流，向其他小组成员学习他们的解题思路，这样适时地课堂提问能够激发所有学生参与其中，能促进学生思考，有利于学生进一步探究。
3、以探索活动为主线，实现学生自主学习
本节教学突出的是在活动中学习数学知识，即“数学+活动”。活动是载体，是实现目标的手段，必须贯穿始终。著名数学家弗赖登塔尔认为“数学是一种活动”，据此原理，我设计了四个层层递进、环环相扣的数学探索活动，活动目的明确，由浅入深。学生在第一个数学探索活动种取得成功后，引导他们总结方法规律。三角点阵的成功探索为点阵规律的探究学习提供了活动经验、方法步骤，学生的自主学习也有了依据、有道可循。学生通过“独立思考”“探究活动”“学会应用”等形式，在“做中学”、“学中做”,导、学、做三合一，让学生在活动中感受到学习的快乐。苏霍姆林斯基曾说过：“当知识与积极的活动紧密联系在一起的时候，学习才能成为孩子精神生活的一部分”。
人教版数学九年级上册第21章一元二次方程数学活动三角点阵中前n行的点数计算教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1. 理解一元二次方程的解法，特别是配方法的应用，掌握求解一元二次方程的步骤及要点。
2. 能够运用数学归纳法推导三角点阵中前n行点数的计算公式，并能够灵活运用这一公式解决相关问题。
3. 通过数学活动，增强学生对一元二次方程与图形结合的理解，提高学生观察、分析、解决问题的能力。
4. 培养学生运用数学语言表达逻辑思维的能力，学会在小组合作中交流观点，倾听他人意见。
（二）过程与方法
1. 通过实际问题引入，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生从生活中发现数学问题的能力。
2. 引导学生通过自主探究、合作交流的方式，发现并总结三角点阵中点数的变化规律，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
3. 采用数学归纳法，让学生经历从特殊到一般的思维过程，理解数学归纳法的基本原理。
4. 通过课堂练习，巩固一元二次方程的解法，并让学生在实际操作中体会数学的应用价值。
（三）情感态度与价值观
1. 培养学生积极探究、主动思考的学习态度，激发学生对数学知识的兴趣和好奇心。
2. 通过小组合作，培养学生的团队协作精神，让学生学会在合作中成长，体验共同解决问题的喜悦。
3. 培养学生面对问题不退缩，勇于克服困难的精神，增强学生的自信心和自主学习能力。
4. 引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，激发学生将数学知识应用于生活、服务于社会的意识。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，给予每个学生充分的关注和指导，使他们在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面提高。同时，教师还要注重课堂氛围的营造，让每个学生都能在轻松、愉快的环境中学习数学，感受数学的魅力。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的解法有初步的了解，但在实际应用中，可能仍存在对配方法理解不深、运用不熟练的问题。此外，学生在解决与图形结合的实际问题时，可能缺乏观察、分析、归纳的能力。在本章的学习中，学生需要通过数学活动，进一步提升对一元二次方程的理解，并掌握数学归纳法在解决问题中的应用。
第二十一章数学活动
三角点阵中前n行的点数计算及拓展导学案
武汉市光谷第二初级中学 姜海轮
一、导学
（一）活动导入
老师在黑板上画1个点，说明点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以构成一个点阵,点阵是非常有趣的图形.今天我们就来研究“点阵中的规律”（板书课题）
（二）活动目标
1．通过观察点阵（数学模型），了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律
2.探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式.
3.运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
4.通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.
（三）活动重难点
重点：探索三角及正多边形点阵中前n行的点数和的计算公式,运用一元二次方程的知识和三角及正多边形点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
难点：运用一元二次方程的知识和点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
二、活动过程
探究一 三角形点阵
1．活动指导
（1）活动內容：三角形点阵. （2）活动时间：10分钟.
（3）活动方法：完成活动参考提纲.
（4）活动参考提纲：
图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，
其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个
点…．观察图形，完成下面各题.
①下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整
前n行数 1 2 3 4 5 … 10 … n
点数和 … …
②若该三角点阵前n行的点数和是300，求行数n．
③该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由．
④如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？
⑤在④中，三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理
1
《数学活动：三角点阵中前n行的点数计算》教案
教学目标
教学目标：：
1. 通过观察三角点阵，探究发现三角点阵中前 n 行的点数规律，并能用于计算.
2. 运用一元二次方程的知识探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式.
3. 掌握从特殊到一般的分析问题的方法，建立数学模型解决问题.
教学重点：探索并运用三角点阵中前n行的点数和的计算公式
教学难点：探索并运用三角点阵中前n行的点数和的计算公式
时间 教学环节 教学过程
2分钟
活动1
问题引入
教师展示三角形点阵：
问题1：三角点阵中，从上往下有无数多行，你能说说它的规律吗？
对了，它的第一行有1 个点，第二行有 2 个点……第 n 行有 n 个点。
问题2：前4行的点数和是多少？
通过“逐个数”的方式，我们可以得到前四行的点数和是10，当然我们也可以通过这种方式得到前5行，前6行或者任意前几行的点数和，不过我们也发现当n逐渐变大，点数和越来越大，数起来就越来越麻烦了.
……
2
10分钟 活动2
探索规律 问题3：你能发现300是前多少行的点数的和吗？
我们是不是可以一行一行的加，一直加到点数和为300？
很明显我们只要列出算式：
123336641010515
这样由上而下地逐行相加其点数，就可以得到答案
12324300
也就是说，前24行的点数和为300。但是很明显的，这样寻找答案要花费较多时间，能有更快捷的方法来解决这个问题吗？
你想到了吗？我们只要能够推导出三角点阵中前n行的点数公式就可以借助方程解决这个问题了。
基于我们之前对于三角点阵的分析，它前n行的点数和应该这样计算：
1234321nnnn
我们发现：
11211321431nnnnnnnn
这样我们只要能够确定这n个数相加有多少对和为(n+1)的数就可以啦！
如果n为偶数，一共有2n对，所以和为21=22nnnn
